品味試題內涵 踐行核心素養
——基于安徽2021年中考數學第10題教學思考

疏忠良

（安徽省合肥市五十中學東校西園校區 安徽合肥 230000）

一、試題呈現

在△ABC中，∠ACB=900，分別過點B、C 作∠BAC的平分線的垂線，垂足分別為點D、E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME，下列結論錯誤的是（ ）。

A.CD=2ME B.ME∥AB C. BD=CD D.ME=MD

二、調查訪問

1.結果反饋

中考結束，就有很多同學表示，今年中考數學有幾題很難，如第10題。于是，我對我校九年級十五個班712名學生調查問卷，結果建如下表所列。

筆者仔細詢問同學們，發現他們的解法多種多樣：有瞎蒙的，有畫圖驗證的，有邊畫圖邊猜的，有畫圖證明的等。其中，有部分同學還這樣說，假設∠BAC=600（圖1），延長CE交AB于點G，根據條件可以證明四邊形BDCG為菱形，ME是△BCG的中位線，故ME∥AB，BD=CD，ME=MD，CD=BG=2ME，所以A、B、C、D答案都對。“是題目錯誤呢？還是什么原因呢？于是就隨便選個答案，結果錯了。”這些同學的做法，暴露出什么問題呢？值得我們深思探究。

2.解題困惑

困惑1：未能根據題意畫出正確的幾何圖形，就不知道怎么做了，隨便猜個答案。

困惑2：畫出特殊圖形，如∠BAC=600，，以特殊猜想一般，發現四個答案都對，懷疑題目的正確性，也隨便填個答案，碰碰運氣。

困惑3：畫出圖形，既不知道用度量法去判斷，也不知道構造輔助線，很茫然，找不到正確的解題思路。

困惑4：審題不準確，把“下列結論錯誤的是”看成“下列結論正確的是”，發現B、C、D答案都對，又困惑了。

3.追根溯源

部分同學沒能根據題意畫出正確的幾何圖形，根源在于審題不準確、基礎知識薄弱，畫圖能力弱。部分同學能畫出圖形，卻未能構造出適當的輔助線去推理論證，說明發散思維能力有待提高。部分同學畫出特殊圖形（∠BAC=600）判斷，犯了以偏概全的錯誤。其根本原因在于，沒有理解和掌握判斷一個命題真假的方法，概念不清，邏輯推理也出現錯誤。

三、解題分析

1.思路探析

思路探尋1：畫圖判斷法

畫出符合題意的一般圖形，如圖2所示，用三角板或圓規度量線段CD，BD，ME，MD的長度，即可發現CD≠2ME，故很快就能選擇正確答案A。

思路探尋2：相互關聯排除法

如圖2所示，假設A、B、C、D中的某一項正確，如B正確，即ME∥AB，則∠DEM=∠DAB，根 據AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC=∠DAB=∠DEM，如果D正確，即ME=MD，則可推得MD∥AC，MD⊥BC，DB=DC，這樣，B、C、D都對，故A錯誤。

思路探尋3：演繹推理法

根據已知條件，作出適當輔助線，構造兩個等腰三角形，利用等腰三角形、三角形中位線性質等，作出合理論證，發現B、C、D都對，A不一定正確。

思路探尋4：四點共圓法

如圖3所示，根據隱含條件∠DMC=∠DEC=900，構造C，D.M，E四點公圓，直徑CD不一定是弦ME的2倍，顯然A錯，又獲得一解。

思路探尋5：逆推法

在思路探尋4的基礎上，假設CD=2ME成 立,由于CD是圓的直徑，則ME等于半徑長，則△OME為等邊三角形，且∠MOE=600，而此結論，從題目已知條件中，能否有或者能否推導出？顯然不能,故CD=2ME不成立。

2.解法呈現

解：如圖4所示，分別延長BD、AC交于點F，延長CE交AB于點G。

∵AD是∠BAC的平分線，BD⊥AD，CE⊥AD

∴∠ABF=∠AFB，

∠AGC=∠ACG

∴△ABF，△ACG是等腰三角形

∴D，E分別是BF和CG中點

∵點M是BC中點

∴MD∥AC，ME∥AB

∴∠MDE=∠DAC=∠DAB=∠MED

∴ME=MD

∵∠ACB=900，MD∥AC

∴MD⊥BC

∴BD=CD

∴ 結論B、C、D正確，而CD=2ME 無法證明，故結論A錯誤。

解題反思：根據題意畫出正確圖形是解決本題的關鍵，巧妙地運用度量法即可快速選出答案，可謂“小題巧做，一鳴驚人”，思維靈活。利用A、B、C、D選擇項之間的相互關聯關系，運用分析法的思維方式進行合情推理，再結合排除法選出答案。舉例法（特值法）是解決選擇題常用方法，為什么本題不能取特殊角∠BAC=600，呢？因為，如果一個命題本身是真命題，用特殊值驗證其正確性，合乎邏輯，推理正確。如果一個命題本身是假命題，用特殊值驗證說明其正確性，以偏概全，不合乎邏輯。選擇項A.CD=2ME，本身就是錯誤的結論。所以，不能用特殊值說明。至于輔助線是如何產生的，那是要仔細認真觀察幾何圖形、運用平時的思維活動經驗、解題經驗，回顧常用的輔助線作法，抓住已知條件“分別過點B、C 作∠BAC的平分線的垂線”作為突破口，分別延長AC和BD交于點F,從而構造等腰三角形ACG,ABF,發現D，E是BF,CG的中點，為后面的結論證明，打開了天窗。因此，認真分析題意，挖掘隱含條件，巧妙地構造輔助線，解決平面幾何問題，看似“山重水復疑無路”，實則“柳暗花明又一村”，豁然開朗，事半功倍。

3.變式遷移

變式1：在△ABC中，∠ACB=900，分別過點B、C 作∠BAC的平分線的垂線，垂足分別為點D、E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME，下列結論正確的個數是（ ）。

①CD=2ME ② ME∥AB ③BD=CD ④ ME=MD

A.1 B.2 C.3 D.4

反思：在原題基礎上，題設不變，結論改變，要求學生對A，B，C，D 四個選擇項逐一判斷，才能選擇出正確答案。此題意在考查學生畫圖和邏輯推理能力。

變式2：在△ABC中，∠ACB=900，分別過點B、C 作BC邊上中線的垂線，垂足分別為點D、E，作DM⊥BC，垂足為點M，連接CD，ME，下列結論正確的是（ ）。

A.D=2ME B.ME∥AB C. BD=CD D.ME=MD

反思：在原題基礎上，題設改變，結論不變，意在考查學生動手操作和知識遷移、邏輯推理、直觀想象能力。

變式3：在△ABC中，∠ACB=900，分別過點B、C 作∠BAC的平分線的垂線，垂足分別為點D、E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME。

求證：（1）GD·GE=GM·GC（2）∠CDE=∠CME

反思：在原題基礎上，題設不變，結論改變，變為解答題形式，要求學生能夠用正確的數學符號語言書寫出推理過程，考查學生對相似三角形的判定與性質定理掌握程度，考查學生幾何邏輯推理能力和核心素養。當然，還可以運用四點共圓的判定先證明C，D，M，E共圓，再運用圓的有關性質證明此結論。所以，經過變式拓展，運用多種方法分析問題解決問題，培養了學生發散思維能力，激發了學生學習數學的興趣。

變式4：在原題的基礎上，你還能發現哪些結論？如果改變條件，又有什么結論呢？并嘗試證明結論。

反思：這種變式，問題開放，激發學生探究新問題的求知欲，引導學生主動思考探究，有效地培養學生發散思維能力。

遷移：（2009年安徽中考第10題）△ABC中，AB＝AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內切圓圓心，則∠AIB的度數是（ ）。

A.120° B.125° C.135° D.150°

這道題和今年中考第10題，異曲同工，倍感親切。

四、教學啟示

1.深刻理解數學概念內涵、外延和本質，夯實“四基”教學

新課程標準要求，教師在課堂教學中，要著重夯實學生的基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗教學，在此基礎上，才能培養和提高學生的分析問題解決問題能力。中考試題就是最好的體現和落實新課標要求和精神。

本題，部分學生犯錯，主要原因是對等腰三角形、直角三角形、全等三角形、三角形的高、角平分線、中位線的判定與性質掌握不夠牢固。對“下列結論錯誤的是”的判斷，部分學生犯了以偏概全的錯誤。究其原因，實質上是對命題概念的理解不夠深刻。如何判斷一個命題真假，本質上又是對邏輯推理的理解。因此，在課堂教學中，教師要創設有效的問題情境，激發學生學習的求知欲，積極引導學生深刻地理解數學概念、公理、定理的內涵、外延和本質；要認真學習新課程標準，認真鉆研教材，認真研究學生的認知特點和規律；通過適量的習題訓練，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題能力，使學生在解決問題過程中，積累一定的基本活動經驗，從而達到夯實“四基”的教學目標。

2.掌握方法比掌握知識更重要

中考題中，是選擇題作為壓軸題。既然是選擇題，就要掌握選擇題的解題方法，只要結果，不要過程。除常規方法外，有時候“小題巧做”，可謂“四兩撥千斤”，體現思維的靈活性。根據題意畫出正確圖形再用度量方法即可快速選擇答案（如解法1）。另外，可以根據選擇項A、B、C、D之間的相互關系，作出合理猜想判斷也能選出正確答案（如解法2）。事實說明，掌握方法比掌握知識更重要。

授人以魚，不如授人以漁。在平時教學中，我們教給學生更多的是知識，知識的背后是什么？是方法！是能力！是素養！比如：勾股定理內容是知識，在運用定理解決問題過程中，滲透了數形結合思想、化歸思想、方程思想；勾股定理的證明過程中又滲透了運用幾何圖形面積法證明的整體和部分思想、相似法證明的相似變換思想方法等。

知識是方法的載體，方法是知識的靈魂。方法好比開門鑰匙，利用它可以打開知識的寶庫。如何打開？教師要引導學生進行深度學習，從學生思維的最近發展區，提出合適問題激發學生學習興趣，促使學生去主動思考、探究、合作交流。在探究過程中，學生自然而然地理解知識掌握知識，體驗方法的美妙，同時，學會歸納總結思想方法和解題策略，在潛移默化中培養了學生的形象思維、邏輯思維和辯證思維能力。

3.畫圖、識圖、推理、論證是學習幾何的必要路徑

史寧中教授曾經說過，數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的，“看”是一種直覺。“看”什么？如何“看”？首先要求就是根據題意會畫出正確的幾何圖形，然后會“看”，即會觀察圖形、認識圖形、合理猜想、推理、論證，得出結論，上面的試題就是最好的例證。畫圖既是基礎，也是培養學生動手操作實踐能力的前提。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。在學習活動中，學生將綜合運用“數與代數”“圖形與幾何”等知識和方法解決問題。可見，命題者認真研究新課程標準，勇于創新，精心設計出這樣一道精彩的幾何壓軸題，考查了學生的動手實踐能力，考查了學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養[1]。

教師如何引導學生學習平面幾何呢？學習幾何的必要路徑是：讀懂題意，正確畫圖，認識圖形，學會思考，推理論證。

讀懂題意：搞清題目中的已知條件和所求結論，尋求兩者之間的關系，搭建橋梁。

正確畫圖：根據題意運用畫圖工具能夠正確地畫出符合題意的幾何圖形，比如畫ΔABC,如果題目沒有說明它是什么形狀，就應該考慮畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形形狀，從而了解命題者的考差意圖，分類討論思想和數形結合思想方法。

認識圖形：圖形畫好后，如何認識？從哪些角度認識？一般地從圖形邊長或者角度來認識。比如：求證，兩條線段相等、兩個角相等，就可以考慮證明兩三角形全等，或者利用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質證明。邊長之間，邊長與角度有什么聯系？求證：四條線段成比例或等積式，就可以考慮證明兩三角形相似。

學會思考：在畫圖、識圖的基礎上，如何思考？首先，要獨立思考，然后才能討論交流。

推理論證：在正確畫圖識圖的基礎上，厘清解題思路，然后規范書寫解題過程，注意引導學生必須從已知條件出發，逐步推理，步步為營。

4.變式拓展，深度思考，更有助于提升學生的數學素養

數學是思維的體操。不經一番寒徹骨，哪得梅花撲鼻香？對一個數學問題進行變式拓展，逐層遞進，深度思考，如；本題的變式訓練，從多個角度、多個方向，引導學生思考問題，培養數學能力。雖然有一定的思維難度，但是，經過作不同的輔助線，構造不同的圖形，引導學生獨立思考、合作交流，解法多樣，殊途同歸。

通過研究安徽中考試題，我們不難發現，整過試卷23題，有4道題難度較大，分別是選擇題最后一題，填空題最后一題，解答題22題、23題。這4道題，無論是代數內容，還是幾何內容，都有一定的綜合性，都有一定的思維含量，不僅考查學生的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，而且考查學生的代數推理或幾何推理能力，考查學生分析問題解決問題能力。那么，如何快速而有正確地解答這類試題呢？學生必須具備較強的解題能力。能力如何形成？來源于平時的學習和思考，深度學習就有助于培養學生的學習能力。所謂深度學習，是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。經歷深度學習的思維過程，學生獲得高階思維方式掌握解決問題的有效策略，不僅培養了學習數學的興趣，而且提升了學習數學的核心素養。這樣即使面對再難的試題也會有解決辦法[2]。

5.品味試題內涵，踐行核心素養

仔細閱讀研究上面的中考試題，考查內容，從表面上看是角平分線、中垂線、直角三角形、全等三角形的相關知識，本質上是考查學生的畫圖、識圖、邏輯推理、直觀想象能力和核心素養；考查學生的方程思想、數形結合思想、化歸思想方法。同時還考查學生遇到難題有沒有戰勝困難的信心和勇氣。其實，試題很好地了滲透情感態度教育。

中考試題是很好的導向，因此，我們教師要認真研究中考試題、認真研究新課標、認真研究教材、研究學情，研究中考試題的命題規律，提高課堂教學效率，力求做到有效教學、高效教學。

在重視基礎題、中檔題的基礎上，關注壓軸題的教學，教師要引導學生深度思考、深度學習。特別是幾何與二次函數的綜合題、探究性試題，值得研究思考。

結語

數學教學的最終目標是要學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。

一道好的中考試題，就是一盞明亮的燈塔，指引我們教學前進的方向。我們要仔細品味中考試題，理解和尊重命題者的艱辛勞動，從試題中汲取營養和智慧，并把這種營養轉化給學生，讓學生感受到數學的魅力，感悟到學習數學的智慧和方法。