基于理解，逆向設計覓蹊徑
——以高一“函數的單調性”復習課為例

劉淑文

（上海市嘉定區第一中學，上海）

隨著基礎教育課程和教學改革的深入推進，在新課程標準、新教材的“雙新”大背景下，教師必須不斷地學習和豐富自己的理論知識，適時改變教學模式和方法，將理論應用于實踐?；诶斫獾哪嫦蚪虒W設計以培養學生的核心素養為目標，“以終為始”設計教學活動，為教師的教學實踐提供了方法和依據。教師只有在學生真正理解的基礎上進行教學設計，以教學目標為導引，確定完成目標的合適的評估證據，設計有效的學習體驗和教學，才能讓學生把所學的知識遷移到新的環境和挑戰中，進而培養學生的核心素養。教學設計應該關注知識之間的整體性，要參照教材和課程標準，研究每一節在每個單元中的作用、在整個高中學習中的作用，將每一節作為一個單元設計的有機組成部分，從單元設計的角度進行整體教學設計，用更有效的學習任務引導學生構建知識體系，鞏固知識的同時，層進式提高學生的學習能力。

以下是筆者對高一“函數單調性”復習課的一次逆向設計探究。

【教學設計背景】

單調性的教學是高一第一學期的內容，從具體的一次函數、二次函數等初等函數的學習上升到用符號語言研究函數的性質，將思維從具體引向抽象，從感性上升到理性，這對學生是一個挑戰。單調性學習中滲透著數形結合、從特殊到一般、從具體到抽象、從文字語言向符號語言轉化等重要思想方法，在函數性質學習中有承上啟下的作用，為具體研究冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等函數性質以及數列最值問題提供了一般方法和借鑒。從對學生的問卷調查和訪談中了解到，學生在單調性學習中存在概念不清、忽視定義、用特值代替“任意”，利用單調性解決不等式問題時忽略定義域，解決函數性質綜合性問題能力弱等情況。因此，教師需要在教學設計中對學生的易錯問題、重難點問題加以強化，使學生通過參與課堂實踐鞏固知識，強化解題方法，在反思和總結中將知識內化，在問題解決中獲得成就感，達成學習目標。

【教學設計目標】

《普通高中數學課程標準》和《上海市高中數學學科教學基本要求》對單調性的學習要求是：了解單調性的概念，掌握單調性的基本性質，能利用單調性描繪函數的圖象，借助圖象，會用符號語言表達單調性，理解單調性的作用和實際意義，會對單調性等基本性質進行研究，掌握研究單調性的一般方法?；谝陨弦蠹皩W生在單調性問題處理中易犯的錯誤和存在的困惑，教學設計應該強化對單調性概念的理解，注重單調性的應用，關注單調性與函數其他性質的關聯，把握函數的整體性質。同時要滲透數形結合、分類討論、特殊到一般、具體到抽象、感性到理性等思想方法，提高學生分析問題和解決問題的能力。

【教學設計過程】

在高三的函數單調性復習中，筆者發現，學生對單調性概念及內涵的挖掘不夠深刻，習慣于用特殊值代替任意性，往往停留在對教師解法的簡單模仿上，方法僵化。反思這種現象，筆者認為單調性的教學需要在高一打好基礎、做好鋪墊，使學生對單調性的本質有深刻的理解。在本節單調性的復習課上，筆者嘗試引入“微資源”，力圖幫學生搭建單調性學習的知識網絡，深化單調性概念，為函數性質的進一步學習和研究打下基礎。

為突破學生在解決單調性問題中出現的思維障礙，本節復習課筆者重點設計了四個板塊：（1）熱身小練習；（2）單調性概念辨析；（3）判斷、證明函數的單調性；（4）單調性的應用。

【板塊一】熱身小練習

2.若函數y=x2+ax+1在（-∞，2］上單調遞減，則實數a的取值范圍是a≤-4.

3.若f（x）為奇函數，且在（-∞，0）上是減函數，又f（-2）=0，則x·f（x）＜0的解集為（-∞，-2）∪（2，+∞）.

注：熱身小練習是課前設置的實踐演練，通過知識點回顧，既可以檢測學生的復習效果，也能讓學生了解知識的薄弱之處，從而更有針對性地進行課堂學習。

【板塊二】單調性概念辨析

函數的單調性反映了函數的變化趨勢，是函數的局部性質，為了讓學生更好地理解函數概念和本質，筆者設計了如下的“微資源”。

資源1：（1）函數單調性定義：如果函數y=f（x）對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，①都有_______，則稱f（x）在這個區間上是增函數，而這個區間稱函數的一個_______；②都有_______，則稱f（x）在這個區間上是減函數，而這個區間稱函數的一個_______.

（2）函數單調性的圖象特征：增函數的圖象，從左往右看，圖象是________；減函數的圖象，從左往右看，圖象是_________.

注：單調性定義是證明和判斷單調性的最基本方法。對定義的回顧，強化了概念意識，為概念的挖掘做好準備；單調性的圖象特征，能夠幫助學生直觀地理解單調性，滲透數形結合的重要思想方法。

資源2：你如何理解函數的單調性？定義中有哪些需要注意的關鍵字？

注：單調性概念對學生而言較為抽象，了解學生現有的認知水平，可幫助學生從感性認識上升到理性認識，培養學生的抽象思維能力。教師提醒學生關注數學概念的生成過程的同時，還要注意數學概念中語言的嚴謹性、準確性，培養學生嚴謹的數學思維品質。

資源3：已知下列命題：

①定義在R上的函數f（x）滿足f（2）＞f（1），則函數f（x）是R上的增函數；

②定義在R上的函數f（x）滿足f（2）＞f（1），則函數f（x）在R上不是減函數；

③定義在R上的函數f（x）在區間（-∞，0］上是增函數，在區間［0，+∞）上也是增函數，則函數f（x）在R上是增函數；

④定義在R上的函數f（x）在區間（-∞，0］上是增函數，在區間（0，+∞）上也是增函數，則函數f（x）在R上是增函數.

其中正確命題的序號有_______.

注：學生經常會忽略單調性定義中兩個自變量選擇的任意性，容易犯用特殊值代替一般性的錯誤。對四個問題的辨析，能夠促進學生對單調性本質的理解。

【板塊三】如何判斷、證明函數的單調性

單調性的判斷、證明方法并不唯一，而定義法是最重要和最基本的方法。這一板塊筆者從正向和逆向兩個方面入手，強調定義法在證明和判斷單調性中的重要作用，通過“微資源”為學生搭建知識網絡，加強數學基本功訓練。

注：本題的設計意圖有兩個。

1.復習鞏固運用定義法判斷或證明函數單調性的一般步驟。

（1）設元：在給定區間上任取x1，x2，且x1＜x2；

（2）作差：f（x2）-f（x1）；

（3）變形：對上述差值進行變形（因式分解、配方、或利用不等式的知識）；

（4）判號：判斷f（x2）-f（x1）的符號，得出f（x2），f（x1）的大??；

（5）定論：根據定義判斷函數f（x）的單調性。

2.所選函數是學生熟悉的反比例函數，便于學生利用數形結合的思想方法分析問題。

注：資源1是正向問題，已知函數的解析式，判斷函數的單調性，資源2是逆向問題，已知函數的單調性，確定待定字母的范圍。通過正反兩個問題的設置，強化解決單調性判斷和證明問題的一般方法。正向問題向逆向問題的遞進，讓學生在體會函數單調性概念本質的同時，也復習了恒成立問題的一般解決方法，將所學知識有機結合，培養數學高階思維。

【板塊四】函數單調性的應用

單調性的應用是單調性學習的難點，能否將學習的知識靈活運用，是檢驗教學效果、評價學生課堂學習行為的重要依據。這一板塊的設計，聚焦教學目標，是對課堂教學達成度的檢驗證據。

資源1:函數y=x2-2ax在（-∞，1）上是減函數，則實數a的取值范圍是_________.

資源2：請你構造一個二次函數，使它在區間［-1，1］上是單調遞減__________.

資源3：函數f（x）=ax2+4（a+1）x-3在［2，+∞）上遞減，則a的取值范圍是__________.

資源4：若函數f（x）為R上的減函數，且f（x）的圖象經過點A（0，3）和B（3，-1），則不等式的解集為__________.

A.（-∞，-1）∪（2，+∞） B.（-1，2）

C.（-2，1） D.（-∞，-2）∪（1，+∞）

注：五個“微資源”之間層層遞進，由易到難、由具體到抽象,符合學生的認知規律，使學生有“跳一跳就能摘到果子”的感覺，提升學生學習知識的成就感。

【分層作業設計】

（一）基礎練習

（Ⅰ）填空題

1.若函數y=f（x）的定義域是R，則“對于任意x∈R，恒有f（x）＜f（x+1）”是“y=f（x）在R上是增函數”的必要非充分條件.

【說明】本題考查學生對單調性概念的掌握，讓學生感悟定義中“任意”兩字的準確性和嚴謹性。

2.若函數f（x）=kx2-4x+8在區間［5，20］上單調遞減，則實數k的取值范圍為

【說明】本題屬于易錯題，考查學生的分類討論思想，培養學生思維的嚴謹性。

【說明】本題是單調性的逆向問題。解決方法通常有兩種，一種是變量分離，將函數轉化為反比例型函數；另一種是逆用單調性定義，將其轉化為恒成立問題。

【說明】本題著重考查學生數形結合和分類討論的思想方法。

5.若函數f（x），g（x）均為R上增函數，則下列命題中正確的是（2）.

（1）f（x）+g（x）及f（x）g（x）均為增函數；

（2）f（x）+g（x）為增函數，f（x）g（x）單調性無法確定；

（3）f（x）+g（x）單調性無法確定，f（x）g（x）為增函數；

（4）f（x）+g（x）及f（x）g（x）的單調性均無法確定.

【說明】本題需要學生既要會用定義證明正確的命題，也要會舉反例證明錯誤的命題，這類問題常常因為考慮問題不全面而判斷錯誤。

（Ⅱ）選擇題

【說明】分段函數的單調性問題是易錯和難點問題。學生可借助函數的圖象進行數形結合考慮，注意對自變量分界位置函數值大小的比較。

（Ⅲ）解答題

7.已知函數f（x）是奇函數，且f（x）在定義域（-1，1）上遞減，若f（1-a）+f（1-a2）＜0，試求實數a的取值范圍.

【說明】本題將奇偶性與單調性結合，考查學生綜合運用知識的能力，學生的易錯點是忽略函數的定義域。

（1）討論函數f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2）若函數f（x）在x∈［2，+∞）上為增函數，求a的取值范圍.

【說明】本題綜合考查函數的奇偶性和單調性。第（1）題強化解決奇偶性的基本方法，滲透分類討論的數學思想。第（2）題是單調性問題的逆向考查，強化逆用函數單調性定義，將字母變量分離轉化為恒成立問題的思想。在課堂教學和作業設計中要注意對函數綜合問題的考查，體現單元設計理念。

（二）拓展練習

9.已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，解不等式：f（x）-f（x-2）＞3.

【說明】本題是利用單調性解不等式問題，題目中函數性質以關系式f（xy）=f（x）+f（y）呈現，這種抽象函數問題是難點問題，學生需整合已知條件，分析其內在聯系，通過已知不等式建立函數值之間的關系，進而應用單調性解決問題。此類問題注重對學生獨立分析問題、解決問題能力的培養，有利于學生將知識內化成能力。

（三）個性化練習

請你結合自己在函數單調性問題中遇到的困難，自己尋找資源，為同學設計一道有關函數單調性的問題。

【說明】個性化作業要求學生為同伴設計作業，一方面可以通過資源搜集強化學生對薄弱知識的掌握，另一方面可以增進同伴之間的合作互助學習，促進共同進步。

【教學設計反思】

通過本課的教學設計實踐，筆者更深刻體會到各個年級的數學學習是一個有機整體，知識學習的過程是一個循序漸進的過程。只有在高一、高二打好基礎，才能在高三的復習中“厚積薄發”。教育的主體是有生命力、有思考力、有創造力的學生，教師在教育教學中要始終把學生作為主體，在實踐中始終關注學生的所思所想，基于理解進行逆向教學設計，從單元教學的角度設計教學，幫助學生打造泛舟數學海洋的雙槳，促進學生的終身發展。