淺析《水力學(xué)》課程中的壓力體

鄧 歡

（桂林理工大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院 廣西桂林 541004）

水利工程中常遇到受壓面為二向曲面的情況，如拱壩壩面、弧形閘門、球形容器等，由于曲面各處所受到的靜水壓強(qiáng)的大小及方向都不相同，因此在計(jì)算作用于其上的靜水壓力P時(shí)，要將問題轉(zhuǎn)變成求平行力系的合力問題。先分別計(jì)算出作用于曲面水平方向上的分力Px和垂直方向上的分力Pz，再求二力的合力即為靜水壓力P。如圖1，二向曲面AB一側(cè)承受水壓力，其母線平行于Oy軸，曲面寬為b，面積為A。水平分力Px相當(dāng)于是作用在曲面AB在yOz平面上的投影面Ax上的靜水壓力，可通過平面上的靜水壓力求解方法得以解決。求解垂直分力Pz時(shí)，則需要分析壓力體體積，因此能正確理解和繪制壓力體便成為計(jì)算垂直分力Pz的關(guān)鍵[1]。而壓力體是一個(gè)比較抽象的概念，是學(xué)生在學(xué)習(xí)《水力學(xué)》和《流體力學(xué)》等課程的過程中感到比較困難的部分。

圖1 作用于二向曲面AB上的靜水壓力示意圖

一、壓力體的概念

在曲面AB上沿母線方向任取條形微元面EF，其面積為dA，可視為傾斜平面，與鉛垂面的夾角為α，作用在EF面上的壓力為dP。

在微元面EF上，靜水壓力dP沿垂直方向的分力dPz為

其中dAsinα可看作是dA在xOy平面上的投影面積，記為dAz，代入式（1）

hdAz是以微元面EF的水平投影面為底，b為寬，h為高的微小柱體體積，則ρghdAz為以此體積計(jì)算的水體重量。

那么，整個(gè)曲面AB上靜水壓力的垂直分力Pz，可看作是無限個(gè)dPz的合力，故有

為受壓曲面與自由液面（或自由液面的延續(xù)面）之間的無數(shù)微小柱體體積之和，該空間體積稱為壓力體[3]。因此，作用于曲面上的靜水壓力P的垂直分力Pz等于壓力體體積所表示的液體重量。垂直分力Pz的作用線，應(yīng)通過壓力體的體積形心。

令壓力體的ABMN面面積為Ω，則

壓力體和實(shí)際水體并不一定在受壓曲面的同一側(cè)。圖2（a）所示的水體與壓力體位于曲面同側(cè)，看似壓力體內(nèi)部裝滿了水。圖2（b）所示的水體與壓力體位于曲面兩側(cè)，壓力體內(nèi)部并不存在水體。可見，壓力體僅是一個(gè)抽象的體積概念，是作為計(jì)算曲面上垂直分力Pz大小的一個(gè)數(shù)值當(dāng)量，與其內(nèi)部是否存在水體無關(guān)，它不一定是由實(shí)際水體所構(gòu)成[2-4]。

二、壓力體的構(gòu)成

壓力體是一個(gè)空間體積，由下列周界面所圍成：

（1）受壓曲面本身；

（2）自由液面或自由液面的延續(xù)面；

（3）通過受壓曲面的邊緣向自由液面或自由液面的延續(xù)面所作的鉛垂平面。

三、壓力體的種類

雖然曲面上垂直分力Pz的大小與壓力體內(nèi)部是否存在液體無關(guān)，但其方向卻與之有關(guān)。對于二向曲面，Pz的方向可以由靜水壓力垂直指向受壓面的性質(zhì)判斷出來。圖2（a）所示的曲面左側(cè)有水，Pz方向向下，此時(shí)壓力體與水體在曲面的同側(cè)；圖2（b）所示的曲面右側(cè)有水，Pz方向向上，此時(shí)壓力體與水體在曲面的兩側(cè)。

圖2 壓力體示意圖

根據(jù)壓力體和水體是否在受壓曲面的同側(cè)，將壓力體分為實(shí)壓力體和虛壓力體。當(dāng)繪出的壓力體與對曲面施壓的水體居于受壓曲面同側(cè)時(shí)，就像壓力體內(nèi)充滿了液體，稱為實(shí)壓力體，所示垂直分力Pz向下；當(dāng)繪出的壓力體與對曲面施壓的水體分居受壓曲面兩側(cè)時(shí)，壓力體內(nèi)無液體存在，稱為虛壓力體，所示垂直分力Pz向上。

四、壓力體的繪制要點(diǎn)

將構(gòu)成壓力體的所有周界勾勒出來形成一個(gè)封閉體積，即可繪制出壓力體，并根據(jù)壓力體的種類判斷垂直分力Pz方向。在繪制壓力體時(shí)，需要注意以下方面：

（1）自由液面要尋找正確。

與大氣相接觸的液面稱為自由液面，液面上的相對壓強(qiáng)為零。若未封閉容器中存在多個(gè)液面，要將自由液面全部找出，其他液面則不用考慮，如圖3（a）。若液體處在封閉容器里，則需要找到相對壓強(qiáng)為零的參考面模擬出自由液面，如圖3（b）和（c）。

（2）對復(fù)雜受壓曲面要進(jìn)行分段。

當(dāng)受壓曲面上某處的切平面為鉛垂面時(shí)，以此處為分界面可將曲面分成若干部分，分別繪出各部分的壓力體，然后合起來得到曲面的壓力體。以圖3（b）為例，曲面AB上C處鉛垂面與之相切，將曲面分成了AC和BC兩個(gè)部分，分別繪出AC曲面和BC曲面兩部分的壓力體，見圖4（a）和圖4（b）。AC曲面壓力體為虛壓力體，垂直分力Pz方向向上，BC曲面壓力體為實(shí)壓力體，垂直分力Pz方向向下，兩部分合起來時(shí)重疊部分壓力體大小相等，垂直分力Pz方向相反，見圖4（c）。此時(shí)，重疊部分垂直分力Pz等于0，相當(dāng)于壓力體可相互抵消，合成后曲面AB的壓力體如圖4（d）所示。

圖3 自由液面及模擬自由液面

圖4 復(fù)雜受壓曲面的壓力體

（3）受壓曲面上所受壓強(qiáng)為負(fù)壓時(shí)，依然遵循壓力體繪制的原則。

圖3（c）中曲面AC段上的靜水壓強(qiáng)為負(fù)壓，壓力體依然由受壓曲面AC、自由液面CD和過A點(diǎn)向自由液面所做的鉛垂面AD構(gòu)成。壓力體與液體均在受壓曲面AC的同一側(cè)，則此壓力體為實(shí)壓力體，垂直分力Pz的方向豎直向下，即靜水壓力方向背離受壓面，見圖5（a）。同理可繪出BC曲面壓力體，也為實(shí)壓力體，見圖5（b）。合成后曲面AB的壓力體如圖5（c）所示。

圖5 負(fù)壓情況下的壓力體

（4）受壓曲面兩側(cè)都有液體時(shí)，要分開繪制各液體對曲面的壓力體，然后再進(jìn)行合成。

如圖6（a），AB曲面兩側(cè)都有液體，應(yīng)分別繪出液體1和液體2對曲面AB的壓力體，合成后即可得到曲面AB的壓力體。壓力體有虛實(shí)之分，即代表的垂直分力方向向上或向下，在進(jìn)行壓力體合成時(shí)要注意，當(dāng)液體1和液體2為同一種液體時(shí)，重疊且方向不同的壓力體可相互抵消，但液體1和液體2為不同種液體時(shí)，并不能完全抵消。假設(shè)液體1和液體2的密度分別為ρ1和ρ2，其對曲面的壓力體分別為圖6（b）和圖6（c），合成后壓力體如圖6（d）所示。圖6（d）中壓力體由b（Ω1-Ω2）和bΩ2兩部分組成，其中面積Ω2部分代表的壓力體由大小相等且垂直分力Pz方向相反的壓力體重疊而成。因ρ1和ρ2不相等，合成后此部分垂直分力Pz大小為（ρ1-ρ2）gbΩ2，當(dāng)ρ1>ρ2時(shí)，方向向上，當(dāng)ρ1<ρ2時(shí)，方向向下。

圖6 不同液體共同作用于曲面時(shí)的壓力體

五、壓力體的繪制步驟

以圖3（a）為例，繪制壓力體可按如下步驟進(jìn)行：

第1步，找出自由液面，如圖3（a）所示。

第2步，找到分界點(diǎn)C，將曲面分成AC和CB兩個(gè)部分，如圖3（a）所示。

第3步，分析水體1對受壓曲面AB的壓力體，先分析AC部分，見圖7（a），再分析BC部分，見圖7（b），然后將兩部分壓力體進(jìn)行合成，見圖7（c），消去可抵消部分，得到合成后壓力體，見圖7（d）。同理分析水體2對受壓曲面AB的壓力體，見圖7（e）、7（f）、7（g）和7（h）。

第4步，將圖7（d）和圖7（h）的壓力體進(jìn)行疊加，得到受壓曲面AB的壓力體為圖7（j）。

圖7 復(fù)雜情況下的壓力體繪制過程

結(jié)語

壓力體是由受壓曲面本身、自由液面（或自由液面的延續(xù)面）以及過受壓曲面的邊緣向自由液面（或自由液面的延續(xù)面）所作的鉛垂平面圍成的封閉空間體積，因此壓力體是一個(gè)抽象的體積概念，與其內(nèi)是否存在液體無關(guān)。通過分析壓力體的體積可計(jì)算垂直分力Pz的大小，分析壓力體的虛實(shí)情況可判斷垂直分力Pz的方向。在繪制壓力體時(shí)要注意尋找自由液面或相對壓強(qiáng)為零的平面。當(dāng)曲面的切平面存在鉛垂面時(shí)，要分段繪制壓力體后再合成。當(dāng)曲面兩側(cè)均存在液體時(shí)，要分別分析各液體對曲面的壓力體后再合成。合成時(shí)要注意各部分壓力體重疊部分是否可以相互抵消。