如何培養學生在復雜物理情境中的數學分析能力

吳春曉 ，黃致新

1.華中師范大學人工智能教育學部，武漢 430079

2.四川省成都市第七中學，成都 610041

3.華中師范大學物理科學與技術學院，武漢 430079

1 引言

我國的《普通高中物理課程標準（2017年版2020 年修訂）》［1］和美國的《下一代科學能力標準》［2］都強調培養學生分析復雜物理問題能力的重要性。與此同時，學生在數學學科中掌握的數學方法要用在物理情境的分析中，仍然需要合適的引導和訓練。相反地，如果物理教師簡單地認為物理中的數學計算應該全由學生自己解決，而不加引導，那么就會有相當一部分學生由于不熟悉數學分析方法在物理情境中的運用，而產生學習物理的畏難情緒。所以，培養學生在復雜物理問題中進行數學分析的能力，對提升學生的物理學科核心素養很有幫助。

復雜物理情境的分析有難度高、方法多、計算量大等特點，極值問題又是其中對學生科學思維要求很高的一類問題。極值問題在數學中指的就是極大值或者極小值，在物理情境中則對應了在一定條件下某個物理量能夠取得的最大值或最小值。在物理情境的表述上經常出現：至少、恰好、剛好、最大、最小、最短、最長等關鍵詞［3］。求解極值問題的方法包括但不限于：利用函數的單調性求極值，利用三角函數求極值，利用二次函數求極值，利用均值不等式求極值，利用圖解法求極值［4］。如果僅僅向學生簡單地羅列相應的題目和方法，學生只能知道這個題目如何求解，而他們的科學推理能力并沒有得到顯著提升。只有當學生能夠在面臨新的物理情境的時候，經由適當的模型建構，能夠意識到需要運用這樣的方式進行極值的求解，并最終能夠得出正確的結論，其科學推理能力才得到了提高。

為了達到培養學生科學思維中科學推理能力這一目標，需要循序漸進地為學生展示在物理情境中均值不等式這一數學工具的使用場景和操作模式。經過了難度螺旋式上升的訓練之后，學生才有可能真正掌握均值不等式在物理問題中的使用方法。這樣的方法及過程需要從均值不等式的證明開始，在高中物理教學過程中循序漸進地使用，最后學生對在物理情境中運用數學工具才會有更加深刻的感悟。當然，對于其中部分情境而言，可能會有更方便快捷的方法［5］，但是為了不沖淡主題，本文將不再另外展示其他方法。

2 均值不等式的概念及證明

在數學中，均值不等式又稱為平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式。公式內容為調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。關于均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等，都可以證明均值不等式。物理中運用均值不等式的情境和數學不同，是為了處理實際的物理情境，與此同時，學生在物理情境中需要用均值不等式的時候可能數學學科還沒學習均值不等式。不同于高中人教版數學必修5B版［6］中的證明，在物理教學中只需要簡單地證明即可：

由于對于任意正數x和y均滿足：

（2）式可以進一步寫成如下形式：

在物理中對均值不等式的應用主要是當二者之積為定值時，二者相等時其和可以取得最小值。所以，一個物理問題是否能夠運用均值不等式求解的關鍵往往就在于其表達式的兩個部分的乘積是否為定值。

3 均值不等式在不同高中物理情境中的應用

3.1 在運動學中初識均值不等式

學生進入高中的第一步就是學習運動的描述和勻變速直線運動的分析方法，科學思維的培養需要學生體會從模型建構、科學推理、科學論證到質疑與創新這一條完整的分析流程中的每一步。簡單地公式套用只能說是科學推理的一部分，通過下面的例1能夠在一個簡單的物理情境中初步應用均值不等式，給學生展示一個清晰的分析邏輯。

例1已知汽車在加速過程中每秒鐘的耗油量與行駛的加速度a的數量關系為Q＝Ma＋N（M、N均為待定量）。若某型號汽車由靜止開始做勻加速直線運動，行駛了位移s，若要此段運動中汽車的耗油量最小，則汽車的加速度大小及最小耗油量應為（ ）

解析本題創立了一個對于學生而言比較陌生的情境，所以學生首先需要構建物理模型，也就是需要寫出總耗油量Q的表達式。

由于是勻加速直線運動，每秒鐘的耗油量恒定，于是得到：

同時，由于汽車做勻加速直線運動，于是：

由此，可以得到t的表達式，代入上式得到：

進一步化簡得到：

3.2 在重心的確定中拓展均值不等式

在運動學中給學生進行了鋪墊之后，進入“重力”這一節時，對于競賽生，就可以給他們展示例2這樣的例子，從而在例1的基礎上，再一次加深對均值不等式運用的理解。當然，對于普通高考生而言也完全可以跳過例2，直接在合適的時候給出例3。

例2一個有底無蓋的圓柱形桶，底面質量不計，桶側面質量為a，桶的重心在中軸線上的正中間位置，裝滿水后水的質量為b。裝入水的質量m為多少時，水和桶的合重心最低？

圖1 例2示意圖

則水和桶的合重心的高度可以表達為：

3.3 在牛頓運動定律中深挖均值不等式

例3如圖2所示，粗糙的水平地面上有三塊材料完全相同的木塊 a、b、c，質量均為 m，b、c 之間用輕質細繩連接。現用一水平恒力F作用在c上，三者開始一起做勻加速運動，運動過程中把一塊橡皮泥粘在某一木塊上面，系統仍加速運動，且始終沒有相對滑動。則在粘上橡皮泥并達到穩定后，下列說法正確的是（ ）

圖2 例3示意圖

A.無論粘在哪個木塊上面，系統的加速度都將減小

B.若粘在a木塊上面，繩的拉力減小，a、b間摩擦力不變

C.若粘在a木塊上面，繩的拉力增大，a、b間摩擦力增大

D.若粘在c木塊上面，繩的拉力和a、b間摩擦力都減小

將質量為m0的橡皮泥粘在a木塊上之后，a、b間摩擦力變為：

解析本題的正確答案A、D很容易能夠選出來，這里不再贅述。為進一步深挖均值不等式的應用，對B選項進行再研究。教師可以將B選項的嚴格證明作為一個思考題布置給學生，激發他們的探究精神。

由牛頓運動定律可以得到，將質量為m0的橡皮泥粘在a木塊上之前，a、b間摩擦力為：

這意味著，若 F＝4.5μmg，即 m0＝0 時，即不粘橡皮泥時，已經有 f′max，再往上面粘橡皮泥，則 a、b 間摩擦力會減小。若 F＜4.5μmg，均值不等式無法取等，所以往a木塊上粘橡皮泥，則a、b間摩擦力會減小。若 F＞4.5μmg，當 m0取得一個大于零的值時，能取到f′max，所以逐漸往a木塊上粘橡皮泥，則a、b間摩擦力會先增加再減小。所以，B選項錯誤。

這樣的思考題，不僅能培養學生利用均值不等式解決物理問題的能力，還能培養學生的科學探究精神。

3.4 在平拋運動中識別均值不等式

在對平拋運動的物體進行分析時，在豎直面限制問題、水平面限制問題、斜面限制問題、拋物面限制問題、圓弧面限制問題都涉及到極值問題的求解，相關的極值問題已經有文章作出過比較全面的歸納［7］，這里不再重復。此處只列舉一例比較有代表性的物理情境。

例4探險隊員在探險時遇到一個山溝，山溝的一側豎直，另一側的坡面呈拋物線形狀。隊員從山溝的豎直一側，以速度v0沿水平方向跳向另一側坡面。如圖3所示，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知，山溝豎直一側的高度為2h，坡面的拋物線方程為，探險隊員的質量為m。人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少？

圖3 例4示意圖

這個在平拋運動中結合動能定理處理極值的問題，不僅涵蓋了函數的思想，還從更加靈活的角度，在配方的情況下運用了均值不等式。通過這個式子，學生對于在物理情境中利用均值不等式解決問題的感悟會更加深刻。

3.5 在萬有引力中變換均值不等式

例5設想人類開發月球，不斷把月球上的礦藏搬運到地球上，假定經過長時間開采后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運動，則與開采前相比（ ）

A.地球與月球的萬有引力將變大

B.地球與月球的萬有引力將變小

C.月球繞地球運動的周期將變長

D.月球繞地球運動的周期將變短

解析正確答案B、D中的D選項很容易判斷，這里不再贅述。關鍵是B選項的處理方式就需要用到均值不等式了：

3.6 在動量守恒中融入均值不等式

例6A球的質量是mA，以某一速度v0沿光滑水平面向靜止的B球運動，B球的質量是mB，A與B發生正碰，碰撞過程中機械能不損失，當mA不變，而B球質量取不同值時，下列說法中正確的是（ ）

A.mB＝mA時，碰撞后B球的速度最大

B.mB＝mA時，碰撞后B球的動能最大

C.mB＜mA時，mB越小，碰撞后 B 球速度越大

D.mB＞mA時，mB越大，碰撞后 B 球動量越大

【答案】BCD

由于碰撞過程中系統的動量守恒和能量守恒，能夠很快得出碰后B球的速度表達式為：

當mB越小，有vB越大，于是A選項錯誤，C選項正確。

在本情境中，為了化簡出均值不等式的形式，采取了分子、分母同除以變量mB的方式，這個方式在不需要采用均值不等式時用于處理分子分母都有變量的表達式也非常便捷。

3.7 在電學實驗中活用均值不等式

例7在測定電源電動勢和內電阻的實驗中，實驗室提供了合適的實驗器材。某同學誤將測量電路連接成如圖4所示，其他操作正確，根據電壓表的讀數U和電流表的讀數I，畫出U-I圖像如圖5所示，可得電源的電動勢：

圖4 例7示意圖

圖5 U-I圖

E＝_______V，內電阻 r＝_______Ω（結果保留兩位有效數字）。

解析此題的關鍵在于R1被分為了兩個部分，而這兩個部分是并聯關系。假設R1左邊部分的阻值為x，于是這個并聯部分的阻值為：。沿用例5中和定積最大的思想可得，當 x＝R1-x即時，R并取最大值。所以，圖 5 中的（0.5 A，2.5 V）這一點就是當滑片在R1中間時測量的值。此時干路電流為電流表示數的兩倍，由閉合電路歐姆定律可以得出對應的方程。

由于有兩個變量，所以還需要再列一個方程，當滑動變阻器滑片左端阻值為x時的干路電流和當其左端阻值為（R-x）時的干路電流相等，而電流表測量的分別為阻值為x支路的電流和阻值為（R-x）支路的電流。所以，可以等效認為：圖5中電壓相等的兩點對應的電流值分別表示兩個支路的電流，其和即為干路電流。于是，從圖5中可以找到電壓相等的（0.33 A，2.4 V）和（0.87 A，2.4 V）兩個點。可以等效為當滑片處于這個位置時，此時并聯的兩個支路的電流分別為0.33 A和0.87 A，此時的干路電流就是0.33 A+0.87 A=1.2 A，于是由閉合電路歐姆定律可以得到第2個方程。

兩個方程聯立就可以得出電源電動勢大小為 3.0 V，電源內阻大小為 0.50 Ω。

4 結論

高中物理學科核心素養的培養是一個長期的過程，其中關于數學分析能力的培養也不是簡單的一個例題就能一蹴而就的。核心素養真正得到發展的學生一方面能夠在不同的物理情境中識別并使用相同的數學方法進行求解，另一方面他們也能在同一個物理情境中運用不同的物理方法進行求解，并比較這些方法。這兩個方面分別對應了科學推理方法的縱向培養和不同推理方法的橫向對比。本文只專注于同一個科學推理方法在不同物理情境中應用的縱向的培養方式，選取了學生在高中階段開始接觸的均值不等式，這一對他們而言可能還比較陌生的數學工具作為載體，展示了其在高中物理的不同知識板塊的應用場景。當然，這些場景可能采取其他的分析方式能夠更快地得出結論，但是學生掌握一種工具最好的方式就是反復使用這個工具，熟練使用了之后才能在不同的工具中進行選擇。希望通過本文的嘗試，能夠讓更多的學生掌握均值不等式這一工具在物理問題分析中的運用方法，也為他們今后熟練應用其他數學工具提供一點幫助。