基于單元整體教學的數學探究活動設計與實施

欒長偉

（大連教育學院）

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在教學建議中明確提出，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現之間的關聯。

當前，各版本教材中的數學知識遵循螺旋上升原則編排，具有系統性和完整性的特點，知識點之間互相關聯。教師若僅關注課時目標，將教學內容分塊呈現給學生，會導致學生學習知識不成體系。所謂單元整體教學設計，指的是教師從發展學生核心素養的視角出發，根據學生的知識經驗、認知水平、心理特點等，將所要傳授的教學內容進行整體分析，按照一定標準歸納整合為一個單元，確定單元主題，從而進行教學設計的一種方法。數學區別于其他學科的特點是其知識具有嚴密的邏輯結構，不能隨意組合。唐彩斌、史寧中著的《義務教育數學課程標準（2022年版）解讀》中提到，數學單元教學內容可以根據數學學科邏輯和學生學習邏輯來組織。在按照數學學科邏輯組織的教學單元中，單元主題的確定方式通常有三種：一是以重要的數學概念或核心的數學知識為主線組織，如“函數的概念”“數的成長”主題單元；二是以數學思想方法為主線組織，如“數形結合”“數學建模”主題單元；三是以核心素養為主線組織，如“數感的培養”“運算能力”主題單元。在按學生學習邏輯組織的教學單元中，通常以學習任務或者問題為主線來組織。

一、以數學概念形成為單元：從個性到共性的歸納過程

數學概念是數學知識發生、發展的起點。初中數學的核心概念常見有：數的概念（有理數、無理數、實數），方程的概念（一元一次方程、一元二次方程、分式方程），函數概念（一次函數、二次函數、反比例函數）等。

學生在探索數學概念的形成過程中，具有相對固定的探究步驟：第一步，建立多個不同對象，將不同對象進行分類。如有理數的分類是將小學生熟悉的各種數按照一定的標準進行分類，并將可以互相轉化的小數、有限小數、無限循環小數統一成分數；將不能化為分數的無限不循環小數單獨歸為一類，即無理數，從而將有理數分為整數和分數。第二步，尋找所建立對象的共同特征，用文字或者符號進行描述。如單項式的概念形成過程分為三種情況：數字和數字相乘，即單獨的一個數；數字和字母相乘，單獨的一個字母可以認為是數字1與字母相乘；字母和字母相乘，系數為1。根據以上三種情況，我們可將單項式的概念描述為數字或者字母的乘積。第三步，對歸納的結論進行辨析與驗證。如在教學人教版數學教材八年級上冊“一元一次方程”時，以概念形成為單元就具有合理性。

【探究】請你選擇合適的方法解決下列實際問題（只列式，不計算）

（1）用一根長24 cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長是多少？

（2）一臺計算機已使用1700 h，預計每月再使用150 h，經過多少個月這臺計算機的使用時間達到規定的檢修時間2450 h？

（3）某校女生占全體學生人數的52%，比男生多80人，這個學校共有多少學生？

（4）甲種鉛筆每支0.3元，乙種鉛筆每支0.6元，用9元錢買了兩種鉛筆共20支，兩種鉛筆各買了多少支？

（5）一個面積為16平方米的長方形，長比寬多6米，求長方形的長和寬各為多少米？

（6）A、B兩地之間的路程為12千米，甲車速度是乙車速度的3倍，兩車同時從A地出發，甲車比乙車早0.5小時到達B地，求甲、乙兩車的速度各為多少？

【問題1】在6個問題的解答過程中，哪幾個你使用的是算數法？哪幾個使用的是方程？他們是否可以互相轉化呢？

【問題2】經歷以上列方程解決實際問題的過程，你能歸納用方程解決問題的一般步驟嗎？

【實際操作】觀察6個方程的結構特征，你能按照一定的標準對它們進行分類嗎？請按照你的想法給這幾類方程命名。

方程概念的形成過程貫穿于整個初中方程內容的學習。一元一次方程概念的形成過程是學生第一次經歷方程概念的探究過程，教學中的6個問題強調了生活情境的設計與問題的提出：問題1的提出是因為學生在列式的過程中會出現算數法和方程法兩大類算法，這時教師不要急于要求學生必須選擇哪種方式進行列式，而是應在整體單元教學設計下，讓學生逐步體會方程對于解決問題的優越性；問題2的提出是為了落實單元整體教學目標，將“從實際問題中抽象出數學問題”列方程建立數學模型解決實際問題，這一教學目標滲透到本單元每一課時之中，并將這一數學素養延伸到學生未來利用分式方程、一元二次方程解決問題的實踐中。實際操作的設計是引導學生通過未知數的個數、未知數的次數、整式與分式等不同維度進行分類，引導學生從不同對象中尋找共性特征，這是培養學生歸納推理能力、創新意識的主要渠道。同時，學生類比此種研究概念的方法去學習方程與函數的其他概念，可以達成探究方法的橫向關聯性目標。

二、以法則探究形成為單元：從特殊到一般的遞進過程

初中數學法則類內容在單元整體教學中占有一定比重。研究一類數就要研究它的概念和運算法則，從有理數的運算法則（加、減、乘、除、乘方）到整式的運算法則（冪的運算）的探究，均遵循了從特殊到一般，再到特殊的知識生成過程。在教學人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“完全平方式”時，以法則探究為單元就具備合理性。

【探究】請計算下列多項式的積：

（1）（x+2）（x-2）= ________；

（2）（p+1）2=________；

（3）（3x+y）（3x-y）= ________；

（4）（2x+1）2= ________；

（5）（3m-n）2= ________。

【問題1】你能將等號左邊的多項式按照一定的標準分成兩類嗎？

【問題2】請觀察多項式的積，你能發現什么規律？

【問題3】你能再舉幾個例子驗證你發現的規律嗎？

【實際操作】請你類比平方差公式的驗證過程，從代數和幾何兩個角度對你歸納的公式進行驗證，并用文字語言和符號語言進行描述。

問題1的設置旨在培養學生的分類能力，建立大單元背景下的知識前后關聯，學生通過等號左邊多項式的結構特征，將其分為（a+b）（a-b）和（a+b）2兩類。根據認知經驗，學生確定一類是已經熟悉的，一類是不熟悉的、即將研究的新內容，即完全平方式。

法則歸納的核心是從特殊到一般，所謂特殊就是“舉例子”，例子要有足夠數量的同時，更要凸顯其覆蓋性。教材中有些舉例不夠充分，教師則要讓學生切實經歷公式的產生過程，經歷觀察、運算、猜想、驗證的過程，積累數學活動經驗。教師要展示公式的計算過程，在學生的思維中形成尋找公式共性特征的基點，總結出完全平方式，從而從代數和幾何兩個角度進行驗證。其中，幾何驗證是學生的一個盲區，類比平方差公式的幾何驗證思路，教師可先出示一個邊長為（a+b）的正方形（如圖1），在此正方形上分別截取邊長為a、b的正方形，證明剩下陰影部分為2ab即可。

圖1

三、以命題探究形成為單元：從合情推理到演繹推理的發展過程

命題探究是圖形與幾何學習的重要組成部分。每一個命題的學習都不是孤立的，我們都應該將它置于圖形與幾何這個大單元的學習之中，從而尋找到幾何學習的基本思路，即“定義—性質”和“判定—應用”。命題的探究應貫穿于整個幾何學習之中，使學生經歷設計真實問題情境，觀察、操作、度量、證明這一完整的命題探究過程，豐富學生的數學活動經驗，為學生建立嚴謹的命題推理過程提供思維基礎，培養學生的合情推理與演繹推理，發展數學核心素養。筆者以人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第十八章“平行四邊形”為例，說明以命題探究為單元的合理性。

【問題1】觀察學校電動門的開與關視頻，你能找到視頻中的常見幾何圖形嗎？

【問題2】關于平行四邊形，你都知道哪些關于它的結論？

【問題3】請你將手中的四邊形卡片沿著一條對角線剪開，觀察剪開后得到的兩個三角形并進行實驗操作，你能發現什么結論？寫出你的猜想。

【實際操作】類比三角形性質的探究過程，請設計你的探究方案，并用文字、圖形和符號等表示你得到的結論。

問題1展示了學生所熟悉的學校伸縮門的開關視頻，使學生建立了真實貼切的問題情境，讓學生感悟到平行四邊形就在他們身邊。在學生已有知識經驗的基礎上提出問題2，即通過設計開放性問題，使學生自主習得平行四邊形的定義、面積等。其中，有些結論是學生通過觀察得到的，并沒有經歷過探究與證明，如平行四邊形對邊相等、對角相等，這時教師就需要引導學生經歷命題的探究過程。問題3中的四邊形卡片，包括任意四邊形和大小不等的平行四邊形兩類，在實際操作過程中，可以讓學生感悟只有平行四邊形的對邊和對角才是相等的，這樣就間接解決了部分教師對于平行四邊形的性質是否需要經歷度量過程的糾結。實際操作是從實驗幾何向驗證幾何過渡的過程。類比三角形的性質探究過程，教師可讓學生經歷猜一猜、用刻度尺量一量、用幾何畫板驗一驗，得到命題“平行四邊形的對邊相等、對角相等”。教師要引導學生書寫文字命題的已知、求證，自己畫圖并完成證明過程，這種探究過程是發展學生合情推理，培養學生創新意識的主要手段之一。對于八年級的學生來說，他們已具備了命題證明的基本能力，因此教師可以完整寫出命題的已知、求證與證明，引導學生：要證明一組線段和一組角相等，需要把兩條線段和兩個角分別放到兩個三角形中，構造全等去得出結論。這是一個發展學生演繹推理的過程，更是證明命題中所蘊含的數學學習價值的過程。

綜上所述，在初中數學教學中有意識地建構以單元整體教學為主線的教學設計，對提高課堂效率、兼顧數學知識與學生思維的橫向關聯性和縱向貫通性有很多好處。在日常教學中，教師要從數學知識本質出發，深度挖掘知識之間的內在聯系，設計適合學生思維提升的教學設計，引導學生將基礎知識結構化，使學生經歷數學活動，提升基本能力，積累活動經驗，在基本思想方法的支撐下，發展學生的數學核心素養。盡管目前很多學者和一線教師已經在研究單元整體教學策略，但是具體如何協調其與教材編排的關系，如何將單元整體教學設計落實到課堂，如何使學生真正從單元整體教學中受益，是值得研究的問題，更是漫長的研究過程，還需要我們繼續深入探索。