復雜行星傳動系統強迫扭轉振動特性分析

劉萬里

（招商局檢測車輛技術研究院有限公司 國家客車質量檢驗檢測中心，重慶 401329）

扭轉振動是車輛傳動系統中振動的主要形式，過大的扭轉振動不僅影響乘坐的舒適性，還會導致傳動系統傳動元件的損壞，這對車輛的安全構成了巨大的威脅。車輛傳動系統是由多個元件構成的復雜、連續有質量的系統，為了便于對系統進行研究分析，在進行扭轉振動研究時，需要對傳動系統進行簡化，常用的建模方法主要有分布參數模型和集中參數模型[1-3]。集中參數模型是把系統分為若干集中質量塊，每個質量塊之間用無質量的理想彈簧和阻尼構成質量-彈簧-阻尼系統，這種模型具有建模簡單、便于分析和計算的優點，在系統扭轉振動研究中應用最為廣泛[4-6]，本文也采用此方法進行建模。

現有文獻對行星傳動系統強迫振動研究主要集中于風力發電傳動系統[7]、船舶推進系統[8-9]、直升機傳動系統[10]、車輛傳動系統[11]，這些研究的行星齒輪傳動系統都是只有一兩級簡單行星排。也有文獻[12-14]研究了含有三級、四級行星排的傳動系統，但是基本都是只含有簡單行星排且傳動系統主要為行星變速部分，整個傳動系統比較簡單。本文以包含4級簡單行星排和1級復合行星排的復雜行星傳動系統為研究對象，建立了系統的集中參數扭轉振動動力學模型，并利用數值方法進行求解。研究了各固有頻率下行星排的振型特點，以及發動機激勵下的行星排時域、頻域振動特性。

1 傳動系統動力學模型

1.1 系統集中參數模型

采用集中參數法建立了包含一級復合行星排、四級簡單行星排的復雜行星傳動系統集中參數模型，如圖 1所示。建模時不考慮支撐軸承的影響，認為系統各元件在傳動時始終保持在平面內而不發生偏移，齒輪間的嚙合剛度和阻尼取平均值，不考慮齒輪輪齒間間隙、安裝誤差的影響，考慮系統在穩態工況時的扭轉振動。

圖1 復雜行星傳動系統扭轉振動模型

本文所研究的多級行星變速器齒輪傳動系統中，含有兩種類型的行星排結構——簡單行星排、復合行星排，簡單行星排中含有 4個相同的行星輪，復合行星排含有兩類各三個行星輪，在進行行星排動力學分析時，分別對兩種類型的結構進行分析。在建模時，坐標系的設定為，太陽輪、行星架和齒圈建立在絕對坐標系上，行星輪的坐標系取隨行星架同步旋轉的轉動坐標系。分析中設定所有元件逆時針為正方向，輪齒的相互壓縮方向為變形的正方向，圖2、圖3給出了簡單行星排和復合行星排各元件的正向旋轉方向及相互嚙合關系。

圖2 簡單行星排動力學模型

系統中第1、2、5、6行星排為簡單行星排。

系統中行星排3為復合行星排。

1.2 建立系統數學方程

本文采用 Lagrange方程建立系統的微分方程，分別列出系統所有元件總的動能T、各部分彈性勢能Ui和阻尼逸散能Di，系統總的彈性勢能系統總的阻尼逸散能行星傳動系統所有元件總的動能T為

各級行星輪連接件的扭轉彈性勢能U1為

變速器各行星輪齒嚙合彈性勢能U2為

左右匯流排及左右輸出端軸段彈性勢能U3為

系統的阻尼逸散能D表達形式與彈性勢能U類似，這里不再列出。

根據Lagrange方程得到系統強迫振動微分方程為

其矩陣形式為

式中，θ為系統各元件扭轉角位移向量；M為發動機各氣缸激勵向量；J、C、K分別為慣量、阻尼及剛度的對稱矩陣；分別表示為

上述式中的KD、Kp1...Kp6等分別為定軸元件、第 1—6個行星排部分的子塊矩陣；JD、Jp1...Jp6和CD、Cp1...Cp6等子塊矩陣與K矩陣類似；K與C矩陣中的K1...K6與C1...C6分別表示其中非對角線上元素。

1.3 發動機激勵

發動機工作時燃氣的爆發力和活塞連桿機構往復運動產生的往復慣性力，使得發動機輸出的扭矩具有很強烈的波動，這也是車輛傳動系統扭轉振動的主要激勵源。本文僅考慮發動機為激勵作用下的扭轉振動，發動機激勵主要包含燃氣爆發壓力力矩和往復部件慣性力矩，如圖 4所示。

圖4 8缸發動機集中參數模型

該模型中所用發動機為 V8 四沖程柴油機，共曲柄的兩個氣缸集總為一個轉動慣量，圖 4中Je1、Je2表示發動機自由減振器主被動端轉動慣量，Je3～Je6表示發動機各缸等效轉動慣量，Je7表示飛輪等效轉動慣量，Je8表示發動機到傳動系統中間傳動部分等效轉動慣量。ke1～ke7和ce1～ce11為對應的扭轉剛度和扭轉阻尼，Te為發動機輸出扭矩，計算得到的扭矩通過Te傳遞到傳動系統輸入端。其激勵進行疊加至最高轉速2 450 r/min，根據發動機單缸的轉矩特性，經過傅里葉變換后得到發動機單缸各個諧次的轉矩，圖5為其在1 500 r/min時發動機單缸轉矩特性圖，圖 6為疊加后單缸轉矩傅里葉變換后各諧次轉矩。采用集中參數法可容易算出發動機輸出到傳動系統的轉矩Te。

圖5 單缸轉矩特性

圖6 單缸各諧次轉矩

2 系統時頻特性分析

2.1 系統固有頻率與振型

利用系統強迫振動微分方程式（1），不考慮發動機激勵力矩M以及系統阻尼矩陣C，計算出系統的固有頻率，考慮到發動機的最高轉速以及各諧次的激勵力矩，取系統的前20階固有頻率，表1為系統前16階固有頻率。

表1 系統前16階固有頻率

系統固有頻率中，1階、2階固有頻率值很小，在實際工作中不會對系統產生振動影響，因此，考慮系統第3—16階固有頻率，圖7給出了行星排在第 3階到第 9階固有頻率下復合行星排各元件的振型，可以看出，在該范圍行星排為全局振動模式，即行星排中同類行星輪的振動保持同步。

圖7 復合排行星排第3—9階固有頻率下各元件振型

2.2 行星排振動頻域分析

對發動機輸出轉矩進行傅里葉變換，可將發動機激勵分解為無數階簡諧分量，系統某一固有頻率在不同轉速下，將與不同諧次的發動機激勵力矩發生共振，因此在發動機轉速范圍內，系統有可能產生多個共振點，由于各階簡諧分量的幅值隨諧次的增加迅速降低，高階諧次對系統影響很小，取其前20諧次作為輸入激勵，既減少計算量又滿足工程精度。文中發動機實際與計算轉速均在800 r/min～2 450 r/min。

該綜合傳動系統中行星變速器是最復雜的結構，也是最容易產生扭轉振動和破壞的結構，因此，本文對行星變速器中行星排進行頻率響應分析。圖 8為變速器部分第三排復合行星輪排的頻域響應曲線，從中可以知道復合行星排在外界激勵作用下所有元件均在系統第四諧次激勵作用所對應的1 160 r/min產生峰值發生共振，對應于系統的固有頻率為 38.58 Hz，各元件幅值大小和行星復合排于該轉速下與其對應的固有頻率的振型吻合得很好，如圖 9(a)所示。除此之外，系統對應于第四諧次固有頻率為61.07 Hz所對應的共振轉速1 835 r/min處產生共振，該階共振時各構件的幅值與其對應固有頻率的振型復合度也比較高。由圖 9(b)各構件扭振幅值變化趨勢可以看出復合排行星輪系的內圈小行星輪與太陽輪在第一個峰值處的幅值最大，其次為外圈大行星輪及齒圈，行星架振動不明顯，且所有構件的振幅都隨轉速的增加而降低，行星輪幅值降低速度快于太陽輪。

圖8 第3排復合行星排頻域響應

圖9 第6階、8階系統固有頻率下復合行星排振型

圖10(a)、圖10(b)分別為變速器中第1、2排行星排扭轉振動的頻域響應，振動峰值出現的轉速與第三復合排相似，均在 1 160 r/min與1 835 r/min處，且1、2排的行星輪振動幅值于2 420 r/min處產生峰值，其原因是其轉速靠近系統第四諧次下的80.44 Hz所對應的2 413 r/min的共振轉速。不同之處在于第1、2排行星排的振動稍弱，第1、2排行星排的行星輪振動最弱，第 1排行星排中太陽輪和行星架振幅相同，第 2排行星排太陽輪振動最嚴重，行星架和齒圈振動稍弱。

圖10 第1、2行星排頻域響應

2.3 復合行星排時域響應與輪齒嚙合力

變速器部分位于第 3排的復合排處的共振幅值較大，因此，本文分析了該行星排的時域響應和輪齒嚙合力，由于發動機轉矩的周期性變化，使得系統各元件的扭轉振動也呈現出周期性。其值直接體現出扭轉振動的大小，而且變動速度也會對輪齒嚙合力的大小有直接關系，對其輪齒嚙合力的分析可以得到輪齒的受力情況。

圖11為發動機轉速為1 835 r/min時第3排行星排中各元件扭轉振動時頻響應，從圖11(a)中可以看出，外圈大行星輪的幅值較大，內圈小行星輪的振幅較小，前者大概是后者的3倍。從圖12(b)可以看出，太陽輪的振幅是內齒圈的 3倍，行星架的振動較小。所有元件的振動周期相同，幅值的波動量較小。

圖11 第3排復合行星排時域響應

圖12 復合行星排輪齒嚙合力

復合行星排內圈行星輪p3j與外圈行星輪p4j之間的嚙合力、外圈行星輪p4j與外齒圈r4之間的嚙合力、內圈行星輪p3j與內齒圈r3之間的嚙合力、內圈行星輪p3j與太陽輪s3之間的嚙合力分別為

圖12為發動機轉速為1 835 r/min時第3排復合行星排中各齒輪嚙合力，對復合排處內圈行星輪p3j與內圈齒圈r3、太陽輪s3及外圈行星輪p4j與外圈齒圈r4、內圈行星輪p3j嚙合的動態嚙合力進行分析可以看出，內圈行星輪與外圈行星輪的動態嚙合力Fn3p4p與外圈行星輪與外圈齒圈動態嚙合力Fn4pr4大小相近，內圈齒圈與內圈行星輪的動態嚙合力Fn3pr3與內圈行星輪與太陽輪的動態嚙合力F3ps3大小相近，且與外圈行星輪相關的動態嚙合力Fn3p4p、Fn4pr4大小基本為內圈行星輪相關動態嚙合力Fn3pr3、Fn3ps3的二倍，四個動態嚙合力都為交變力。

3 結論

通過建立含有多個行星排的復雜行星傳動系統的強迫振動集中參數模型，利用Lagrange方程建立系統微分方程并求解。通過分析得出發動機第 4諧次對各行星排的振動影響最大，系統變速中行星排的共振轉速為1 160 r/min與1 835 r/min，其中在1 160 r/min扭轉振動達到最大值，對應系統固有頻率為38.58 Hz。第3排復合行星排中太陽輪和內圈行星輪的振幅比較嚴重，而第1、2排行星排中行星輪振動反而最弱。復合行星排中元件的時頻響應幅值波動量較小，外圈行星輪與外齒圈以及與太陽輪的嚙合力相同，內圈行星輪有同樣的特性，前者的值為后者的兩倍。