二次函數(shù)的應(yīng)用問題

文／李瑤

二次函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)世界中變量間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的常見的數(shù)學(xué)模型，是初中階段學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)之一。同時(shí)，二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用也十分廣泛。下面就以2022年中考題中的利潤和面積問題為例進(jìn)行分析解讀。

問題1利潤問題

例1（2022·山東濱州）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為10元，若每件按20元的價(jià)格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價(jià)格銷售，則每月能賣出60件。假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價(jià)格x（單位：元/件）的一次函數(shù)。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元/件時(shí)，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤。

【分析】（1）設(shè)一次函數(shù)的一般形式，利用待定系數(shù)法，解出k和b，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式。

（2）根據(jù)等量關(guān)系“利潤=銷量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）”，結(jié)合（1）中的函數(shù)表達(dá)式，列出二次函數(shù)表達(dá)式，配方后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得利潤最大值。

解：（1）設(shè)y=kx+b（k≠0），

將（20，360）、（30，60）分別代入，

所以y=-30x+960。

（2）設(shè)每月獲得的利潤為w元，則

∵-30＜0，

∴當(dāng)x=21時(shí)，w最大，最大值為3630。

答：當(dāng)銷售價(jià)格定為21元/件時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤為3630元。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)與二次函數(shù)在銷售方面的綜合應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系并明確二次函數(shù)的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。

問題2面積問題

例2（2022·江蘇無錫）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1∶2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖1）。

圖1

（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，求此時(shí)x的值；

（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？

【分析】（1）首先，由矩形CDEF的面積是矩形BCFA的2倍，且AB=FC=ED，可以得出CD=2BC；其次，由柵欄的總長度為24m，可以用x表示出AB的長度；再次，根據(jù)矩形的面積公式“面積=長×寬”和矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，列出一元二次方程；最后，由于墻的長度為10m，還要對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)，得出正確的答案。

解：（1）∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA的2倍，

∴CD=2BC=2x。

∴BD=3x。

根據(jù)題意，得3x（8-x）=36，

解得x1=2，x2=6。

當(dāng)x=6時(shí)，3x=18＞10，不符合題意，舍去。

∴x=2。

答：此時(shí)x的值為2。

（2）∵0＜BD≤10，

∴0＜3x≤10。

設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為Sm2。

由（1）得S=3x（8-x）=-3（x-4）2+48。

∵-3＜0，0＜x≤

∴當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為

答：當(dāng)x為時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的面積應(yīng)用。依據(jù)數(shù)形結(jié)合用x表示出矩形的長和寬，以及掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。我們要特別注意，二次函數(shù)的最值不一定在對(duì)稱軸x=處取到，應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況，在自變量的取值范圍內(nèi)求最值。