高等數學在化工熱力學中的應用

摘要：化工熱力學本身是一門理論性比較強的課程，課程中不僅涉及較多抽象概念，同樣涉及眾多復雜的公式以及它們對應的繁瑣推導過程，對學生邏輯思維能力和數學素養具有較高要求。如果沒有強化學生的數學素養培養，就會直接影響該門課程的順利教學。立足化工熱力學課程教學現狀，重點對高等數學的應用意義與對策進行了論述，旨在可以夯實化工熱力學課程知識教學的理論基礎。

關鍵詞：化工熱力學；高等數學；教學策略作為化學化工類專業一門重要的專業基礎課程，化工熱力學課程本身以物理化學為基礎，不僅包含熱力學方面的兩大定律，同樣需要借助高等數學課程知識開展建模與計算分析，保證化工生產活動中不同種類能量彼此可以進行有效轉換，提高它們的利用率。然而，鑒于化工熱力學課程具有的上述特性，為了可以很好地融入化工生產實踐中，就必須要強化高等數學課程知識的滲透，抓住數學思想與工具來開展化工生產問題剖析。因此，如何才能在化工熱力學教學中強化高等數學知識的融合與應用值得深入討論。

1化工熱力學中高等數學的應用價值

1.1解釋化工熱力學課程知識

化工熱力學本身的課程特性是具有非常強的理論性，課程中包含著許多抽象繁雜的概念，眾多復雜的公式以及它們的繁瑣推導過程等方面的內容，對學生自身的邏輯和抽象思維等具有非常高的要求，容易使學生在理解的過程中遇到一些問題。實際上，這些課程知識本身同高等數學知識之間具有緊密聯系，如流體的PVT關系中所涉及的PR、SRK和RK等方程本身都同高等數學知識密切相關［1］。如果學生在高等數學知識學習中對方程部分知識形成了深刻認知，那么就可以類比到這些流體的PVT關系方程當中，保證學生可以深刻理解這些繁雜推導過程的根本原理所在。比如，可以在實際教學中導入高等數學中臨界點一階/二階導數是0所獲取的這些參數的值，并且針對性為學生補充不同狀態方程彼此之間的差異性以及各自的適用范圍等知識。從這個角度來講，如果學生可以學好高等數學課程知識，那么可以在學習化工熱力學方面的學科知識中更加深入透徹地明確它們各自的含義與意義，降低了該門課程知識學習的難度。因此，在化工熱力學教學中滲透高等數學課程知識可以為學生提供一個更為簡單理解繁雜課程知識的“臺階”，讓他們可以更容易接觸和掌握這些課程知識。

1.2提高化工熱力學教學質量

隨著經濟高質量發展需求越發迫切，加強化學化工類專業基礎學科研討，推進學科教學質量不斷提升是擺在各所學校面前的一個首要任務。同理，化工熱力學本身是化工類專業必修的一門專業基礎課，本身也應該在全新形勢下不斷提升自身的教學質量，使學生能夠深刻理解、牢固掌握與靈活應用學科知識去解決自己在化工生產實踐活動中碰到的實際問題。而在化工熱力學課程教學中，涉及熱力學壓力系數（r）、等溫壓縮系數（β）、熱膨脹系數（α）等眾多系數，并且它們的公式都可以利用微分形式進行表達或轉換。如果可以在該部分知識教學中有效融合高等數學中有關微分方面的知識點，那么可以輔助學生更好地理解與把握這部分化工熱力學課程知識，降低教師授課難度的同時，可以提高該部分課程知識教學的質量［2］。

2化工熱力學中高等數學的應用對策

2.1應用Matlab軟件，解決化工熱力學問題

化工熱力學本身是一個源自化學工程與技術領域的重要分支，是化學化工類專業必修的一門專業基礎課程，主要是基于高等數學等一些學科知識運用，在化學工程技術領域中融入熱力學原理等知識。由于該門課程本身主要面對的是流體相平衡問題計算以及抽象的流體熱力學性質方面的知識分析，具有廣闊的知識面和眾多計算公式，實際的問題分析中會涉及到較大的計算量，尤其是如果單純采取手算的方式，那么最終的計算效率低下，并且非常容易在問題分析中犯錯。而Matlab軟件是高等數學學習中一個非常重要的軟件，其中包含海量的數學計算方法，單單數學運算函數數量就達到了數百個。用戶可以基于Matlab軟件便捷地調用有關的計算方法開展運算［3］。因為化工熱力學領域的相關問題計算中常常會涉及到眾多計算方法的應用。在氣液相平衡問題或者流體熱力學領域各種問題分析或計算中，如果可以創新應用Matlab軟件，那么能夠對整個計算過程進行簡化，顯著提高問題分析及計算的整體效率。

例如，基于高等數學中Matlab軟件的應用，可以對fzero函數、fsolve函數或fminsearch函數等不同的函數問題進行快速求解，并且整個求解過程不需要進行數值求解中算法程序的編寫操作，只需要對待求函數進行定義即可，同時該軟件不會對初值設定較高要求，所以整個求解過程非常便捷、高效，能夠快速求解復雜工程計算問題。

例如，基于RK方程，對異丙醚蒸汽在10×105 Pa，473 K條件下的摩爾體積進行計算？（注：已知其臨界溫度Tc=508.3 K，Pc=47.64×105 Pa。）

解析：本道化工熱力學題目本身屬于考察學生對純流體的PVT關系方面問題的計算能力，需要基于RK方程開展計算，是工業生產領域廣泛應用的一種情況?？紤]到本道題本身已經給出了壓力、溫度兩個指標數據，需要對體積V進行求解。這個求解過程實際上可以看成求解一個非線性方程的過程，一般采取手工計算的方式需要在RK方程中代入異丙醚的有關數據來進行計算，具體如下：106=3 932.522/（V-7.786×10-5）-1.661 3/V（V+7.786.10）。

如果采用手算方式，那么會非常耗費時間與精力。但是如果學生可以使用高等數學領域中的Matlab軟件語言，那么可以快速進行求解，具體的求解程序與步驟如下：

（1） 函數文件編寫（以fun.m作為文件保存名）Function y=fun（V）y=3 932.522/（V-7.786×10-5）-1.661 3/V（V+7.786.10）-1 000 000；

（2） 求解文件編寫（以main.m作為文件保存名）V0=［0.006］;%初值V=fsolve（fun’，V0）；%摩爾體積運行main.m文件即可得到最終求解結果，即V=0.003 564 m3/mol。

由此可見，基于高等數學領域中的Matlab軟件的有效應用，可以快速求解一些繁雜的化工熱力學問題。此外，在應用Matlab軟件進行問題求解中也不需要進行求解文件編寫，只需要在軟件默認文件夾中保存函數文件，然后可以直接在主窗體界面上面的命令欄窗口當中直接輸入待求解函數fzero（fun’， ［0.005］）即可相應得到求解結果。如果采取手算方式進行非線性方程求解，那么不僅需要獲取精確初值，還需要借助數次迭代計算方可獲取最終精確結果。而借助Matlab軟件中的專門數據程序，則可以快速得到最終準確的計算結果，更容易使學生上手。

2.2重組數學內容，輔助理解課程的知識點

考慮到化工熱力學中涉及較多抽象、繁雜的數學概念，如果在導入這部分知識過程中采取直接講授式方式，那么學生會感覺整個學習過程異常枯燥，更無法使他們持久保持主動學習的熱情，課程知識點的理解效果不佳。特別是針對基本熱力學關系式等抽象性比較強的化學知識點的呈現，單純依賴于學科知識解讀，學生會陷入思考的泥潭，整體思考與理解效果不佳。而在指導學生理解這部分課程知識期間，可以創新重組高等數學教學內容，那么有利于輔助他們理解、記憶以及應用這部分數學內容，降低了整體理解難度。

例如，在指導學生學習化工熱力學公式方面的知識期間，由于涉及較多的公式及其他的推導過程方面知識，在學生理解這部分繁雜知識中容易遇到困難。但是如果可以在導入這部分知識之前提前準備必要的高等數學知識，那么可以充分利用它們來輔助理解這部分化工熱力學知識。比如，針對偏摩爾性質本身的定義公式及其對應的物理意義而言，如果指導學生直接理解這一關鍵的化工熱力學概念，那么容易使學生感覺非常抽象，無法形成深刻認知，整體理解效果不佳。此時如果在指導學生對偏摩爾性質本身的定義進行理解中，充分結合高等數學中的偏導數概念，那么可以幫助學生更加容易理解與掌握這一關鍵的化工熱力學概念。同理，針對摩爾性質M在不同狀態下的計算而言，一般會涉及化工熱力學性質圖的運用，它們是化工設計或計算過程中比較多用的一類關鍵參考資料，但是它們都能夠借助數學表達式進行表達，并且可以借助偏離函數等數學知識點來輔助學生對壓力、溫度等關鍵知識進行學習，最終可以幫助學生深刻理解這些課程知識點的具體含義。

2.3融合數學知識，突破課程教學的重難點

在化工熱力學知識學習中涉及許多關鍵的知識點或者難題，它們都是學生必須要攻克的知識學習難點，如果采取單學科知識講授方式，那么整個教學會非常枯燥，不利于激發學生主動思考與探索的興趣，更不利于幫助他們攻克這部分課程教學重難點。針對這種教學情況，可以創新融合高等數學方面的知識來突破化工熱力學課程教學方面的重難點［4］，具體如下：

（1） 基于高等數學對熱力學系數內在聯系進行分析。狀態方程是化工生產中比較多用的一種式子，主要用來對流體PTV之間關系進行描述。在單向區之內，純物質PTV行為可以借助f（P，T，V）=0進行標識，主要反映平衡條件下，純均勻流體壓力、溫度和體積3者之間的關系。只需要知道3者之中任意兩個條件，即可對第3個變量進行求解。現階段除了借助狀態方程對流體PTV之間關系進行描述外，還可以在熱力學函數計算等領域進行廣泛應用。其中化工熱力學系數主要對某種物質在某條件下對應的狀態進行表達。通過有效利用高等數學領域的知識轉換這些式子，以此可以對有關關系進行明確。比如，可以利用高等數學中的微分知識來對熱膨脹系數、等溫壓縮系數、熱壓力系數等一系列熱力學系數內在聯系進行剖析。以等溫壓縮系數為例，主要是指相同溫度條件下物體壓縮性大小情況的一種描述性系數。如果利用高等數學中的公式進行描述，可以采用β=-1VVPT這一數學形式進行表達，主要含義是指在溫度保持不變的情況下，物體體積在單位壓強下形成的壓縮量占總體的百分率。

（2） 基于高等數學，對化工生產狀態的變化進行分析?；どa中一般會涉及氣體反應，為了保證生產效率，一般需要借助給定條件來對氣體狀態進行改變?；跀祵W關系表達式的有效應用，能夠對一個化工生產中突變過程起始狀態之間的必然聯系進行直觀分析。比如，針對一等熵膨脹路徑，理想氣體P1和V1在特定途徑轉化之下可以到達另一個狀態（P2，V2），已知r=CP/CV是常數。為了可以對兩種狀態之間的關系進行求解，此時可以指導學生充分利用高等數學方面的知識，通過構建氣體狀態方程，可以相應得到PV=nRT和R=CP-CV，并且已經確定CP是定壓熱容，這樣有dH=CP×dH，CV主要表示定容熱容，有dU=CV×dT，假定氣體摩爾質量n為1。根據這些數學關系式以及已知和未知條件，可以相應地對上述關系式逐步進行推導和演算。

（3） 基于高等數學對化學工程中狀態方程進行分析。基于擬合PVT方面的海量實驗數據可以得到維里方程這一解析式，主要是一種伴隨著周圍狀況改變而改變的方程，一般需要借助多項式進行表達。通過運用高等函數方面的表達式，可以相應地表達為Z=PVRT=1+BV+CV2+…=1+Bρ+Cρ2+…。在式中，…主要表征第二、第三，…維里系數。針對維里系數而言，其本身包含有特定的物理意義，主要表征的是分子彼此之間的相互作用，如三分子彼此之間的相互作用。從理論上來講，給定物質維里系數一般僅僅是溫度函數，判定中需要基于溫度和系數之間關系進行確定?；蛘?，可以基于海量實驗開展測定，甚至能夠開展統計力學推導來對維里系數進行確定。如果擁有非常準確、全面的低壓PVT實驗數據，借助下述公式可以對維里系數進行求解：B=limρ→0Zρr，C=12limρ→02Zρ2r，D=16limρ→03Zρ3r。通常而言，B與C一般可以進行精準獲取，故維里方程通?？梢源_定為第二或第三維里系數對應的維里方程。在非理想氣體分子理論發展期間，分子間作用力和維里系數之間具有緊密聯系。經過推導之后，可以對維里系數的統計力學方程進行確定，即：B=-2πN∫∞0exp-εpkT-1r2dr?；谠摴降倪\用，可以對不同情況下N個分子集群對應的第二維里系數進行推導。比如，針對硬球相互作用位能，當r＞σ，εp=0時，B=-2πN∫∞0［1-1］r2dr=0，經由求解可以發現這時候硬球彼此之間處于理想狀態，不存在相互作用?；崃W中涉及眾多種類的狀態方程，但是流體能量交換與傳遞是不變的，可以應用狀態方程來推導能量變化中的熵與焓，進而可以確立熱力學關鍵數值。

3結語

高等數學融入化工熱力學教學是學生解釋化工熱力學課程知識的需要，也是提高化工熱力學教學質量的要求。在化工熱力學教學中應用高等數學，可以從應用Matlab軟件解決化工熱力學問題入手，注重重組數學內容，輔助學生理解課程的知識點，同時還要善于融合數學知識來突破課程教學的重難點，確保不斷提升化工熱力學教學質量。

參考文獻：

［1］楊樺，郭玉鵬.物理化學中的熱力學方法、拓展及應用［J］.化學教育（中英文），2023，44（8）：118119.

［2］張譽騰，楊春華，王帝淞，等.基于工程教育認證的《化工熱力學》課程教學大綱設計［J］.山東化工，2021，50（15）：182183.

［3］朱娜，王潔.《化工熱力學》教學方法的探索和思考［J］.廣州化工，2020，48（5）：185186.

［4］向麗，宣愛國，閆志國，等.基于應用技術型化工人才培養的“化工熱力學”教學改革［J］.中國成人教育，2017，24（1）：6061.

［5］姜占坤，彭翠娜，高道偉，等.OBE理念在化工熱力學教學中的應用［J］.山東化工，2021，50（2）：209210.

作者簡介：李丹丹，女，河南新鄉人，講師，碩士研究生，研究方向：數學與應用數學。