問題鏈視角下GeoGebra在數學公式教學中的運用
——以“等比數列前n項和”教學為例

楊雪藜

“數學問題鏈教學試圖以問題鏈為載體，驅動學生的數學思考，在問題解決的過程中實現數學再創造，在再創造過程中建構新知識、體驗數學思想方法?！保?］指向數學核心素養的問題鏈教學的關鍵在于圍繞數學核心素養的落實，確定高質量的主干問題及鋪設序列化子問題。［2］

GeoGebra是適用于所有教育階段的動態數學軟件，它將幾何、代數、表格、圖形、統計和微積分匯集在一個易于使用的軟件包中。教師通過合理運用GeoGebra動態演示組件，可以在高中數學的教學過程中根據學情進行個性化設計，將技術融入教學，幫助學生在短暫的課堂上以直觀而生動的感受快速而準確地理解抽象的知識。

高中數學公式教學的知識內容抽象程度高、思維難度大，在教學中往往存在以下三個方面的困難：第一，公式推導枯燥、教學方式單一；第二，學生理解艱難、接受程度不足；第三，條件結論抽象、記憶方法較差。在此背景下，問題鏈的引入和GeoGebra軟件的合理使用能夠最大限度地將抽象的知識點轉化為直觀印象，幫助學生理解和記憶并進一步完成應用能力的提升。

一、問題鏈視角下GeoGebra在高中數學公式教學中的運用策略

等比數列是繼等差數列之后學生學習的重要數列。在學習等差數列和等比數列的基本概念、遞推公式、通項公式與等差數列前n項和之后，學生能識別和處理簡單的等差數列的相關問題。但是學生在學習等比數列時比較困難：等比數列不容易通過實物進行具象化理解，在沒有極限知識的情況下學生對等比數列收斂與發散的定義較難直接掌握和記憶，無窮多項和等于定值與直覺相悖使得理解公式難上加難。

在高中數學等比數列的相關內容中，公式推導是教學的重要組成部分。基于等差數列的相關知識，通過問題鏈的構建，可以引導學生在學習過程中由基礎任務向難度任務進發。另外，教師適當運用技術手段，通過GeoGebra動態軟件對等比數列求和進行可視化展示，推動問題鏈的構建，最終解決問題，幫助學生實現從知識到技能再到應用的能力飛躍。下面，筆者結合“等比數列前n項和”的教學案例，在數學問題鏈視角下，討論GeoGebra軟件輔助高中數學公式教學的策略。

1.情境化引入問題，提升課堂教學的生動性

問題1：請同學們回憶等比數列的定義，如何確定一個數列是等比數列呢？我們的身邊哪些實際的物品可以組成一個等比數列？

問題2：存款和借款問題與等比數列有關。若一個人每個月都買入a元銀行理財產品，每個月理財回報率固定為r，請同學們計算一下，如果像這樣堅持理財n個月，一共可獲得多少錢？請大家把計算表達式寫出來。

【設計意圖】問題1關聯舊知識，在課堂伊始幫助學生回憶等比數列中任意相鄰兩項之比為定值這一知識點，同時用生活中常見的等比數列實例幫助學生快速進入學習狀態。問題2從生活情境回歸抽象問題，引出等比數列求和模型，引導學生列出一個求等比數列前n項和的算式。

2.參與式聚焦問題，強化概念理解的主動性

（1）發現特征，掌握計算方法

問題3：觀察等比數列的求和算式Sn=a1+a1r+a1r2+…+a1rn-1，有什么特點？

問題4：回顧等差數列求和公式的推導過程。如何讓等比數列求和表達式中這么多項變為有限的、容易計算的幾項？

【設計意圖】針對問題3，學生可能會從求和算式的項數、相鄰兩項的關系、任意一項公比的次數與項數之間的關系等多方面作答。在此基礎上，教師幫助學生類比等差數列求和公式的推導過程，引導學生在等式左右兩邊同乘公比r，消掉中間項，為接下來講授“錯位相減”法作鋪墊。

（2）應用公式，鞏固新知

【設計意圖】問題5和問題6安排學生獨立或小組合作完成，目的是讓學生發現解題的要點是確定數列的首項、項數和公比，從而根據公式列出含有未知數的方程，加強學生對等比數列求和公式的記憶和靈活應用，進一步強化方程思維在解題中的運用。

3.實踐中延伸問題，深化公式應用的可視性

（1）分類討論，實驗探索

問題7：現在我們已經掌握了等比數列前n項和公式，請問各位同學思考，銀行理財在賺錢和虧錢時，公比r有什么不同？能否把等比數列按公比的取值進行分類？下面，讓我們通過實驗來探究等比數列的增減性與公比之間的關系。

【實驗一】實驗過程：學生通過平板或電腦上的GeoGebra軟件，打開提前設置好的GeoGebra動態演示文件，其中橫坐標為項數、縱坐標為數列中的項對應的數值，公比設置為滑動條、首項為20，取等比數列前10項的點標在該坐標系中。學生觀察等比數列中前10項值的趨勢，然后拖動滑動條、改變公比的值，繼續觀察數列中前10項值的變化。（見圖1）

圖1 等比數列增減性的實驗

結論：當公比|r|＞1時，數列中的項的絕對值隨項數的增大而增大；當|r|＜1時，數列中的項的絕對值隨項數的增大而減小，且越來越接近0。

【設計意圖】問題7是對問題1的延伸和擴展，學生雖不需要學習數列增減性的準確定義，但也能夠通過觀察，判斷圖中各點的變化趨勢。小組討論時學生之間互相幫助，實驗結束后總結出公比的大小決定了等比數列的變化趨勢。教師在學生代表發言之后進行簡單總結和分類，即可得到結論。

（2）形成概念，實驗求證

問題8：對于等比數列而言，當公比滿足|r|＜1且r≠0時，稱該數列是收斂的；反之，稱數列是發散的。請同學們思考，收斂數列的項有什么特點？當項數比較大時，一個收斂數列的第n項與第（n+1）項的大小關系是什么？

猜想：根據實驗一的結果，隨項數的增大，收斂數列中項的絕對值不斷減小。當項數比較大時，收斂數列中第（n+1）項和第n項都很小，小到非常接近0。

問題9：收斂數列無窮多項和的大小是否變化？

圖2 收斂等比數列無窮多項和公式的可視化證明

結論：當數列收斂時，圖中小直角三角形的底邊長即為數列中每一項的值，大三角形底邊長則是無數個小三角形底邊長的和。也就是說，等比數列無窮多項的和等于大三角形的底邊長。因此，收斂等比數列的無窮多項和是常數。

問題10：你能根據圖形嘗試推導這個和的表達式嗎？收斂等比數列無窮多項和的大小與什么有關？

【設計意圖】學生沒有學習過極限的概念，如果直接從等比數列前n項和的公式出發，在|r|＜1的條件下，用rn→0來解釋無窮項和公式與前n項和公式的差別，符號的陌生感會進一步擠壓學生的學習興趣和思考空間。通過直觀圖形的展示，學生既能找到相似三角形比的關系，又能觀察到底邊長與數列中前幾項的對應關系，這樣能在規避無窮與極限概念的同時，直接展示無窮項的幾何意義、給出收斂數列無窮項和的直觀解釋；更重要的是，學生可以通過小組合作的方式自行推導無窮項和公式，其中的獲得感和成就感非常有利于學生對公式的理解和記憶。

二、總結和討論

問題鏈教學設計依據數學核心觀念設置與之關聯的高質量主干問題，圍繞主干問題鋪設利于學生思考與探究的序列化子問題。公式教學可以依托問題鏈教學設計，從問題情境出發，讓學生在探究與合作中感知公式、在公式變形中應用公式。

在本文的教學案例中，學生從實際生活情境出發，在問題鏈教學的引導下，從等比數列前n項和公式的“錯位相減”代數推導學習任務推進到收斂數列無窮項和公式幾何證明的挑戰任務上。通過GeoGebra的輔助教學手段，學生能在自主操作的情境下進入問題鏈，并與小組同伴進行實時溝通、分析和展示，既能實現公式的可視化、具象化，又能在分析與解決問題的過程中實現對數學公式的深度理解。

GeoGebra動態演示軟件本身的“動態”特性能將具有一定跨度的主干問題串聯起來，在問題鏈教學中驅動學生進行觀察、比較、交流和思考，同時又通過圖形在變化過程中展示出的邏輯關聯給學生提供一定的提示與啟發，幫助學生厘清數學內容的內在架構，達到對核心觀念的理解與運用。教師也可以通過巧妙設計變量、幾何代替代數等方法，對抽象的公式和概念進行可視化表達，增強學生的理解能力和接受程度。

需要特別指出的是，GeoGebra軟件雖然比較容易上手操作，但是要想完成一個符合教學邏輯和操作步驟的動態演示文件，仍需要大量嘗試、學習、思考和實踐。但軟件本身帶來的廣闊創意空間，在目前常見的所有數學軟件中是較具優勢的。