Geogebra軟件在波動光學教學中的應用

羅宇晴，吳少平

華中師范大學物理科學與技術學院，武漢 430079

光學是物理學一個重要的學科分支，光的干涉和衍射現象是光學重要的研究內容。1801年，托馬斯·楊用光的“波動性”解釋了光的干涉現象，第一次成功測定了光的波長。1815年，菲涅爾對惠更斯原理進行了修正，提出了惠更斯-菲涅爾原理。該原理不僅能解釋各向同性均勻介質中光的直線傳播現象，還完美地解釋了光的衍射現象[1]。從此，波動光學發展成為光學的重要組成部分。由于觀測光的干涉和衍射現象對實驗條件要求較高，教師難以在課堂進行演示實驗。2016年，教育部印發的《教育信息化“十三五”規劃》提出要創新應用優質教育資源，積極探究新型教學模式[2]。Geogebra是一款結合幾何、代數、微積分和統計功能的動態數學軟件[3]，該軟件開源免費，簡單易學，而且交互性好，特別適用于理科教學[4]。筆者利用Geogebra軟件制作動態演示圖，用于波動光學中2個典型實驗的理論教學。

1 利用Geogebra演示雙縫干涉實驗

1801年，英國物理學家托馬斯·楊利用雙縫實驗演示了雙光束干涉現象，并首次推算得到光的波長，實驗驗證了光的波動理論，為量子學說的創立奠定了堅實的基礎。兩列頻率相同、振動方向相同，并且在觀察期間相位差不變的相干波疊加后，合振動會在某些區域加強，而在某些區域減弱。疊加區域內各點合振動強度在空間中的穩定非均勻分布即為光的干涉圖樣，其本質為兩列光波相位差的空間分布。在傳統課堂教學中，通常用光線代替光波，無法直觀展現出相位差的變化。利用Geogebra軟件，不僅可以直觀展示相位差的大小，還可以清晰地觀察到狹縫間距和入射光振幅變化對光強分布的影響，從而幫助學生深入理解雙光束干涉的物理機制。

1.1 雙縫干涉理論知識

如圖1所示，兩列等振幅且初相位相同的相干波分別從空氣中的定點A和B出發到達空間P點，兩列波的振動方程可分別表示如下：

圖1 雙縫干涉動態圖

式中E1和E2表示電場強度，ω為角頻率，波數，λ 為波長，r1＝AP，r2＝BP，φ0為初相位。兩列波在 P 點相遇后的相位差 Δφ＝k（r2-r1）＝kδr,其中δr表示光程差，空氣中折射率n≈1。

當光程差等于半波長的偶數倍，兩列波疊加后的強度為最大值，形成亮紋，稱為干涉相長；

當光程差等于半波長的奇數倍，兩波疊加后的強度為最小值，形成暗紋，稱為干涉相消。

上式中j表示干涉級，從0級開始計算。

由圖1可知，光程差可以表示為：

（1.5）式中 d＝AB，表示雙縫之間的距離，r＝CD，y＝CP。

將（1.5）式代入（1.3）式，得到產生明紋的條件為

將（1.5）式代入（1.4）式，得到產生暗紋的條件為

相鄰兩條明紋或相鄰兩條暗紋之間是等間距的，間距Δy的大小為

1.2 課件制作

（1）雙縫制作過程

如圖1所示，兩束相干光通過狹縫A與狹縫B會聚在光屏上P點。用描點工具單擊y軸，設定點 A，然后在命令欄輸入 B（0,-y（A））。

（2）光屏制作過程

用描點工具單擊x軸正半軸，設定點C；單擊原點，設定點D。用垂線工具單擊點C與x軸，創建直線f來模擬光屏。在直線f上任取一點P，利用線段工具分別單擊點A與點P創建線段AP，單擊點B與點P創建線段BP，單擊點D與點P創建線段DP。

（3）參數制作過程

創建波動方程中的4個參數，即振幅A、波長λ、波速v和時間t。為確保干涉現象全參數可調，利用滑動條工具單擊繪圖區，創建振幅A，設置變化范圍[0.1，5]，單位為 V/m；創建波長 λ，設置變化范圍[0.2，15]，單位為 μm；創建波速 v，設置變化范圍[0.1，5]，單位為 m/s；創建時間 t，設置變化范圍[0，25]，單位為s。點擊右鍵設置動畫屬性為“重復遞增”。

（4）波動方程制作過程

在命令欄輸入 p（x）＝if（0＜x＜Length（DP）＋1，Asin（2π（vt-x）/λ）），得到一列沿 x 軸傳播的波函數。在命令欄輸入 Rotate（p（x），atand（（y（A）-y（P））/（x（A）-x（P）））），得到曲線 a。在命令欄再次輸入Translate（a，Vector（D，A）），我們就繪制出了第一列入射波。同理，繪制第二列入射波。

（5）光強分布函數制作過程

利用線段工具單擊點A與點B，創建線段AB，單位為mm；單擊點C與點D，創建線段CD，單位為m。在命令欄輸入 q（x）＝2A2（1＋cos（2πdx/（λr））），創建光強分布函數，最后繪制出光強分布圖。

（6）光強振幅制作過程

在命令欄輸入 d＝p（Length（BP））＋p（Length（AP）），回車后繼續輸入 E（x（p），y（p）＋d），連接點P與點E，創建線段PE表示P點光強的大小，如圖1所示。

（7）光程差制作過程

利用垂線工具單擊點A與直線BP，創建垂線AF，垂線AF與直線BP交點為點F，線段BF即為光程差 δr。

1.3 課件說明

（1）改變兩列相干波相位差的大小，分析明暗條紋產生的條件。

設置相關參數后，拖動點P在光屏上滑動，改變兩列相干波相位差的大小?？梢园l現，當光程差相差半個波長的偶數倍，產生明紋（圖2）；當光程差相差半個波長的奇數倍，產生暗紋（圖3）。動畫演示結果與（1.3）和（1.4）式結果完全一致。

圖 2 δr≈λ，P點為明紋

圖 3 δr≈λ ／2，P 點為暗紋

（2）驗證“r>>d時，∠α與∠β近似相等”的條件。

在推導光程差δr的過程中，當r>>d時，我們認為∠α與∠β近似相等。利用Geogebra軟件，可以直觀地證明這一條件的正確性。如圖4所示，r≈3d時，∠α與∠β相差還比較明顯；但當r與d取值相差很大（r≈30d）時，∠α與∠β幾乎相等，如圖5所示。

圖 4 r≈3d 時，∠α≠∠β（X 軸∶Y 軸＝1∶1）

圖 5 r≈30d 時，∠α≈∠β（X 軸∶Y 軸＝2∶1）

（3）改變雙縫間距d，波長λ以及雙縫到光屏的距離r，觀察干涉圖樣的變化。

設置入射光振幅A為2.6 V/m，波長λ為10μm，r為65.88 m，拉動滑動條改變雙縫間距d。對比圖6和圖7可以發現，隨著雙縫間距d增大，干涉條紋間距明顯減小，與(1.8)式結果一致。設置r為65.88 m，雙縫間距d為29.93 mm，拉動滑動條改變雙縫到光屏的距離r。對比圖7和圖8可以發現，隨著距離r的增大，條紋間距增大。拉動滑動條改變波長λ，對比圖8和圖9可以發現，隨著波長λ的增大，條紋間距也增大。

圖6 d≈16時的雙縫干涉圖樣

圖7 d≈30時的雙縫干涉圖樣

圖8 λ=10時的雙縫干涉圖樣

圖9 λ=15時的雙縫干涉圖樣

（4）改變入射波振幅，觀察干涉圖樣的變化。

設置波長 λ 為 15 μm，r為 65.88 m，雙縫間距d為29.93 mm，拉動滑動條改變入射光振幅A。對比圖10和圖11可以發現，隨著入射光振幅A的增大，條紋間距不變，干涉光疊加振幅增大。

圖 10 A＝2.6時的雙縫干涉圖樣

圖 11 A＝3.6時的雙縫干涉圖樣

2 利用Geogebra演示光柵衍射現象

“衍”始見于商代甲骨文，本指水流順河道匯于海，引申指蔓延、擴展。光的衍射指光在空間傳播過程中，遇到與波長差不多數量級的障礙物或者孔隙時，會發生光線彌漫的現象。由于可見光波長較短，光波的衍射現象在日常生活中并不明顯。

2.1 理論知識

任何具有空間周期性的衍射屏都可以叫作光柵，衍射光柵一般每毫米內有幾十條乃至上千條縫。光柵和棱鏡一樣，作為重要的分光裝置，常用來形成光譜[1]。光柵衍射的光強分布是單縫衍射與多縫干涉共同作用的結果。利用矢量疊加的方法可以得到如下公式：

單縫衍射屏上P點光強公式：

光柵衍射屏上P點光強公式：

單縫衍射最小值位置滿足條件：

多縫干涉主最大位置滿足條件：

多縫干涉最小值位置滿足條件：

光柵衍射光強分布中的單縫衍射因子與單縫衍射強度曲線形式相同；光柵衍射圖樣中出現的一系列較強的亮線叫作主最大，較弱的亮線叫作次最大；相鄰主最大之間有N-1條暗紋和N-2個次最大；主最大的寬度隨N的增大而減小，且強度正比于N2。

2.2 課件制作

（1）參數制作過程

為確保單縫衍射光強分布全參數可調，利用滑動條工具單擊繪圖區。創建振幅A，設置變化范圍[0，5]，單位為 V/m；創建波長 λ，設置變化范圍[1，10]，單位為 μm；創建單縫寬度 a，設置變化范圍[0，10]，單位為μm；創建光柵到光屏的距離參數 L，設置變化范圍[0，10]，單位為 m；創建光柵縫數N，變化范圍[1,100]，增量為1；創建光柵常數d，變化范圍[1,30]，單位為μm。

（2）光強分布函數制作過程

在命令欄輸入 f（x）＝A2sin2（πax/（λL））/（πax/（λL））2，表示單縫衍射光強分布函數。在命令欄輸入 g（x）＝sin2（Nπdx/（λL））/sin2（πdx/（λL）），表示縫間干涉疊加效果；創建函數 h（x）＝f（x）g（x）／N2，表示光柵衍射光強分布函數。

2.3 課件說明

（1）改變狹縫寬度a，分析衍射圖樣的變化。

設置入射光振幅A為1V/m，距離L為1m，波長λ為4 μm，光柵常數d為18 μm，狹縫數目N為6。拖動滑動條，改變狹縫寬度a。對比圖12和圖13可知，在一定范圍內，隨著單縫寬度a增大，衍射效果對多縫干涉調制的效果越明顯。如圖13所示，當d=3a時，在±3λ/d主極大處出現了缺級。

圖12 狹縫寬度a=0.7時的光柵衍射光強分布圖

圖13 狹縫寬度a=6時的光柵衍射光強分布圖

（2）改變光柵常數d，分析衍射圖樣的變化。

設置入射光束振幅A為1V/m，距離L為1m，波長 λ 為 4 μm，狹縫寬度 a為 5 μm，狹縫數目N為6。拖動滑動條，改變光柵常數d，由圖14與圖15可知，在一定范圍內，隨著光柵常數d的增大，多縫干涉明紋(主極大)間距減小，與上文中雙縫干涉得到的結論一致。如圖14所示，當d=2a時，在±2λ/d主極大處出現了缺級。如圖15所示，當d=4a時，在±4λ/d主極大處出現了缺級。

圖14 d=2a時的光柵衍射光強分布圖

圖15 d=4a時光柵衍射光強分布圖

（3）改變狹縫數目N，分析衍射圖樣的變化。

設置入射光束振幅A為1V/m，距離L為1m，波長 λ 為 4 μm，狹縫寬度 a為 3 μm，光柵常數d為12 μm；拖動滑動條，改變狹縫數目N。對比圖16與圖17可知，隨著狹縫數目N增大，衍射明紋變細變亮。d=4a時，在±4λ/d主極大處出現了缺級。

圖16 N=6時的光柵衍射光強分布圖

圖17 N=30時的光柵衍射光強分布圖

3 結論

將Geogebra軟件用于波動光學教學有以下三個優勢：一是可以生動形象地動態演示光的干涉、衍射現象，利于學生將抽象的物理知識轉化為直觀感性的認識；二是實現了實驗過程全參數可調，可以讓學生自主探究各物理量對光強分布的影響，充分調動了學生的主觀能動性；三是有利于調動學生學習的積極性，培養學生自主探索和自主學習的科學素養。