GPS高程擬合法研究擬合區域高程異常

周復旦，戈樹兵，鄭波，樊振華

(徐州市勘察測繪研究院有限公司，江蘇 徐州 221000)

1 引 言

GPS相對定位可以獲得較高精度的兩點間的大地高之差。當區域控制網中有少量重合的幾何水準點，就可以計算出其他GPS點的正常高，這種計算方法一般稱為高程擬合法[1]。由于正常高是以似大地水準面為基準的，大地高是以橢球面為基準的[1]。所謂高程擬合實際上是用一個數學曲面來擬合區域似大地水準面，擬合精度的高低取決于水準點與GPS重合點的精度、密度與空間分布。

2 GPS高程擬合

2.1 GPS高程擬合原理[2]

GPS測量得到的是地面點相對于WGS-84橢球面的大地高(H)，而我國的實用高程采用的是相對于似大地水準面的正常高(h)，大地高與正常高的差值為高程異常(ζ)[2]。它們的關系為：

ζ=H-h

(1)

高程異常是高程擬合的關鍵，求得高程異常，就可以根據該高程異常應用式(1)求得測點的正常高。

2.2 GPS高程擬合方法

高程擬合法是在GPS網中聯測一些分布均勻、密度適宜的水準點，根據這些水準點上的正常高和大地高擬合求出它們的差值，差值也就是高程異常值，然后根據這些點上的高程異常值與坐標的關系，用最小二乘法擬合出測區的似大地水準面，最后利用擬合的似大地水準面內插出其他GPS點的高程異常值[4]，利用式(1)求出各未知點的正常高。多項式擬合模型[5]：

設測區內任一點A(x，y)的高程異常ζ與平面坐標有如下的關系：

ζ=f(x，y)+ε

(2)

式中：f(x，y)為高程異常ζ的趨勢面，ε為殘差。設：

f(x，y)=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2+a6x2y+a7y2x+a8x3+a9y3+……

(3)

若有n個點，則可以得到下面的矩陣形式：

ζ=AX+ε

在最小二乘的準則下，求得向量X的解，回帶到式(3)中，就可以內插出未知點的高程異常[9]。再根據式(1)就可以算出GPS點的正常高。

在式(3)中，如果取未知數前三項，則稱平面擬合，取前四項，稱為四參曲面擬合，取前六項，稱六參曲面擬合，以此類推[9]。曲面擬合就是采用一個數學曲面，來近似代替似大地水準面[9]。

2.3 精度評定

(1)內符合精度

內符合精度是由擬合點的擬合高程異常均值與分別擬合的高程異常值之差計算出來的[7]，即擬合殘差按式(4)可計算出GPS水準擬合計算的μ：

(4)

(2)外符合精度

外符合精度是由檢核點的高程異常與擬合高程異常之間的擬合殘差按式(5)計算出來的[7]：

(5)

3 算例

根據具體工程項目詳細地說明如何擬合區域似大地水準面。在某礦區建立一個控制面積僅 20 km2的GPS控制網，共23個控制點，南北長度約 5 km，東西長度約 4 km，網形如圖1所示。每個GPS控制點都用S1級水準儀聯測了四等水準，每公里水準測量精度是 9 mm，全網高程中誤差最大 8 mm，平均高程中誤差是 6 mm。根據高程異常擬合計算理論與方法，用Matlab編寫了平面擬合、四參數平面擬合、六參數平面擬合程序，高程擬合的已知點是從23個控制點中選15個點，剩下的所有點是檢核點，通過大量試算得到了理想的結果。已知點與擬合點的擬合高程異常，擬合殘差結果及精度評定如表1所示。

圖1 本工程控制網圖

表1 GPS高程測量與水準測量各種擬合結果及擬合殘差

續表1

可以看出，平面擬合點最大殘差為 -15.9 mm，四參數擬合點最大殘差為 -14.8 mm，六參數擬合點最大殘差為 -10.7 mm，六參數擬合結果最好，可達到三等水準測量的精度要求；四參數擬合結果也能達到四等水準測量的精度要求；平面擬合結果達到四等水準測量的精度要求。由此可見擬合結果可以用于工程實踐。

4 結 論

(1)應當選擇適當數量的水準聯測點。如果選擇太多聯測點，會增加工作量；選擇太少精度又得不到保證。水準重合點的數量在一個控制網中的要有10個左右已知點，最少6個。選擇的水準重合點應盡量包含整個測區，且盡量分布均勻。按此法進行的GPS高程擬合其精度達到四等水準的要求，甚至三等水準要求，具有可靠性，能夠滿足工程需要。

(2)在工程實踐中，在地形較為平坦且面積不大的地區可以使用“平面擬合法”進行高程擬合，對于地形較為復雜的地區，應該采用分區擬合法，并且增加水準聯測點的個數，使擬合模型與擬合區域高程異常的變化更加接近。一般情況下如果點位分布均勻并且擬合的面積越小，得到的精度越高。

(3)利用GPS測量高程的方法可以確定地面點的高程和坐標，方便計算。而水準測量受人為影響很大，工作量大，消耗大量的人力、物力，GPS則操作簡單，使工作效率得到提高。