壓電致動的諧振式水下柔性結構動態遲滯建模及前饋補償

王澤鍇，婁軍強,陳特歡，鄧益民,崔玉國，魏燕定

(1.寧波大學 機械工程與力學學院，寧波 315211；2.浙江大學 機械工程學院 浙江省先進制造技術重點實驗室,杭州 310027；3.浙江工業職業技術學院 機電工程學院，浙江 紹興 312000)

水下航行器對于現代的海洋探索來說扮演著非常重要的角色，活躍在水下勘探、海底測繪以及深海軍事等領域。為了使航行器能在復雜水下環境中保持良好運動性，一方面大量的柔性結構被引入到設計中，使其具備輕量化、柔性化等特點；而另一方面，對推進器的推進性能也提出了更高的要求。傳統的如螺旋槳推進器不僅存在效率低及轉向機動性差等問題，還對海洋環境帶來污染和破壞。因此，學者將研究的方向轉向了仿生學，使得魚類生物的身體/尾鰭(body and/or caudal fin,BCF)推進方式被廣泛應用于水下航行器上[1-2]。

得益于智能材料的高度發展，如形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)、超磁致伸縮材料(giant magnetostrictive material,GMM)及壓電陶瓷材料(piezoelectric ceramic material,PZT)等得到了充分的研究[3-5]，以滿足仿生推進系統的復雜運動要求。其中，近幾年新出現的宏壓電纖維復合材料(macro fiber composite,MFC)，在作為致動器時不僅有著傳統壓電材料行程寬、精度高、響應快以及作動力大等優點，還具備高耦合系數、低壓電常數及良好的柔韌性等特點[6]，非常適合BCF推進方式的實現。Cen等[7]研制了一款MFC驅動的內置電源水下機器魚，基于MFC雙晶片懸臂梁的彎曲振動建立了動力學模型，在樣機上測試了直線和轉向游動。此外，許多學者研究也表明，對BCF推進方式來說，推進器在諧振狀態下，具有最優的水下推進性能。林煌旭等[8]對MFC致動的仿鲹科諧振式水下推進器進行了性能測試和仿真，結果顯示在略小于固有頻率的4 Hz處，推進器的擺幅峰峰值達到10.4 mm，平均推力可達1.5 mN。Tan等[9]通過實驗對類鱒魚多功能機器人的水下運動性能進行了探究，在外加水流的情況下，觀察到諧振頻率5.4 Hz時，機器人的最大速度達到0.71 BL/s。顯然，研究MFC致動水下柔性結構在諧振狀態下的特性，將極大地提升水下推進器性能。

然而，MFC材料本身在輸入和輸出的關系上存在著遲滯非線性，嚴重影響了柔性結構的控制精度。方楚等[10]研究了基于STOP算子的Prandtl-Ishlinskii,(PI)模型，作為前饋補償器來補償壓電陶瓷的遲滯效應。PI模型屬于算子模型，在模型準確性和求逆上有更大的優勢，但傳統PI模型并不能很好地描述偏置及非對稱性遲滯現象。對此，出現了一類改進PI模型，如Wang等[11]改進了PI模型中的PLAY算子，使其成為一種非對稱性算子，而Kuhnen[12]則將死區算子引入到傳統的PI模型中，形成了新的算子疊加模型。然而改進PI模型，卻無法處理工程應用中常出現的一種復雜遲滯非線性——動態遲滯現象。Janaideh等[13]，將一個廣義動態PLAY算子引入到PI模型中，以此來描述超磁致伸縮執行器的動態遲滯現象。除引入動態算子的方法之外，另一種處理方法是將系統的動態特性和遲滯特性分別進行建模。Jian等[14]，將壓電致動器的動態遲滯模型分為靜態非線性和動態線性兩部分，在得到遲滯逆的基礎上引入了迭代學習控制。這兩種處理動態遲滯方法對比可以發現，前者進一步增加了模型的復雜程度，而后者在滿足可行性的情況下，建模的難度更低，更利于操作。盡管目前對遲滯建模的手段較為豐富，但是對于MFC致動水下柔性結構來說，流場環境及流固耦合作用[15]，使得水下動態遲滯現象的復雜程度高于其在空氣中的表現，同時也對模型參數的辨識及控制提出了更高的要求。因此，分析MFC致動水下柔性結構在諧振狀態下的振動特性，建立動態遲滯模型，對實現仿魚類BCF游動模式的水下推進器的精密跟蹤定位控制有重要的意義和價值。

本文搭建了MFC致動水下柔性結構實驗測控系統實驗平臺，對系統的動態特性進行了測試。針對諧振狀態下表現出來的非對稱動態遲滯現象，提出了一種改進PI靜態遲滯和傳遞函數動態模型串聯的復合式模型進行描述。在完成模型參數辨識的基礎上，利用復合式逆模型進行了前饋補償，實現MFC致動水下柔性結構在諧振狀態下對正弦軌跡的跟蹤控制。

1 系統描述

本文所選用的柔性結構是以lAL×bAL×hAL的鋁制基體為底，利用環氧樹脂膠(3M-DP460)將尺寸為lMA×bMA×hMA且工作于d33模式下的MFC致動器(型號M2814-P1)粘貼于根部兩側表面并進行固化，其實際致動部分尺寸為lRA×bRA×hRA，選用基本參數如表1所示。最后利用防水性能優異的環氧樹脂膠(3M-DP490)對MFC致動器的電氣連接處進行處理，實現防水和電氣隔離。具體結構如圖1所示，可以看到，該柔性結構被分為兩部分，包括無MFC覆蓋的被動部分和有MFC覆蓋的主動部分，柔性結構可以在MFC伸縮變形的作用下，在y軸方向產生位移。

表1 結構基體及MFC致動器參數表Tab.1 The parameters of the structure substrate and MFC actuators

圖1 柔性結構示意圖Fig.1 Flexible structure actuated by MFC

為了測試MFC致動水下柔性結構的振動特性，將其一端固定于支架上，并浸沒于長方體水缸正中，同時對MFC施加正弦激勵電壓，形成柔性結構水下振動現象。利用激光位移傳感器可對結構的位移信號進行采集，消除光線在水中折射對測量的影響后，最終得到施加電壓信號與結構末端實際位移之間的關系。實驗原理圖如圖2所示。

圖2 實驗原理框圖Fig.2 Schematic diagram of the experiment

其中，上位PC機在LabView平臺的配合下，與多槽嵌入式USB CompactDAQ機箱(NI,cDAQ-9178)通信，包括施加電壓信號的給定和反饋信號的讀取。D/A轉換模塊(NI-AO9263)和電壓放大器(Trek PZD700A)相連，后者將前者輸出的模擬電壓放大200倍后，作為實際的MFC施加電壓。A/D轉換模塊(NI-AI9205)與激光位移傳感器(Micro-EPSILON，ILD2200-10，分辨率0.15 μm)相連，使結構的形變位移被轉換為數字信號，并能被有效讀取。實驗裝置圖如圖3所示。

2 水下振動特性

對MFC驅動的柔性結構在水中的動態性能進行測試，利用幅值為400 V，頻率范圍0.1～8 Hz的正弦掃頻電壓信號來激勵MFC，得到水下柔性結構末端振動位移的幅-頻響應曲線。如圖4所示，其一階固有頻率落在3.4 Hz附近。

圖3 實驗裝置圖Fig.3 Photograph of the experimental setup

圖4 水下柔性結構末端振動位移幅-頻響應曲線Fig.4 Measured underwater frequency responses of the flexible structure tip displacement

為了消除掃頻激勵引起的流體運動不穩定對水下柔性結構動態特性的影響，在固有頻率附近選取頻率范圍2～5 Hz，間隔0.2 Hz，共16組單一頻率正弦信號進行測試。得到水下柔性結構末端的穩定振動頻率特性關系曲線如圖5，從圖5(a)可以看到，在一階固有頻率3.4 Hz處取得最大振幅3.57 mm，圖5(b)為相頻特性曲線。

進一步研究MFC致動器引起的遲滯非線性行為，利用諧振狀態下的實驗結果，繪制末端位移遲滯特性曲線如圖6所示。可以看到在正半周期，輸入電壓121.5 V時，柔性結構末端位移達到正向最大值3.297 mm；而在負半周期，輸入電壓為-112.8 V時，柔性結構末端位移達到負向最大值-3.827 mm，柔性結構的正負位移存在偏置現象，偏置誤差達到7.4%，且表現出非中心對稱性，這是由于MFC致動器驅動電壓的雙極性引起的。

3 系統模型構建

從圖6的分析結果來看，系統模型的構建必須對遲滯現象進行描述。由前文實驗測得的一階固有頻率看到，受到水下柔性結構振動過程中周圍流體附加質量的影響，使得其數值處于一個較低的水平。因此可以認為MFC材料本身的遲滯特性引起了整個柔性結構的遲滯行為，且這種遲滯是靜態的，在此基礎上，再考慮系統的動態特性。

(a) 幅頻特性

(b) 相頻特性圖5 水下柔性結構末端振動位移頻率響應曲線Fig.5 Underwater responses of tip displacement in the steady state with different actuating frequencies

圖6 諧振狀態下遲滯曲線Fig.6 Hysteresis loop in resonant

本文引入復合式模型，該模型分成靜態子模型和動態子模型兩部分，利用前者來描述系統的遲滯行為，后者來描述系統的動態特性，其結構如圖7所示。

圖7 復合式模型框圖Fig.7 Block diagram of the compound model

圖7中：u(t)為輸入變量，即驅動電壓；v(t)為模型的中間變量；y(t)為輸出變量，在這里為柔性結構的末端位移；N(·)為靜態子模型，考慮選取擬合性能好，易于求逆，尤其能滿足實驗現象所表現出來的偏置和非對稱性的建模方法，利用改進型PI模型來進行描述；G(s)為動態子模型。

3.1 系統靜態模型

改進型的PI模型，保持了傳統的PI模型的部分特點，即采用了遲滯單元加權疊加的方式、在形式上和求解析逆等方面有著自己的優勢；此外，該模型還能有效處理遲滯的偏置性，其包含兩個算子，即PLAY算子及單邊死區算子。前者的表達式為

hj(u,t)=

(1)

式中：j為PLAY算子的編號；hj為算子的輸出，特別的，h0j為算子初始輸出值；rj為閾值；T為采樣時間。后者的表達式為

(2)

式中:i為單邊死區算子的編號；x(t)和di為算子的輸入和輸出；si為閾值。由此，得到改進型PI模型的表達式為

y(t)=υT·D[si]{ωT·H[rj,h0j](u,t)}

(3)

通過式(3)可以看到，改進型PI模型的建立需要確定PLAY算子和單邊死區算子的閾值和權值。對于這些值的求解，可以將問題在滿足算子輸入-輸出嚴格單調的條件下轉化為帶約束的二次最優問題，具體的公式可通過文獻[11]中敘述的方法給出。

3.2 系統動態模型

為了得到系統的動態子模型，可將柔性結構視為一端固定、一端自由的懸臂梁，則基于Euler-Bernoulli梁理論，得到如下傳遞函數

(4)

式中：q代表模態的編號；Kq、ζq及ωq分別為第q階振動模態下的開環增益、阻尼比以及角頻率。

由于只需要保留系統的一階振動模態，因此對(4)式的傳遞函數進行模態截斷，引入降階傳遞函數模型[16]

(5)

通過式(5)，與式(4)中的傳遞函數模型對比可以發現，除了保留了一階振動模態之外，還加入了饋通環節系數D。這是由于系統截斷雖然未改變極點位置，但造成了零點位置的扭曲，因此需要引入該系數進行補償。

4 模型參數辨識

復合式模型的辨識可按照其結構，分別對靜態子模型和動態子模型進行辨識。首先選用適當的低頻率的標準正弦電壓信號，消除系統的動態特性影響，完成靜態子模型的辨識；其次，以諧振狀態下系統的驅動電壓作為輸入，通過靜態子模型計算得到輸出；最后，配合所記錄的諧振狀態下MFC致動水下柔性結構的末端位移值，完成動態子模型的辨識。值得注意的是，由于柔性結構周圍流體不穩定狀態會影響其動態特性，因此需要截取穩定振動時的數據。具體的參數辨識步驟如下：

步驟2計算靜態模型輸出：以幅值400V、頻率3.4Hz的正弦電壓信號作為靜態子模型輸入，將步驟1辨識得到的參數代入式(3)模型中，得到靜態子模型輸出。

4.1 靜態子模型辨識結果

由于改進型PI模型的辨識精度和PLAY算子和單邊死區算子的個數有關，因此引入相對誤差(relative error,RE)和均方根誤差(root mean square error,RMSE)來量化模型辨識的精度，進而確定兩個算子的數量，定義如下：

(6)

(7)

式中：smo(z)為系統模型輸出；sro(z)為系統實際輸出；z為數據編號。考慮到模型的魯棒性和補償控制計算量等因素，選取PLAY算子和單邊死區算子的數量分別為7和3。模型擬合的結果如圖8所示，模型RM和RMSE分別為1.83%和0.015 3 mm。通過計算得到PLAY算子和單邊死區算子的閾值、權值如表2。從圖8可以看到，正負誤差最大值接近于正弦波波峰或者波谷處，這是由于在這些位置上速率的變化較大而造成的。

圖8 靜態子模型辨識結果Fig.8 Identification results of the static submodel

表2 改進型PI模型參數表Tab.2 Identified parameters of MPI hysteresis model

4.2 動態子模型辨識結果

(8)

將辨識得到兩部分子模型如圖7進行串聯，即得到系統的復合式模型。為了驗證該模型的準確性，令固有頻率3.4 Hz正弦電壓作為模型輸入，計算得到模型輸出，與諧振實驗測得的位移數據進行對比，結果如圖9所示，RE和RMSE分別為3.21%和0.082 4 mm。從圖9中可以看到，誤差最大處依然接近于正弦波的波峰或波谷，這是由于靜態子模型的辨識誤差，經傳遞函數模型放大后引起的。

圖9 諧振狀態下模型輸出與實驗輸出對比Fig.9 Comparison between model output and experimental output in resonant state

進一步，為了說明復合式建模方法的必要性，與步驟1建立的靜態模型輸出進行對比，繪制3 Hz、3.4 Hz及4 Hz三個工作頻率下的遲滯環，檢驗兩個模型的擬合程度，結果如圖10所示，可以看到，系統的遲滯環形狀隨頻率上升而變化，其方向在固有頻率時發生了轉動，這一現象可由圖5(b)的相頻特性來解釋，證明MFC致動水下柔性結構存在非對稱的動態遲滯現象。從靜態模型的表現來看，其遲滯環形狀取決于辨識所用原始數據，一旦辨識完成以后，無論輸入值頻率如何變化，則遲滯環的形狀保持不變，而復合式模型輸出，根據輸入頻率的變化表現出一定的適應性，其遲滯環的形狀與實驗結果基本吻合。表3給出了兩種模型在三個不同頻率下的檢驗誤差，對于靜態模型來說，隨著頻率的上升，RM和RMSE不斷增大，而復合式模型在固有頻率3.4 Hz，RE和RMSE分別為3.21%和0.082 4 mm，相對于靜態模型的23.98%和2.714 7 mm，精確性得到了大大的提高。此外，在3 Hz和4 Hz的情況下，復合式模型的RE和RMSE相對增大，但仍可以分別保持在9%及0.2 mm以內。因此證明本文所建立的復合式模型在描述動態遲滯現象時有較高的準確性，并在固有頻率附近一定帶寬內具有更好的泛化性。

5 前饋逆補償跟蹤控制實驗

為水下柔性結構設計跟蹤控制器時，需要注意的是，在許多實際應用中，由于環境等特殊因素，使得傳感器無法被合理的布置，因此反饋控制難以被實現。本文在建立了系統模型的基礎上，設計了前饋逆模型補償控制器。

圖10 不同工作頻率靜態及復合式模型遲滯環Fig.10 Hysteresis loops of static and compound models at different actuating frequencies

表3 不同頻率下靜態模型與復合式模型的檢驗誤差Tab.3 Testing errors of static model and compound model at different actuating frequencies

5.1 逆模型構建

根據前饋逆補償控制的要求，在實施跟蹤控制實驗前，需要先求取系統的逆模型。由于復合式模型的特點，系統逆模型也可被分為兩部分，即靜態逆模型和動態逆模型。

其中，靜態逆模型即為改進型PI逆模型，其表達式如式(9)

(9)

對于動態逆模型，考察式(8)，根據其零極點位置，可以確定其為一個穩定系統，由于其分子分母階次相同，因此直接求倒數即為其逆模型，表達式為

(10)

5.2 末端位移跟蹤實驗

為了驗證控制方式的有效性，將幅值為±1 mm，固有頻率3.4 Hz下的正弦波位移作為目標信號，按順序輸入到動態逆模型和改進型PI逆模型中，根據式(10)和式(9)，計算前饋控制電壓。利用計算所得的驅動電壓，進行水下柔性結構末端跟蹤實驗。在實驗中，為了避免激勵初期低速流體黏滯力對前饋補償的控制效果的嚴重影響，采用線性遞增的方式，將計算所得補償電壓進行施加，測得柔性結構末端位移如圖11(a)所示，圖11(b)為實驗測得的位移與目標位移的線性度。其中，最大誤差為0.061 4 mm，線性度為98.48%，誤差產生的主要原因在于辨識模型的精度，從該結果可以看到所采用的控制策略在諧振狀態下水下柔性結構末端位移跟蹤控制上是可行有效的。

表4 改進型PI逆模型參數表Tab.4 Identified parameters of MPI inverse model

(a) 跟蹤控制結果圖

同樣地，將此前饋補償控制方法應用于不同的工作頻率下來驗證模型在固有頻率附近一定帶寬內的泛化性，分別取3 Hz及4 Hz，幅值仍為±1 mm的正弦波位移作為目標，跟蹤結果如圖12所示。

圖12 不同頻率下跟蹤控制結果圖Fig.12 Underwater tracking performances at different frequencies

由圖12可知，最大跟蹤誤差產生的位置是在正弦波的峰值或過零處，這是由辨識所得的靜態子模型在此位置上存在較大誤差引起，位移跟蹤效果受到模型精度的影響。將穩定狀態下，跟蹤實驗結果的相對誤差RE和均方根誤差RMSE在表5中進行列舉，結果顯示，在3.4 Hz時誤差最小，隨著頻率偏移固有頻率，誤差稍有增大，但仍保持在較小的數值內，證明本文提出的前饋控制方法具有適應性和可靠性。

表5 不同頻率下跟蹤實驗檢驗誤差表Tab.5 Testing error of tracking experiments at different frequencies

6 結 論

本文測試了MFC致動水下柔性結構的振動特性，建立了基于改進PI模型和帶饋通環節傳遞函數模型的復合式遲滯模型，完成了模型參數的辨識。所建立的模型在固有頻率3.4 Hz下能較好地描述諧振狀態下的遲滯現象，同時在3 Hz及4 Hz時依然能保證一定的精確性，具有較好的頻率適應性。基于復合式逆模型，利用所設計的前饋補償控制器，采用線性遞增的控制方式，在3 Hz、3.4 Hz及4 Hz三個不同頻率下進行了正弦軌跡跟蹤控制實驗。結果表明系統的輸出結果與目標位移基本一致，證實了所提出的遲滯模型及補償控制方法的有效性，為后續進一步開展水下反饋控制和復合控制打下基礎。