3階方陣特征值的求解方法

梅金金

阜陽師范大學 安徽阜陽 236037

矩陣的特征值是“高等代數”課程的重要內容之一，它在很多科學領域都應用非常廣泛。以矩陣為工具，將實際問題抽象為數學問題，再通過靈活運用矩陣的特征值和特征向量可以使得很多復雜的實際問題簡單化。在學生學習“高等代數”這門課程的過程中，準確計算矩陣特征值也是求解矩陣相似對角化、矩陣方冪計算、矩陣正交相似對角化、判斷二次型的正定性、利用正交變換化二次型為標準形、化一般有心二次曲線為標準形、求有心二次曲線的最大值與最小值等問題的前提。

設A=(aij)為n階方陣，λ∈R為A的特征值。根據定義可知，矩陣對應的特征矩陣λE-A是一個λ-矩陣，特征多項式是其特征矩陣的行列式，特征多項式的根就是矩陣的特征值。但是，一方面，很多學生對行列式理論的理解和認識不夠深刻。又由于特征矩陣的行列式中含有參量λ，學生也不能熟練運用行列式的性質計算出方陣的特征多項式。另一方面，即使能夠計算出方陣的特征多項式，學生也會在求解該多項式的根時遇到一些困難，這是因為學生一般很難將次數大于等于3的高次多項式徹底分解為若干個一次因式乘積的形式。

因此，為了讓廣大學生能夠準確計算出方陣的特征值，本文以3階方陣為例，歸納總結方陣特征值的若干計算方法和技巧。通過引導學生仔細觀察和分析特征矩陣對應的行列式的結構，主要根據行列式按行(或列)展開定理、整系數多項式有理根判定定理、方陣的跡和行列式與特征值的等式關系、矩陣的初等變換等思想，討論了各類3階方陣特征值的計算方法，從而加深學生對矩陣特征值的理解，幫助學生熟練掌握方陣特征值的計算技巧，也培養其觀察、分析、概括、歸納、總結的數學思維方式，從而養成良好的數學思維習慣。

一、預備知識

為計算n階方陣的特征值，結合特征值的定義與矩陣的運算規律，將特征值的計算問題轉化為求一個含有n個未知量的齊次線性方程組的非零解。具體地，設x∈Rn是矩陣A屬于特征值λ的非零特征向量，則有等式Ax=λx。于是，再利用矩陣加法和數乘的運算規則，我們可以得到關于x的齊次線性方程組(λE-A)x=0。由此，要使得該齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是|λE-A|=0。實質上，|λE-A|是關于λ的一元n次多項式。下面，為計算方程|λE-A|=0的解，給出相關計算方法會涉及的定義和定理。

定理1[1]：設A=(aij)為n階方陣，Aij為元素aij對應的n-1階代數余子式，則有下面兩個等式成立：

定理4[1]：設A=(aij)為n階方陣，P為P-1A階單位矩陣作一次初等行(或列)變換得到的初等矩陣，則PA表示矩陣A作一次與P相對應的初等行變換得到的矩陣，AP表示矩陣A作一次與P相對應的初等列變換得到的矩陣。而且，若A為可逆矩陣，則它可以表示為若干個初等矩陣的乘積。

定義[2]：設A=(aij)為n階方陣，P為n階初等矩陣，P-1A表示A經過一次初等行變換轉化后的矩陣，P-1AP表示P-1A再作一次初等列變換轉化后的且與A相似的矩陣，則上述這個變換過程稱為矩陣A的相似變換。

定理5[2]：設A=(aij)為n階方陣，λ為A的特征值，若對它的特征矩陣λE-A施行一系列的初等列變換，則可得到一個下三角矩陣的B(λ)。將B(λ)的主對角線上n個元素相乘起來得到一個關于λ的一元n次多項式，則該多項式的根為矩陣A的特征值。

二、方陣特征值的計算方法

(一)利用行列式展開定理計算特征值

如果直接利用行列式按行(或列)展開定理計算方陣的特征多項式，將會導致計算過程很復雜，而且達不到簡化行列式計算的目的。特別是當矩陣A的階數比較大時，反而還會極大地增加計算行列式的計算量和復雜度。因此，首先引導學生仔細觀察矩陣的特征多項式|λE-A|中元素的排列特點，驗證行列式經過恒等變換后是否可以使得其某一行或者某一列的所有元素含有相同的因式。利用行列式的性質，將這個3階方陣A的特征多項式|λE-A|中某一行(或列)中的兩個元素化為零，再根據行列式按行(或列)展開定理計算出矩陣A的特征多項式[3]。

解：將矩陣A的特征多項式|λE-A|的第二列、第三列都加到第一列上，即:

=(λ-1)(λ2-6λ+13)

因此，A的所有特征值λ1=1，λ2=3+2i，λ3=3-2i。

說明：經觀察可知，該例題中|λE-A|中各行(或列)所有元素的和相等，即為λ-1。因此，可以將各行(或列)全部累加到某一行(或列)上，然后將其余兩行(或列)與該行(或列)相減，使得行列式中某一行或列的兩個元素全為零，再利用行列式按行(或列)展開定理計算出特征多項式。

解：將行列式|λE-A|的第三行的-1倍加到第一行上，即：

=(λ-4)(λ-1)(λ+3)，

則A的特征值λ1=1，λ2=4，λ3=-3。

說明：若|λE-A|中存在兩行(或列)相加或相減后得到的三個元素存在相同的因式，可將其中一行(或列)中的兩個元素化為零，再利用行列式按行(或列)展開定理計算方陣的特征行列式。

(二)利用多項式有理根定理計算特征值

我們也可以直接利用對角線法則計算3階方陣A的特征多項式|λE-A|。顯然，它是一個三次多項式。如果它的特征多項式不是一個整系數多項式，可以利用轉化的數學思想，通過先乘以一個非零的常數，將該特征多項式轉化為一個整系數多項式。再根據定理2和綜合除法，可判斷并尋找對應整系數多項式的一個有理根及其重數。最終，將矩陣的特征多項式分解為一個常數、一次因式或二次因式的乘積，從而進一步確定方陣的特征值[4]。

解：根據對角線法則，可將矩陣A的特征多項式計算如下：

=λ3-4λ2+2λ+4

根據定理2，得±1，±2，±4可能為多項式f(λ)的有理根。再利用綜合除法，驗證可得f(2)=0。則有f(λ)的因式分解結果為：

說明：上述例題也可直接利用行列式按行或列展開定理獲得矩陣的特征多項式，但這里的計算中會涉及三個2階代數余子式，同時還要特別注意這些代數余子式的正負號。

(三)利用方陣的跡與行列式計算特征值

若3階方陣A中某一行或某一列的元素滿足aii≠0，aij=0(i≠j)，易知aii即為A的一個特征值。再根據定理3，利用方陣的跡、行列式與其特征值間的兩個等式關系建立一個方程組，進而求解出方陣的另外兩個特征值[5]。

解：顯然A有一個特征值為1。設λ1，λ2為A的另外兩個特征值。根據定理3，則有:

因此，可得λ1=1，λ2=4。

(四)利用初等變換計算特征值

我們可對3階方陣A的特征矩陣λE-A施行一系列的初等列變換，將其轉化為一個含λ的下三角矩陣P(λ)。再根據定理5，將P(λ)的主對角線上的三個元素相乘可得到一個關于λ的一元三次多項式。最后，直接求解該多項式的根，即為這個矩陣A的全部特征值[2]。

解：對其特征矩陣作一系列的初等列變換，將它轉化為一個下三角形矩陣，具體過程如下：

將上述矩陣的主對角線上所有元素相乘得到-(λ-4)(λ-2)2。根據定理5，則有A的特征值λ1=4，λ2=λ3=2。

(五)利用矩陣的相似變換計算特征值

解：對上述矩陣A作一系列的相似變換，把其變換為一個上三角形矩陣，具體過程為：

則有A的特征值λ1=-9，λ2=λ3=0。

注意：上述計算過程中所施行的相似變換的行變換與列變換必須是同一類型的初等變換，且對方陣施行的行變換與列變換要是成對的，這樣才能保證經過相似變換后得到的方陣與原方陣是相似的，其特征值全部相同。

結語

綜合以上內容，根據3階方陣的結構特點，我們總結歸納出3階方陣特征值的多種計算方法和技巧，這能夠幫助學生快速計算矩陣的特征值，進一步提升學生的數學計算能力。同時，在教學過程中，要注意培養學生的數學思維能力，從而使之能夠熟練掌握矩陣特征值的計算方法。在學生學習特征值的計算過程中，教師應不斷加深學生對矩陣理論的定義、定理與推論的理解和認識，進一步培養學生對基礎知識的靈活應用能力，為后續矩陣相似對角化、矩陣正交對角化、利用正交變換化二次型為標準形、矩陣方冪的計算等問題的計算求解奠定了基礎，在一定程度上達到簡化計算的目的。