十字型微諧振梁多場耦合非線性振動分析

韓 光，許立忠

(1.燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島 066004;2.河北建材職業技術學院 機電工程系，河北 秦皇島 066004)

微機電系統(micro electro-mechanical system，MEMS)具有集成化、微型化、智能化、易批量生產以及精度高、功耗小等特點。現已廣泛應用于智能制造、物聯網、工業電子、機器人、生物醫療以及消費電子等領域，是當今科技研究的熱門方向之一[1-3]。在MEMS領域，微諧振傳感器的市場和發展潛力最大[4-6]，微諧振傳感器已廣泛應用于航空航天、無人駕駛等領域[7-9]。

在微諧振傳感器的設計中，為了提高傳感器的精度、靈敏度及穩定性，諧振梁的合理設計尤為關鍵。Thomas等[10]通過對諧振梁進行合理優化，采用諧振微懸臂梁陣列傳感器測量生理條件下蛋白受體的相互作用，并測定了細菌病毒T5在亞柱濃度下的結合量。對研究跨膜蛋白受體及其配體之間的相互作用具有重要醫學意義。Zhao等[11]提出了一種同時修改諧振梁的表面輪廓和橫截面類型以優化其剛度和質量分布的方案，以提高傳感器的靈敏度。許高斌等[12]通過對諧振梁的兩邊增加了側梁,提高了傳感器的穩定性,并且進一步優化傳感器檢測靈敏度。在仿真平臺下其傳感器基礎諧振頻率為29.834 kHz，在0～120 kPa范圍內靈敏度可達29.6 Hz/kPa。Rajanna等[13]利用濺射沉積方式在氧化鋁陽極表面形成諧振膜，并將諧振膜作為壓力傳感器應變片，通過該工藝得到的諧振薄膜式壓力傳感器可以檢測0～10 bar范圍內的壓力值。

諧振梁是微諧振傳感器關鍵部分，但工作時廣泛存在著非線性因素，因此諧振梁的多場耦合非線性振動研究對諧振傳感器設計與應用具有重要的指導價值。劉敏等[14]提出了基于獨立變分模態分解與多尺度非線性動力學參數的特征提取方法，極大地提高了機械故障診斷準確率。劉燕等[15]考慮到諧振梁的非線性效應，運用林滋泰德-龐加萊法，計算求解動力響應。Javadi等[16]在歐拉-伯努利梁理論的基礎上，利用Hamilton原理推導了具有非線彈性基礎和拉伸引起的Von Karman非線性的控制方程，采用伽遼金投影法將這些非線性偏微分方程簡化為非線性常微分方程，這為傳感器設計與應用提供了理論基礎。

綜上所述，基于對微諧振傳感器方面做出的大量研究工作，動態特性是保證諧振傳感器工作性能的關鍵。在微諧振傳感器中，電容檢測法與電阻檢測法相比，降低了檢測電路的制造難度。因此得到了廣泛的應用。然而，現有微諧振傳感器中的諧振梁與下極板之間的電容非常小，那么諧振時電容變化信號很小，增加了后續放大電路的制作難度。

為此，本文提出了一種十字型微諧振梁，可應用于壓力傳感器。壓力傳感器依靠感知諧振梁內部軸向力的變化來測量外部壓力。由于十字型諧振梁增加了極板的面積。通過增加微諧振梁與下極板之間的電容，增加了信號的強度。降低了后續放大電路的設計難度。因此較兩端固支等截面梁更有優勢。使用Owen交流電橋進行檢測。同時創新性的采用隔離帶將激振端和拾振端分開，以便輸出的電壓信號中不會摻雜激勵信號，結果更加真實準確。對于具有十字型諧振梁的微型諧振傳感器，諧振梁的動態特性仍然是決定其性能的關鍵。因此，本文建立了十字型微諧振梁的多場耦合動力學方程，并求出了十字型微諧振梁非線性振動固有頻率表達式。研究了十字型微諧振梁固有頻率隨激勵電壓變化規律，分析了分子力對十字型微諧振梁固有頻率的影響。并且研究了十字型微諧振梁不同參數對其位移響應的影響。最后利用實驗測試結果與理論分析值對比，證實了非線性振動理論研究的正確性。

1 動力學方程

根據諧振梁的工作原理，諧振梁單元多場耦合物理模型如圖1所示。模型分為諧振梁與下極板兩部分，兩原件均為單晶硅制成。諧振梁長度為2l，寬度為b，厚度為h，彈性模量為E，材料密度為ρ。本模型為細長梁，屬于歐拉—伯努利梁，因此可忽略梁橫截面的剪切變形和轉動慣量。諧振梁只產生在Y向的位移y(x,t)。

根據振動理論[17-18]，諧振梁多場耦合動態振動方程為

(1)

式中：F為諧振梁上的軸向力(N)；g為作用在單位長度諧振梁上的全部載荷(N/m)；I(x)為橫截面對中心軸的慣性矩；S(x)為諧振梁橫截面積。

為便于分析諧振梁的振動特性，將Y向的位移y(x,t)分為靜態位移與動態位移兩部分，即梁上任意一點某時刻的位移為

y=y0+Δy

(2)

式中：y0為諧振梁的靜態位移(N/m)；Δy為諧振梁的動態位移(N/m)。

載荷g包括電場力和卡西米爾力兩部分，即

g=fe+fc

(3)

式中：fe為單位長度上的電場力(N)；fc為單位長度上的卡西米爾力(N)。

單位長度上的卡西米爾力為

(4)

式中：hc=hp/2π；hp為普朗克常數(Plank constant)；cc為光速(m/s)；d0為極板間隙(m)。

考慮卡西米爾力非線性因素，將卡西米爾力在y=y0處進行泰勒級數展開，得到

(5)

泰勒展開式的第一項為作為靜態卡西米爾力項。省略三階以上高階項，其泰勒展開式的余項作為動態卡西米爾力項。

靜態卡西米爾力的表達式為

(6)

動態卡西米爾力的表達式為

(7)

其中：

設式中非線性分析小參數為

(8)

單位長度上的電場力為

(9)

式中：U為施加在諧振梁與下極板間激勵電壓(V)；εo為真空電容率(F/m)；εr為相對電容率。

在y=y0處，對電場力的表達式泰勒展開，有

(10)

同理可得

靜態靜電力的表達式

(11)

動態靜電力的表達式

(12)

其中：

將式(12)、式(7)代入式(3)可得動載荷為

Δg=εξ1Δy+εξ2Δy2+εξ3Δy3

(13)

2 系統非線性自由振動

在振動中，將產生動態位移Δy，即產生動態的靜電力與卡西米爾力。線性項與非線性項都包含動態位移，因此其對線性與非線性的固有頻率都有影響。

將動態位移Δy及式(13)代入式(1)可得諧振梁多場耦合非線性振動方程為

εξ1Δy+εξ2Δy2+εξ3Δy3

(14)

令Δy=φ(x)q(t)并代入式(14)可得

(15)

式中：q為廣義坐標；q″為廣義加速度；φ為模態函數；

(16)

其中：

式(15)右邊為

(17)

由式(17)化簡為常系數微分方程

(18)

式(18)的特征方程為

s4-α2s2-β4=0

(19)

式(19)的四個特征根為

其中：

則式(18)的通解為

(20)

將諧振梁簡化后的力學模型如圖2所示。將梁的中部結構簡化為質量塊m，梁的總長度為2l。分別以微梁的左右兩端點O1、O2為原點設立兩個局部坐標系。梁左側坐標系x軸方向以右為正方向，梁右側坐標系x軸方向以左為正方向。y軸方向與原坐標系方向相同。設局部坐標系下左梁的模態函數為φ1(x)，右梁的模態函數為φ2(x)。在x1=x2=l處φ1(x)與φ2(x)呈奇函數或偶函數對稱。根據文獻[19]所述此類型模態函數如式(22)、(24)所列。

圖2 簡化的諧振梁結構動力學模型Fig.2 Simplified resonant beam dynamics model

左梁φ1(x)和右梁φ2(x)呈奇函數對稱時，頻率方程為

(21)

模態函數為

(22)

其中：

左梁φ1(x)和右梁φ2(x)呈偶函數對稱時，頻率方程為

(23)

模態函數為

(24)

其中：

將式(16)的解展成ε的冪級數

q=q0+εq1+ε2q2+…

(25)

將系統非線性自由振動頻率ω展成ε的冪級數

(26)

引入新的自變量τ=ωt得

(27)

將式(27)代入式(16)得

(28)

將式(25)、式(26)代入式(28)，令ε的同次冪的每一項系數為零，可得

(29)

(30)

(31)

初始條件如下

(32)

式中,k0為初始廣義位移(m)。

由式(29)與式(32)解出

q0=k0cosτ

(33)

將式(33)代入式(30)得

(34)

為避免式(34)的解中出現久期項，令方程右邊cosτ項的系數等于零，導出

(35)

將式(32)、式(35)代入式(34)解得

(36)

將式(33)、式(35)代入式(31)解得

(37)

為避免式(37)的解中出現久期項，令方程右邊cosτ項的系數等于零，導出

(38)

將式(32)、式(35)、式(38)代入式(37)解得

(39)

將式(33)、式(36)、式(39)代入式(25)解得

(40)

將式(35)、式(38)代入式(26)，解得非線性系統自由振動幅頻相應關系為

(41)

3 實例計算與分析

3.1 頻率特性分析

諧振微梁的主要參數如表1所示。聯立式(18)、(19)、(21)、(23)可求解諧振微梁各階線性固有(角)頻率ω0。將ω0代入式(41)中，可求得相應的諧振微梁非線性各階固有(角)頻率值ω。表2為諧振微梁靜態位移改變時，其線性與非線性各階固有頻率值。其中fa為線性固有頻率值，fb為非線性固有頻率值。其中η為兩者的相對誤差。表3為諧振微梁非線性振動隨偏置電壓的變化規律，其中η為兩者的相對誤差。考慮與忽略卡西米爾力情況下各階非線性固有頻率如表4所示，其中f1為忽略卡西米爾力各階非線性固有頻率數值，f2為考慮卡西米爾力的各階非線性固有頻率數值。其中η為兩者的相對誤差。在考慮卡西米爾力的影響下，線性與非線性各階固有頻率情況如表5所示，其中f3為考慮卡西米爾力的各階線性固有頻率數值，其低階模態如圖3所示。由表2～5及圖3可見：

(1) 隨著靜態位移的逐漸增大，系統線性固有頻率降低。

(2) 隨著靜態位移的逐漸增大，系統的非線性固有頻率也降低。且靜態位移對非線性固有頻率的影響更為明顯。

(3) 當偏置電壓增大時，諧振微梁的固有頻率下降，且低階的固有頻率下降的更為明顯。

(4) 當考慮非線性對諧振梁的影響時，固有頻率值低于線性頻率值，從低階到高階非線性與線性的頻率差值逐階減小，其中第一階非線性與線性的頻率差值約為第三階的8倍。

(5) 偶數階比奇數階非線性與線性的頻率差值更大，其中偶數第一階約為奇數階的1.4倍，之后隨著階數的增加奇數階與偶數階的頻率差值逐漸相近。

(6) 當考慮卡西米爾力對諧振梁的影響時，其固有頻率值低于不考慮時的頻率值，這是因為在振動過程中卡西米爾力可以等效為軟彈簧系統，從而導致了固有頻率的降低。且卡西米爾力對低階固有頻率的影響明顯高于高階。其中奇數第一階考慮與忽略卡西米爾力的頻率差值約為第三階的5倍。

(7) 在考慮卡西米爾力時偶數階比奇數階的頻率差值更大，隨著階數的增加奇數階與偶數階的頻率差值逐漸相近。

(8) 在模態函數為奇函數時，其形式呈反對稱型。當在模態函數為偶函數時，形式為對稱型。諧振梁的位移峰數隨著階數的增加而增加。對于相同階數，反對稱模態的固有頻率要大于對稱模態的固有頻率。

(9) 當模態函數為反對稱型時，諧振梁中心的振動位移始終為零。對于對稱型模態，其中心的振動位移不為零。一階對稱模態，諧振梁中心處的振動位移最大。

表1 系統參數Tab.1 System parameters

表2 不同靜態位移，各階自由振動線性與非線性固有頻率比較Tab.2 Comparison of linear and nonlinear inherent frequencies of free vibration for changing static displacement

表3 隨偏置電壓改變的非線性頻率變化規律Tab.3 Changes of nonlinear frequencies with voltages

表4 分別考慮和忽略卡西米爾力時，各階自由振動非線性固有頻率比較Tab.4 Comparison of inherent frequencies of free vibration for considering and ignoring Casimir force respectively

表5 考慮卡西米爾力時，各階自由振動線性與非線性固有頻率比較Tab.5 Comparison of linear and nonlinear inherent frequencies of free vibration for considering Casimir force

(a) 對稱型一階模態

3.2 時域分析

為了研究不同參數對諧振梁時域動態響應的影響，改變諧振梁長度、寬度、厚度、極板間距和質量塊的質量等參數，觀察諧振梁中點位移一階時域響應隨時間的變化規律，結果如圖4所示。由圖4可知：

(1) 改變諧振梁的長度，其他參數不變時。隨著諧振梁長度的增加，諧振梁的振幅增大，振動周期增大。這是因為諧振梁的剛度減小，諧振梁有了更大的初始位移。

(2) 當改變諧振梁的寬度時，隨著諧振梁寬度的增加，諧振梁的振幅減小，振動周期增大。

(3) 當改變諧振梁的厚度，其他參數不變時。隨著諧振梁厚度的增大，諧振梁的振幅減小，振動周期減小。

(4) 只改變極板間距，當增大兩極板間距時，諧振梁的振幅增大，振動周期減小。

(5) 隨著質量塊的質量增大，諧振梁的振幅增大，振動周期也增大，這是由于質量增加引起慣性力的增大。

(a) L變化

3.3 實驗分析

在傳感器設計中諧振梁的振動頻率為核心參數之一，它對傳感器的性能有著決定性影響。為了驗證上述關于諧振梁振動頻率理論分析的正確性，采用微機械加工技術制作十字型微諧振梁樣件并測試。

微諧振梁加工工藝流程如圖5所示。基材選用直徑2英寸單晶硅片，使用超聲波去離子水對硅片進行清洗。使用勻膠機將正性光刻膠均勻涂于硅片上下表面，光刻膠層厚度為10 μm。采用紫外線光刻技術將掩膜版上的目標圖案轉移到光刻膠層上。經紫外線曝光過的光刻膠會發生化學性質的改變，溶于相應顯影液中。將有膠層的硅片浸入質量分數為0.26 N濃度TMAH顯影液中，直至曝光圖案完全呈現。此時剩余的光刻膠層會對部分二氧化硅進行覆蓋保護，使用氫氟酸對未覆蓋光刻膠層的二氧化硅進行腐蝕。

腐蝕結束后，光刻膠的目標圖案轉移到二氧化硅層上，此刻的二氧化硅層起到了對硅的選擇性保護的作用。選用高濃度TMAH腐蝕溶液對硅基材進行腐蝕加工，待腐蝕到所需深度后，腐蝕加工結束。最終得到目標形狀的三維結構。為增強諧振梁的導電能力，需在諧振梁表面鍍厚度為400 nm的金導電層。諧振梁結構如圖6所示。下極板加工流程與上極板類似，依次采用光刻、腐蝕、鍍導電層的加工工藝。

圖5 諧振梁加工工藝Fig.5 Fabrication process of resonator

采用電子束光刻膠連接上下極板，并通過控制涂膠轉速與時間可以精確獲得100 nm的膠層，可獲得300 nm的極板間隙。選取立方體鋁材為支撐底座，使用UV膠將下極板固定在底座上。利用導電巖漿在極板上進行引線，引線材料為直徑25 μm的高純銅線，銅線的一端采用導電巖漿固定在極板上，另一端焊接在電路板接線柱上便于進行測試。

圖6 諧振梁結構示意圖Fig.6 Structures of resonator

自制十字梁與一字梁諧振器如圖7、圖8所示，其尺寸如表6所示。

圖7 十字梁及諧振器Fig.7 Cross beam and resonator

圖8 一字梁及諧振器Fig.8 Straight beam and resonator

表6 諧振梁系統參數Tab.6 Resonant beam system parameters

采用自主設計的測試系統進行了以下測試。本實驗采用靜電激勵—電容檢測的方法進行振動頻率的測量檢測，其原理圖如圖9所示。諧振器可以等效為平板電容器。采用lift-off工藝制隔離帶將激振端與拾振端分開，且拾振端分配面積更大，便于獲取檢測信號。對開環系統施加靜電壓激勵信號，通過調節可調電阻Rref和可調電容Cref，使電橋達到平衡。此時a、b端的電壓差為零，系統無信號輸出。當施加交流激勵電壓時，極板間的靜電場力產生周期性變化，進而傳感器的等效電容值發生周期性變化，諧振梁受靜電場力的作用相對下極板發生周期性位移。此時電橋平衡狀態被打破，a、b端產生周期性電壓差，傳感器的位移信號轉化為電信號，通過owen交流電橋將電信號傳入100倍的微弱信號差分放大器輸出到頻譜儀上。當諧振梁固有頻率接近激勵頻率時產生共振現象，此時輸出的電壓信號最強且位移響應為最大值。

圖9 開環測量系統Fig.9 Open loop measurement system

實驗現場照片如圖10所示。由信號源施加激勵信號在激振端，以驅動諧振梁產生振動。在拾振端拾取此諧振梁的振動信息，并把這個振動信息轉化為電壓信號，由頻譜儀檢測此電壓信號來獲取梁的振動信息。

圖10 實驗現場圖Fig.10 Experimental site map

(42)

求得十字梁的品質因子Q為105.8，滿足傳感器的實際應用[20]。在相同實驗條件求得一字梁品質因子為63.6。結果表明十字型諧振梁的品質因子明顯高于一字型梁的品質因子。

圖11 開環掃頻幅頻特性曲線Fig.11 Amplitude-frequency curve for open loop scanning

采用頻率為49 627.38 Hz的激勵源對十字梁進行激振，十字梁輸出信號的頻譜圖如圖12所示，在諧振頻率附近的信號強度較為明顯，其信號強度為-46 dbu。同理測得一字梁的信號強度為-61 dbu。其信號強度優于傳統一字梁[21]信號，其原因為十字型諧振梁的面積更大，使其基礎電容增大，信號更強。且由于中部質量的增加，提高了振幅，從而進一步增強了信號。因此其更有利于應用到微納傳感器當中。

圖12 開環一階諧振頻譜圖Fig.12 Spectrum diagram of open loop first order resonance

利用檢測系統對十字型諧振梁的固有頻率進行檢測，表7為不同偏置電壓下其固有頻率理論與實驗值對比。表8為不同階數的固有頻率檢測結果。

(1) 在只考慮線性效應對固有頻率的影響時，當偏置電壓不同時，理論與實驗數據的相對誤差最大為16.52%，最小為6.96 %。而考慮了非線性的影響時，其最大相對誤差為2.76%，最小僅為1.97%，更接近實驗測量結果。因此在諧振梁設計中非線性的影響不可忽略不計。

(2) 忽略卡西米爾力時，理論與實驗數據的相對誤差最大為6.85 %，而考慮卡西米爾力時相對誤差最大值不超過2.76%，更接近實驗測量結果。證明了卡西米爾力的影響不可忽略。

(3) 對十字型諧振梁不同階數的測試顯示，偶數階前兩階固有頻率的相對誤差最大值為2.19%，奇數階前兩階固有頻率的相對誤差最大值為2.28%。驗證了理論分析的正確性。

表7 實驗結果與理論值比較Tab.7 Comparison of experimental results and theoretical values

表8 前兩階固有頻率理論值與實驗值對比Tab.8 The theoretical and experimental values of the first two order natural frequencies are compared

4 結 論

本文提出了一種十字微型諧振梁，建立了型諧振梁化學分子力、電場力多場耦合動力學方程，求出了諧振梁非線性固有頻率表達式并進行了測試實驗，主要研究結論如下：

(1) 此諧振梁在考慮非線性時其固有頻率低于只考慮線性時的情況。且階數越低，非線性效應越明顯，因此在研究諧振梁低階固有頻率時，非線性對諧振梁的影響不可忽略不計。

(2) 分析了諧振梁非線性固有頻率的變化規律，當激勵電壓增大時，諧振梁的固有頻率下降。在考慮分子力對系統的影響時，諧振梁固有頻率下降。且分子力對低階次固有頻率影響較大。實驗測得固有頻率與考慮分子力時的分析結果更為接近。因此在設計微型諧振器時，要充分考慮分子力的影響。

(3) 當諧振梁的長度、極板間距以及質量塊質量增大，且寬度和厚度較小時，時域動態響應的振幅較大。

(4) 采用自主設計開環測試系統對自制十字型微諧振器進行了掃頻實驗，由于極板面積增大，諧振梁與下極板之間的電容增加，增強了諧振器內電容變化信號。使檢測信號更為明顯，更適合應用于微弱信號傳感器。