基于單值中智集的改進VIKOR法及其應用

葉萬紅, 耿娟娟*, 徐東勝

(1.四川工業科技學院，電子信息與計算機工程學院, 四川，德陽 618500;2.西南石油大學，理學院, 四川，成都 610500)

0 引言

多屬性決策是指在已有的決策信息下對備選方案進行排序或者擇優，它在能源、政治、環境和商業等領域有著廣泛的應用[1]。但在實際的現實生活中，由于存在很多不確定和不完整的信息，所以很多屬性不是用精確的數來表示，而是用不精確的數或者語言來表示和描述。針對這種問題，ZADEH[2]首次提出了模糊集，它可以解決具有不確定信息的決策問題,但模糊集只有一個參數，無法解決較為復雜的決策問題；ATANASSOV[3]對模糊集進行了改進，提出了直覺模糊集和區間模糊集，但是精確度不高;SMARANDACHE等[4]提出了中智集的概念，它是模糊集和直覺模糊集的一種拓展，更具有廣泛性，但是考慮到中智集是定義在非標準的子區間，不便于應用在工程和科學上;WANG等[5]提出了單值中智集，它是中智集的子類，利用真隸屬度、假隸屬度和不確定函數共同描述決策信息，可以方便地應用在工程和科學等領域內。近幾年來，中智集與TOPSIS和TODIM法相結合，并應用在很多領域中[6-7]。

OPRICOVIC[8]首次提出了VIKOR的評價方法，由于VIKOR法能夠考慮屬性之間的相互沖突的特點，因此被很多學者用到多屬性決策理論中。OPRICOVIC[9]將拓展的VIKOR評價方法和超序方法二者進行了比較，SANAYEI[10]給出了基于模糊集理論與VIKOR方法的多屬性決策模型，并將此模型應用在供應商的選擇問題中。ZHANG[11]使用拓展的TOPSIS法和VIKOR方法去處理不確定的多屬性決策問題。LIAO[12]提出了一種基于猶豫模糊集環境下的VIKOR法。但是現有關于中智集環境下的VIKOR法的研究還比較少,因此為了解決上述問題，本文提出了一種基于單值中智集環境下的VIKOR評價方法并應用在供應商的選擇問題中。首先給出了單值中智集的概念及運算；然后定義了相對距離，為了彌補VIKOR的不足，對它進行了改進；接著在單值中智集環境下，利用改進的VIKOR方法得出各個備選方案的排序；最后通過實例和比較分析說明該方法的有效性和合理性。

1 相關理論知識

1.1 單值中智集

定義1[5]令Y是一個非空集合，y為它的元素，若真隸屬度函數uA(y)、不確定函數wA(y)及假隸屬度函數vA(y)滿足

uA(y):Y→[0,1]；wA(y):Y→[0,1]；vA(y):Y→[0,1],

則稱集合A為Y上的單值中智集。

設A為定義在Y上的一個單值中智集，當Y連續時，A可以表示為

(1)

當Y離散時，A可以表示為

(2)

定義2[13]設X1,X2,…,Xn是論域Y上的單值中智數，記Xj=〈uXj,wXj,vXj〉，Xj的權重為ej(j=1,2,…,n)，單值中智集的加權平均算子定義如下：

(3)

1.2 兩個單值中智集的距離公式

定義3[14]設A={〈uA(yi),wA(yi),vA(yi)〉}和B={〈uB(yi),wB(yi),vB(yi)〉}為2個單值中智集，A、B之間的標準Hamming距離和標準Euclidean距離分別定義如下：

(4)

(5)

2 基于單值中智改進VIKOR的低碳供應商模型選擇

Step1 確定決策專家權重

根據評級的語言術語確定決策專家重要性的單值中智數，設第k位專家對應的單值中智數為Rk=〈uk,wk,vk〉，則決策專家的權重[7]為

(6)

Step2 構建聚合專家權重的單值中智決策矩陣R

利用定義1中式(1)構建聚合專家權重的單值中智決策矩陣R如下:

R=〈uij,wij,vij〉m×n=

(7)

Step3 確定單值中智數正理想解方案X+和負理想方案X-

Step4 利用最小化方案與正理想解距離確定屬性的權重

0≤ωj≤1,j=1,2,…,n

(10)

通過構造Lagrange函數對模型(10)的條件約束問題進行求解。設Lagrange乘數為λ，則Lagrange函數為

(11)

式(11)兩端分別對ωj和λ求導可得：

(12)

式(12)是關于ωj(j=1,2,…,n)和λ的方程，解出權重值ω1,ω2,…,ωn，并對權重值進行標準化處理。

Step5 計算相對群體效用值ΔSi和相對個體遺憾值ΔRi

(13)

Step6 獲取折衷評價值ΔQi

(14)

Step7 對ΔSi、ΔRi及ΔQi分別進行優劣排序，并確定最佳的低碳供應商

按照ΔSi、ΔRi及ΔQi的數值大小對備選的低碳供應商進行降序排列，得到3個排序序列ΔSδ、ΔRσ和ΔQσ。若X(1)是ΔQσ中排名第1的低碳供應商，如果它同時滿足下面2個準則，則被視為最佳低碳供應商。

準則1 可接受優勢準則

若X(2)是ΔQσ中排名第2的低碳供應商，那么ΔQσ(X(1))-ΔQσ(X(2))≥1/(m-1)。其中，m是低碳供應商的數目。

準則2 可接受穩定準則

若X(1)在序列ΔSσ或ΔRσ中排名也是第1，那么X(1)在決策中是穩定的。

3 實例分析

Step1 確定每位決策專家權重

通過式(6)計算出3位決策專家的權重向量為e={0.406,0.368,0.226}。

Step2 構建聚合專家權重的中智決策矩陣R

利用單值中智加權平均集結算子，將決策專家權重和每個備選方案的單值中智矩陣進行聚合，得到中智決策矩陣R=〈uij,wij,vij〉m×n。

這里僅僅以〈u11,w11,v11〉為代表給出計算過程，通過式(3)，計算可得：

w11=0.100.406·0.200.368·0.500.226=0.186

v11=0.100.406·0.150.368·0.500.226=0.167

同樣的，可以計算出矩陣R中剩余的元素，于是得到了聚合專家權重的單值中智決策矩陣。

Step3 確定單值中智數:正理想解方案X+和負理想方案X-

根據式(8)和式(9)，求出正理想解方案X+和負理想方案X-：

Step4 利用最小化方案與正理想解距離確定屬性的權重。

利用式(5)計算出方案與正理想方案之間的距離，結果代入式(10)，進而得到如下模型：

maxz=0.24ω1+0.13ω2+0.15ω3+0.19ω4

0≤ω1,ω2,ω3,ω4≤1

對上述模型利用LINGO軟件可以得到屬性的權重值為ω1=0.657 8，ω2=0.356 3，ω3=0.411 1，ω4=0.520 8。

標準化后的權重為ω1=0.338 0，ω2=0.183 1，ω3=0.211 3，ω4=0.267 6。

Step5 計算相對群體效用值ΔSi和相對個體遺憾值ΔRi

根據式(5)和式(13)，算出ΔSi和ΔRi的值，見表1。

Step6 獲取折衷評價值ΔQi

由式(14)計算出4家供應商的折衷評價值ΔQi，在本例中選取λ=0.5，這就意味著采用折中均衡的方法進行方案的選擇。計算結果見表1。

Step7 對ΔSi、ΔRi及ΔQi分別進行優劣排序，并確定最佳的低碳供應商

由表1可知，根據折衷評價值得到4家供應商的優先順序為X4?X1?X3?X2且妥協解為X4。

表1 單值中智集環境下的改進VIKOR方法的結果及排序

下面檢驗是否滿足準則1、準則2：

(1) 由于ΔQσ(X4)-ΔQσ(X1)=0.338 3>1/3，故準則1滿足;

(2) 根據ΔSi和ΔRi的值，供應商X4也是最佳妥協解，故準則2滿足。

因此，供應商X4為4家備選低碳供應商中的最佳方案。

在使用中存在逆序性問題，而改進的VIKOR法避開了此問題，因此，改進的VIOKR法在實際的應用中有著較強的實用性、合理性和可行性。

4 總結

本文提出了一種基于單值中智數的改進VIKOR法的低碳供應商選擇模型，首先，通過語言變量確定了決策專家權重，用最小化方案與正理想解距離確定了屬性權重。其次，給出了相對距離的定義，并將其應用在VIKOR法的模型中，改進了VIKOR模型。最后，將改進的VIKOR方法拓展到單值中智集環境下，并通過低碳供應商的選擇進行算例分析、靈敏度分析，驗證了本文所提決策方法的有效性、穩定性和實用性。