立足圖形變化 提升推理能力*

蔣惠麗

(江蘇省蘇州學府中學校 215009)

1 基本情況

為配合疫情防控的要求，我校上半年經歷了由線下教學轉為線上教學．本節課是學生線上學完《全等三角形》，轉線下學習后的一節單元復習課．因環境的改變，不少學生還不能完全適應線下課堂，因此，在結束了本章學習后，筆者開設了一節借助全等三角形紙片的運動變化，鞏固基本知識、基本技能的單元復習課．

(1)教材與學情分析

本節課教學內容是在完成《全等三角形》一章的學習后，為進一步培養學生的推理能力，主要是從一些事實和命題出發，依據規則推出其他結論的能力．利用全等三角形可以證明線段、角等基本幾何元素相等，所以本章的內容也是后續學習等腰三角形、四邊形、圓等幾何圖形的基礎，教材以平移、翻折、旋轉為主線展開“圖形與幾何”的學習．

線上教學中教師沒有辦法實時關注所有學生的學習狀態，且通常會存在網絡延時的問題、偶爾會出現網絡異常、家庭學習氛圍不濃、同伴互助缺失等因素，線上學習期間，學生的聽課、作業等情況都與線下授課有差異，而由此積累下來的學習習慣也對后續的線下學習產生一定的影響．由于學習環境不同導致學習效果存在一定的差異，學生推理能力的發展也存在著不同程度的差異．

借助“靶向教學”進行數學復習教學，能夠給班級和學生提供個性化、針對性的指導，可以提升復習的效益．[1]基于此，筆者對前測調研數據進行了靶向分析，發現不少學生在幾何解題書寫的規范性、條件與結論之間的邏輯性分析方面還存在一些問題，亟需一節針對性較強的單元復習課以彌補不足，幫助學生解決難點、痛點問題，及時清理幾何學習道路上的障礙．

(2)教學目標及重難點

教學目標 復習全等三角形的概念、性質和判定；建構全等三角形的知識網絡，讓學生初步體會幾何學習的方法；通過自主設計、合作學習，讓學生感悟數學的嚴謹性，初步形成邏輯表達與交流的習慣；培養學生通過獨立思考獲得證明的思路，注重遵循小步走、多層次的原則，由易到難、由淺入深地發展學生的演繹推理能力．

教學重點 掌握三角形全等的判定和性質，建構全等三角形的知識網絡．

教學難點 規范解題書寫，感悟數學的嚴謹性，初步形成邏輯表達與交流的習慣．

2 教學過程

教師展示三組三角形紙片(圖1)，分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，疊合每組圖形后均重合，自然引出本節課的復習內容，并幫助學生回憶全等三角形的定義．

圖1

2.1 問題驅動，建構知識體系

問題1如圖2，△ABC≌△DEF，你能得到哪些結論？

圖2

師：任取其中一組三角形(圖1(3))，如圖2放置，你能得到哪些結論？

生1：AB=DE，CB=FE，AC=DF．(全等三角形的對應邊相等)

生2：∠A=∠D，∠C=∠DFE，∠ABC=∠E．(全等三角形的對應角相等)

師：很好！這些都是全等三角形的性質．除此以外，你們還能得到其他結論嗎？

生3：AC∥DF，AB∥DE．

師：依據是什么？

生3：同位角相等，兩直線平行．

師：完全正確！還能得到什么結論？

生4：CF=BE．

師：它們為什么相等？

生4：因為CB=FE，同時減去BF，剩下的部分仍然相等．

師：依據是什么？

生4：等式的性質．

師：非常好！你不僅擁有一雙善于發現的眼睛，還擁有一個積極思考的大腦．

設計意圖問題1比較基礎，意在幫助學生復習全等三角形的性質——全等三角形的對應邊、對應角相等．除此以外，聯系之前學過的幾何知識，還有些結論需要轉化才能得到，通過復習幫助學生建立新舊知識之間的關聯．

問題2如圖2，在△ABC和△DEF中，要說明△ABC≌△DEF，需要添加幾個條件？

師：反過來，如果要說明△ABC≌△DEF，我們需要添加幾個條件？

生：三個．

師：具體是哪三個條件呢？

生5：AB=DE，∠A=∠D，AC=DF．

師：判定的依據是什么？

生5：SAS．

師：表達得很正確．還有另外的判定方法嗎？

生6：AB=DE，∠A=∠D，∠ABC=∠E．其實只要有兩組對應的角相等，再加任意一組邊即可．

師：判定的依據是什么？

生6：ASA或者AAS．

師：很好！描述清楚到位．

生7：還可以添加AB=DE，CB=FE，AC=DF，依據是SSS．

師：回答非常完整！同學們，如果我們當初的選擇是一對直角三角形(圖1(2))呢？

生7：只要加兩個條件了，因為它自帶一組直角．

師：非常好！你來試試．

生7：如果加兩條直角邊相等，那就是用SAS；如果加一組銳角相等，并且任意一組邊相等，那就是用AAS或者ASA；如果加一組直角邊相等，并且斜邊也相等，那就是用HL．

師：總結得很好！對于直角三角形，一般三角形全等的判定仍然適用．當然，因為已知一組直角相等的緣故，SSS這一判定需要添加三個條件，顯得有些“浪費資源”，是被舍棄的．同時也因為直角三角形的特殊性，與一般三角形相比，它還擁有一個特殊的判定方法(HL)．如果我們把這兩張鈍角三角形紙片放置到另一特殊的位置(圖3)，此時需要添加幾個條件呢？

圖3

問題3如圖3，在△ABC和△DEF中，要說明△ABC≌△DEF，需要添加幾個條件？

生8：兩個．因為它們有一組公共邊，所以只要加兩角、兩邊或者一角一邊即可．

師：觀察得很仔細，表達得也很清楚．我們把公共邊這樣的條件叫做隱含條件，善于挖掘隱含條件，會為我們解決問題提供很大的幫助．

設計意圖問題2和問題3也屬于非常基礎的題目，目的是幫助學生復習全等三角形的判定，強化判斷一組三角形全等需要三個條件，其中一組邊相等是必備條件．問題3引導學生善于挖掘題目中的隱含條件——公共邊、公共角、對頂角等，從而有助于問題的順利解決．

從大容量習題的學案走向簡約呈現、內涵豐富的問題驅動，可有效促進學生思維卷入高質量問題中，從而追求探索未知的有效教學．[2]在問題1～3的驅動下，學生從定義、性質、判定三個方面回憶了《全等三角形》這一章的知識點，這也是繼續研究其他幾何圖形的策略．同時，圖2和圖3還可以看成由△ABC平移、翻折而來，讓學生感悟圖形的運動變化是研究幾何的重要手段之一．

2.2 例題示范，規范解題格式

例1如圖2，已知AC∥DF，AC=DF，CF=BE．求證：AB∥DE．

例2如圖3，在△ABC和△DBC中，AC=DC，AB=DB，連結AD，試說明CB與AD的位置關系．

在原有圖2和圖3的基礎上進行命題，通過學生板書、師生合作點評，幫助學生梳理邏輯關系，明確幾何解題的規范，同時鞏固了位置關系和數量關系、間接條件和直接條件之間的相互轉化等知識點．因使用原圖，學生接受情況良好，節省了重新審題的時間，可以把更多的精力轉移到規范書寫上來．

例題過后設計一個開放的變式，如把鈍角三角形替換成銳角三角形或者直角三角形、把平移和翻折結合起來或者加上旋轉均可，這一選擇由學生自己來決定，師生合作完成．有了前期問題的鋪墊，學生進而會思考這兩張三角形紙片還可以如何放置，一般放置到某一特定位置，一定會生成一些新的特殊圖形，這是一個命題者極容易捕捉到的信息，根據這一信息，可以命制出一些新的題目來．

2.3 自主設計，落實四基四能

課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力，形成正確的情感、態度和價值觀[3]．

例題是教師命題學生做，最后教師把命題解題的自主權交給學生．學生利用手中的全等三角形，圍繞本節課的主題來設計圖形，繼而發現和提出問題，并能夠分析和解決問題．在此活動過程中，學生拼搭出很多作品，并在此基礎上嘗試命題解題．

學生部分作品如下：

作品1 將兩個全等三角形如圖4放置，∠A=75°，∠DBC=40°，求∠DCB的度數．

作品2 如圖5，已知△ABC≌△CDA，求證：AB∥DC，AD∥BC．

圖4 圖5

作品3 在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，將兩個全等的直角三角形如圖6放置，B,C,D三點在同一條直線上，求證：∠ACE=90°．

圖6 圖7

作品4 將三個全等的三角形如圖7放置，若∠ABC=18°，∠ACB=29°，求∠DAE的度數．

不少學生經歷了近30分鐘的學習后，有些疲憊和懈怠，通過這一活動環節，自主設計圖形、自主或者互相命題、獨立或者合作解決問題，不僅能幫助學生鞏固本章知識，還能拓寬學生思維，同時調動了學生學習的積極性，增進同伴互助，提高課堂實效．當然，因為條件的限制，本節課生成出的作品大都是直接使用拼搭的圖形本身，已知三角形全等，求邊求角的問題．課后教師還可以引導學生利用拼搭好的圖形，逐步添加線條，使得圖形更加豐富；也可以反過來通過添加合適的條件，轉而證明三角形全等．

2.4 課堂小結，布置作業(略)

3 回顧與反思

3.1 分析學情，定位精準

學生剛剛恢復線下學習，學習的狀態和以往相比還是略有不同，處于線上線下學習的過渡期．學生剛剛學完《全等三角形》這一章，許多知識點還有待進一步鞏固提高，通過本節課的復習幫助學生串聯全等的相關知識，初步建構全等三角形的知識體系，感悟幾何學習的方法．

在選題設計方面充分考慮學情，選擇的圖形簡潔清晰．課堂中出現的所有圖形都是由兩個全等的三角形構成，學生比較容易厘清邊、角之間的數量關系，幫助學生建立解題自信；同時注重基本圖形的變化，讓學生感知復雜圖形可以由簡單圖形運動變化獲得，逐步幫助學生完成從簡單圖形到復雜圖形的過渡；在學生完全掌握了基本知識，積累一定的解題基本經驗后，再逐步接觸比較復雜的圖形，從而減少學生學習數學的畏難情緒．

3.2 動手設計，自主命題

通過學生訪談，了解到他們也不是故意不聽課，有些時候聽著聽著就走神了，等到回過神來的時候已然聽不懂了，長此以往學生也就慢慢失去了數學課堂的參與能力．基于此，把課堂還給學生，把命題解題的自主權交給學生，讓他們利用兩張全等的三角形紙片進行拼搭，設計圖形—提出問題—分析問題—解決問題，通過這個活動，讓學生過了一把當老師的癮，學習勁頭就上來了．從簡單的拼搭開始，慢慢添加線條，圖形越來越復雜，學生能解決的問題越來越多，自信和興趣便隨之增多．

在“做”數學的活動中，要時刻關注學生是否能在教師的引導下，積極主動進行操作、探索、歸納；能否有條理地思考和表達；能否有意識地反思探索的過程，獲得分析問題的經驗．此外，教師不僅要關注學生參與操作、探索、歸納活動的程度，而且要關注

學生能否通過獨立思考獲得證明的思路，能否運用規范的數學語言表述論證的過程．

活動的順利進行基于小組合作，如果學生只會拼搭圖形，但解決問題的能力偏弱些，組內的成員們會幫助他一起解決，同時其本人也會更加專注別人解決問題的方法，更有針對性地去關注自己當時的難點，為下一次自己能夠獨立解決問題奠定基礎．

3.3 適當放手，留有余地

學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者和合作者，作為教師應該把更多的時間和空間留給學生自己，而不是急于表達教師想表達的，應當多關注學生學習的過程，給予更多學生表達自己的機會．有了輕松民主的課堂氛圍，學生思維的火花就能精彩頻出．

課后一位學生分享了他的思考．他認為使用三角形紙片不妥，他拿出自己使用毛根(一種可彎曲定型的手工材料)制作的三角形，很認真地說，這才是三角形，而且疊合時前面的三角形也擋不住后面的．確實如此，他的想法是正確的，筆者大力表揚了他勤于動手、善于觀察、專于思考、敢于發問．然后解釋，用他的道具更好，只是不太常見，同學們不容易找到，解題時不能及時應急，紙片雖然不夠嚴謹，但是能表達清楚題目意圖，關鍵是它隨時可取，在必要的時候能夠幫助我們解決問題．不過紙片三角形也好，毛根三角形也罷，它們都只是協助我們思考的“腳手架”，當我們能夠順利解決問題時，也可以無需通過道具就能解決問題，但是毋庸置疑，這些道具在幫助我們設計圖形、分析問題時發揮了極其重要的作用．