基于“大概念”的高三復(fù)習(xí)課探索
——以“隱形圓問題”為例

馮宇斌 翟榮俊

(江蘇省無錫市洛社高級中學(xué) 214187)

1 背景描述

單元教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑．其中，“大概念”起到引領(lǐng)的作用．所謂“大概念”，是指能將眾多數(shù)學(xué)知識聯(lián)成一個整體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)核心，它可以是一個具體的上位概念、重要命題或原理，也可以是一個數(shù)學(xué)主題、觀點(diǎn)或思想方法．例如，平面向量是一類重要的數(shù)學(xué)對象，溝通了幾何與代數(shù)，是解決問題的有力工具，可以視作知識型大概念；換元法是代數(shù)變形的常用方法，起到簡化結(jié)構(gòu)、突出實(shí)質(zhì)的作用，在函數(shù)、數(shù)列、不等式中都有體現(xiàn)，可以視作方法型大概念；轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)解題的依據(jù)和導(dǎo)向，同時也是重要的數(shù)學(xué)思想方法，可以視作思想型大概念．

圖3

點(diǎn)評具體破解時，可以從“數(shù)”的性質(zhì)角度，通過坐標(biāo)法來分析；或從“形”的特征角度，通過幾何法來處理．

高三數(shù)學(xué)試卷講評課，要依據(jù)高考復(fù)習(xí)背景與試卷講評的課型特征和學(xué)生實(shí)際，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，優(yōu)化應(yīng)試策略，為情境而教、為素養(yǎng)而教．

2 教學(xué)設(shè)計

例1已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(-1,0)，B(3,0)．

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為；

(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程為．

解(1)設(shè)AB中點(diǎn)為D(1,0)，則CD=2，故C的軌跡是以D為圓心、2為半徑的圓(不含A,B)，方程為(x-1)2+y2=4(y≠0)．

(2)設(shè)DB中點(diǎn)為N(2,0)，則MN=1，故M的軌跡是以N為圓心、1為半徑的圓(不含D,B)，方程為(x-2)2+y2=1(y≠0)．

(也可以設(shè)M(x,y)，則C(2x-3,2y)，代入(1)中的方程，同樣得出結(jié)果，注意不含D,B)

小結(jié) ①定點(diǎn)(圓心)和定長(半徑)是確定圓的兩個幾何要素；②根據(jù)具體問題，舍去一些不符合條件的點(diǎn)．

變式 (多選題)已知圓C的方程為x2+y2-4x=0．若直線y=k(x+1)上存在一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的可能取值是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

設(shè)計意圖學(xué)會通過幾何分析，確定定點(diǎn)和定長找出隱形圓．同時注意“增點(diǎn)”問題，加深對曲線方程這一概念的理解．

思考 ①確定圓的幾何要素，除了圓心和半徑，還可以是什么？(CA⊥CB，或者說AB是圓的直徑)

②已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的一條直徑的兩個端點(diǎn)，求圓方程．

該方程稱為圓的直徑式方程，簡稱直徑圓方程．

例2已知點(diǎn)A(-1,0)，B(1,0)均在圓C:(x-3)2+(y-4)2=r2外，且圓C上存在唯一一點(diǎn)P滿足AP⊥BP，那么半徑r的值為．

小結(jié) 垂直這一幾何條件，往往隱含直徑圓．

小結(jié) 本題從幾何角度難以直接得出點(diǎn)P的軌跡，通過設(shè)點(diǎn)用代數(shù)方法求出P的方程．并且有如下結(jié)論：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比是定值(不等于0,1)的點(diǎn)的軌跡是圓，稱為阿波羅尼斯圓．

變式1 已知兩定點(diǎn)A(-3,0)，B(1,0)， 若直線l:x+ay-2=0上一點(diǎn)M滿足MA2+MB2=16，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

設(shè)計意圖例3及其變式的處理方法都是設(shè)點(diǎn)、列式、化簡，這是求軌跡方程的一般方法．同時學(xué)生意識到背景條件雖有變化，背后都是隱形圓，軌跡意識得到強(qiáng)化．

例4(拓展)已知圓O:x2+y2=1，C:(x+1)2+y2=9，直線l與圓O相切，與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A,B為切點(diǎn)作圓C的切線l1,l2，設(shè)直線l1,l2的交點(diǎn)為P，則OP的最小值為．

設(shè)計意圖例4及其變式可視作隱形圓問題的延伸．例4是綜合問題，不僅要求學(xué)生具備較強(qiáng)的“動點(diǎn)找軌跡”意識，同時要熟悉基本模型；變式可以用常規(guī)解三角形的方法去做，較繁瑣．抓住條件CA+CB=3c=12>AB，本質(zhì)上是一個隱橢圓問題，從而建立坐標(biāo)系巧妙求解．

課堂小結(jié)，如圖1所示．

圖1

3 教學(xué)反思

“大概念”組織高三復(fù)習(xí)課，更容易揭示知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生解決綜合問題的能力．對于高一、高二的新授課，我們常提到單元教學(xué)、大概念……而對于高三復(fù)習(xí)，筆者認(rèn)為更應(yīng)當(dāng)去強(qiáng)化、去落實(shí)．高三學(xué)生具備了相當(dāng)多的知識，積累了一定的方法和經(jīng)驗(yàn)，但缺乏整體性的認(rèn)識，高三復(fù)習(xí)需要解決知識、方法的孤立問題．先確定大概念，再精心選擇內(nèi)容相近、方法類似、本質(zhì)相同的問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)視野一旦打開，能力、素養(yǎng)也會得到相應(yīng)的發(fā)展．例如，以多變量問題作為大概念去組織素材，消元、固元、基本不等式、函數(shù)思想等都可以容納進(jìn)去．

“大概念”組織高三復(fù)習(xí)課，有助于解題方法的優(yōu)化和取舍，提升思維的深刻性．一題多解是高三復(fù)習(xí)課常采用的方式，能夠幫助學(xué)生打開思路．實(shí)際操作過程中，有一個問題常被忽視，就是如何引導(dǎo)學(xué)生對多種解法進(jìn)行評價、選擇、優(yōu)化，甚至取舍．同時也并不是所有問題都應(yīng)當(dāng)或值得去追求多解的．用“大概念”的觀點(diǎn)看待這個問題，就是要區(qū)分該方法是否是一般方法，其適用范圍是否廣泛．有了這樣的認(rèn)識，我們才可能做到善于選擇，大膽舍棄，而不是刻意尋求多種解法，降低課堂效率的同時浪費(fèi)寶貴的時間．

編者按為密切編輯部與中學(xué)的聯(lián)系，本刊編委第28次“走進(jìn)課堂”，于2022年9月15日赴江蘇省句容高級中學(xué)觀課議課．江蘇省句容高級中學(xué)由句容文化名人丁宣孝先生創(chuàng)建于1926年，建校以來，雖歷經(jīng)風(fēng)雨滌蕩，幾易校名，但終能弦歌不輟，薪火相續(xù)．近百年砥礪風(fēng)雨，學(xué)校積淀了豐富而深厚的文化底蘊(yùn)．學(xué)校秉承“誠·毅”校訓(xùn)，大力打造“誠毅果行，守正出新”的精神文化，形成了“愛國、守紀(jì)、勤奮、健美”的校風(fēng)，“敬業(yè)、奉獻(xiàn)、求實(shí)、創(chuàng)新”的教風(fēng)和“奮發(fā)、探索、團(tuán)結(jié)、進(jìn)取”的學(xué)風(fēng)．學(xué)校曾獲“江蘇省文明單位”“江蘇省實(shí)施素質(zhì)教育先進(jìn)學(xué)校”等多項(xiàng)省部級集體榮譽(yù)．近幾年來，承載著創(chuàng)建“高品質(zhì)示范高中”的夢想，全校上下立足新起點(diǎn)，瞄準(zhǔn)高目標(biāo)，堅(jiān)持“以人為本，立德為先，民主和諧，全面發(fā)展”的辦學(xué)理念，著眼于校園文化建設(shè)，在努力使所有學(xué)生得到充分發(fā)展的同時，積極促進(jìn)教師素質(zhì)的全面提升，爭取大幅度提高教育教學(xué)質(zhì)量，以期使學(xué)校綜合辦學(xué)績效獲得社會的更廣泛認(rèn)可．