基于L型級聯互素陣列的多目標源載頻和到達角聯合估計

趙雪成, 黃翔東, 馬金英

(天津大學電氣自動化與信息工程學院, 天津 300072)

0 引 言

載頻和到達角(direction of arrival,DOA)的聯合估計是陣列信號處理領域的研究熱題,在認知無線電(cognitive radio, CR)、雷達和移動通信中有著廣泛的應用[1-4]。以CR為例,終端設備通過感知傳輸信號的頻譜信息,對一定頻率范圍內未被占用的頻段加以利用,以此提高用戶容量和通信效率。此外,終端設備可利用部署在終端的多天線系統獲取傳輸信號的DOA信息來感知空間譜中空閑的資源,進而提高CR性能。顯然,在上述過程中載頻和DOA聯合估計是必不可少的關鍵步驟。

然而,傳統的聯合估計方法一般受到Nyquist條件的限制。具體來說，即在空域采樣方面,陣元間隔不能超過入射信號的半波長。例如,傳統的均勻線陣(uniform linear array, ULA)就是典型的Nyquist空域采樣結構,故而當信號波長較短時，這類陣列結構的陣元互耦、散熱等問題不易解決[5]。在時域采樣方面,由于實際中接收機往往收到的是頻譜分布在較寬范圍(例如幾個GHz)的多個信源,若同時對這些信源進行感知,則需以極高的速率進行采樣,進而短時間內會產生大量數據,給數據存儲和后續處理帶來巨大負擔。另外,如此高的采樣率也是現行技術下的模數轉換器(analog to digital converter,ADC)所不能承受的。

近年來,已有許多學者提出了基于時域欠采樣的載頻和DOA聯合估計方法,在能夠重構信號的前提下,將采樣速率降到各信源帶寬的最大值的水平。例如,文獻[6]設計了一種基于ULA的帶有時延的時域欠采樣接收結構,并提出了基于旋轉不變子空間(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)[7]的聯合估計方法。然而,文獻[6]中的時延必須限制在Nyquist采樣間隔內,這增大了其工程實現難度。文獻[8]則設計了一個具有靈活時延的Sub-Nyquist采樣結構,并提出了基于正則分解/平行因子分解的聯合估計算法,不僅可以恢復出載頻和DOA,也能夠重構信源的功率譜。然而,文獻[8]中模擬時延器雖有一定靈活性,但精準的時延控制在實踐中仍有較大難度[9]。近年來,一些學者提出了無時延的聯合估計器。例如,在文獻[10]中,作者將單天線結構的調制寬帶轉換器(modulated wideband converter, MWC)[9]擴展到L型ULA中,實現了對載頻和DOA的聯合估計。在該結構中,每個陣元與MWC中單個采樣通道相連接,并且采樣速率為各入射信源帶寬的最大值。文獻[11]則將MWC擴展到單個ULA中,利用部署了多通道MWC的參考陣元先估計出載頻,再通過子空間分解和相關性配對從陣列樣本中得到相應的DOA。此外,文獻[12]在基于ULA的MWC框架下,將各采樣通道樣本的頻譜數據組成三維張量,然后利用張量分解技術恢復出了信源的載頻和DOA。以上的工作均是基于ULA開展的,并未考慮空域欠采樣情況。

所謂空域欠采樣,即天線陣列允許以大于半波長的間隔稀疏布置,因此可以有效擴大陣列孔徑、提高估計分辨率和降低實際應用中陣元間的互耦,而且大孔徑的優勢在DOA單參數估計任務中已得到充分展現。例如，文獻[13-15]展示了稀疏陣列在參數估計精度方面帶來的提升。此外，一些學者利用稀疏陣列在結構上的靈活性,通過對陣列進行變形、移位,提出了具備更低互耦和更高自由度的DOA估計器[16-19]。目前,一些學者已將空域-時域欠采樣結合到載頻和DOA的聯合估計任務中。比如，文獻[20]利用壓縮感知(compressed sensing, CS),從空時Sub-Nyquist樣本的一系列互相關矩陣中恢復出載頻、DOA和功率譜,但該方法計算復雜且精度不高。文獻[21]提出了一種基于最小冗余陣列(minimum redundancy array, MRA)的聯合估計器,可以對超出陣元數量的信源進行識別,但該結構對ADC要求較高且精度受到網格劃分精度的限制。

通過以上分析可以發現,現有的載頻和DOA聯合估計方法大多沒有涉及到空域欠采樣,或已有的基于空域欠采樣的聯合估計方法沒有體現出稀疏陣列在DOA單參數估計中的優勢。針對此問題,本文提出一種基于L型級聯互素陣列[22]的聯合估計方法。相比于現有方法,其優勢體現在以下幾點:① 不同于MRA,互素陣列具有閉式的結構表達式;② 載頻和DOA的恢復結果具有閉式解析形式,不涉及網格定義,降低了算法復雜度;③ 所提結構不包含時延通道降低了硬件實現難度;④ 避免了原型互素陣列中局部陣元密集情況,進一步擴大了陣列孔徑。仿真結果驗證了本文所提方法的有效性。

1 信號模型

考慮K個不相關、廣義平穩的遠場窄帶信號入射到接收陣列的情況。其中，各信號的載頻分別為f1,f2,…,fK。定義如下信號模型:

(1)

(2)

本文中,信源個數K為已知或是由源數目估計算法估計出,例如Akaike信息準則(Akaike information criterion, AIC)[23]。

圖1 多帶信號模型Fig.1 Multi-band signal model

2 空時欠采樣結構及接收信號建模

2.1 空域欠采樣結構

圖2為本文提出的空時域欠采樣接收結構,該結構由位于x軸和z軸的兩個級聯互素陣列組成。如圖3所示,每個級聯互素陣列由兩個陣元間距分別為Md、Nd,陣元數分別為N、M的均勻線性子陣組成，其中，d為頻率上限信號半波長。每個級聯互素陣列的陣元數為L=M+N-1,其陣元位置集合為

Z={z0,z1,…,zL-1}d=

{(n-1)Md|1≤n≤N}∪

{(N-1)Md+(m-1)Nd|1≤m≤M}

(3)

式中：M和N是一對預先定義的互素整數;d=c/(2fnyq),c為光速常量。

圖2 所提L型接收陣列結構Fig.2 The proposed L-shaped receiver array structure

圖3 每個軸上的級聯互素陣列結構Fig.3 Unfolded co-prime array structure on each axis

由于級聯互素陣列的稀疏性,在相同數量陣元的情況下,其陣列孔徑相較ULA極大提高。具體地,前者孔徑達到(2MN-M-N)d,而后者僅為(M+N-2)d。

此外,為確保所提算法正常進行,每個級聯互素陣列的陣元數目L要大于信源數量K。

2.2 時域欠采樣結構

如圖4所示,L型互素陣列中每個天線均直接與一個采樣率為fs=1/Ts的低速ADC相連,其中B≤fs?fnyq[8],即每個通道的采樣率大于等于各信源帶寬最大值并遠小于Nyquist速率。因此,對于所提結構整體而言,當估計K個源時,所需最小總和采樣率為(2K+1)B,與文獻[10]所提的L型ULA時域欠采樣方案相同。

圖4 時域欠采樣結構Fig.4 Temporal sub-sampling structure

2.3 接收信號模型

如圖2所示,以位于x軸的級聯互素陣列為例,設原點處陣元為參考陣元,則第n個天線的接收信號為

(4)

(5)

N

(6)

進一步,將式(4)寫成矩陣形式,可得

(7)

(8)

類似地,對z軸的級聯互素陣列進行分析,可得相應的接收信號模型,即

(9)

相應地,Az=[az(f1,θ1),az(f2,θ2),…,az(fK,θK)],

(10)

(11)

N

(12)

經過采樣后,可得如下數據樣本:

(13)

式中:l=0,1,…,Ns-1,Ns為快拍數。

3 載頻和DOA聯合方法

本節利用位于兩軸的級聯互素陣列所對應的樣本,構造兩個虛擬ULA意義下的偽噪聲子空間,進而無模糊地求出兩組信源的電子角({fksin(θk)}和{fkcos(θk)})。然后,結合類波束生成方法[24],利用相關性匹配這兩組電子角,進而完成載頻和DOA的聯合估計。所提方法的詳細推導如下。

3.1 偽噪聲子空間重構

首先,對于x軸陣列的樣本,計算其相關矩陣:

(14)

(15)

式中:Un由較小的L-K個特征值對應的特征向量組成;Us表示信號子空間,由較大的K個特征值對應的特征向量組成。

為了能在后續步驟中直接、方便地利用求根多重信號分類(root multiple signal claffication, root-MUSIC)算法進行電子角的求解,本節構造級聯互素陣列所對應的虛擬ULA(包含的陣元數為Lp=2MN-M-N+1)的偽噪聲子空間Unp:

Unp=TUn

(16)

式中:T是一個Lp×L的變換矩陣,對Un進行行擴展。具體來說是在級聯互素陣列的所有孔洞位置處,將1×(L-K)的全零向量0填充到Un。T的具體表達式為

0≤i≤Lp; 0≤j≤L-1

(17)

式中:zj表示級聯互素陣列陣元位置,見式(3)。此外,由于級聯互素陣列是由兩個互素子陣組成的,因此對于整個陣列(非線性排列的)而言,這種互素特性可以避免稀疏陣列所帶來的相位模糊問題。

同理,對于z軸陣列的樣本數據,也構造如上的偽噪聲空間。

3.2 載頻和DOA的配對與估計

同樣先考慮位于x軸的級聯互素陣列,由于噪聲子空間與信號子空間正交,可得

(18)

(19)

選出最接近單位圓的K個根{rk|k=1,2，…,K},則信源在x軸陣列的電子角為{fksin(θk)}。記αk=fksin(θk),則αk可由下式獲得

(20)

(21)

完成配對后,載頻和DOA的計算方法如下：

(22)

3.3 步驟總結

載頻和DOA估計過程如算法1所示。

算法1載頻和DOA估計輸入x軸、z軸陣列的采樣數據:x、z;步驟 1對于x軸陣列,通過式(5)計算其樣本相關矩陣Rx。步驟 2利用式(15)求解其噪聲子空間Un。步驟 3基于Un,利用式(16)和式(17)構造偽噪聲空間Unp。步驟 4對Unp執行root-MUSIC,由式(18)～式(20)計算電子角{α^k}。步驟 5對于z軸陣列,重復步驟1～步驟4,得到相應的電子角{β^k}。步驟 6利用式(21)配對{α^k}和{β^k}。輸出信源載頻和DOA可由式(22)獲得。

3.4 復雜度分析

對于x軸陣列,計算相關矩陣Rx∈CL×L需要L2×Ns次復乘,其中L為一個軸上的陣元個數,Ns為每通道快拍數。對Rx進行特征值分解大約需要L3次復乘。執行root-MUSIC算法,大約需要(2Lp-1)3次復乘[25],其中Lp為虛擬ULA陣元數。對于z軸陣列,重復上述計算過程。最后在配對階段,約需K2(L2+L)次復乘,其中K為信源數量。綜上,本文算法計算復雜度約為O(3NsL2+2L3+2(2Lp-1)3)+K2(L2+L)),高于文獻[10]中基于L型ULA的聯合估計器的計算復雜度O(NsL2+4(L-1)3+K3)。但是,相比于大多基于網格的空域欠采樣的估計器(精度越高,網格劃分越細,計算量隨之大幅增加),本文算法不涉及網格定義,有效提高了計算效率。

4 仿真分析

4.1 參數設置和性能指標

設定fnyq=10 GHz,d=1.5 cm。對于本文空域欠采樣結構,設M=3,N=5,則每個軸的級聯陣列陣元數目L=M+N-1=7。

考慮K=3個入射信號(根據第1節所定義的信號模型生成),其帶寬設為B1=30 MHz、B2=50 MHz、B3=50 MHz,對應的載頻分別設為f1=6.3 GHz、f2=7.4 GHz、f2=8.5 GHz,入射角度分別設為θ1=-40°、θ2=20°、θ3=45°。每個通道的采樣率為fs=1.4B=70 MHz。估計性能采用均方根誤差(root mean square error, RMSE)進行評價,定義如下:

(23)

為評估本文提出的空時欠采樣的載頻和DOA聯合估計方法,對比方法選為文獻[6]和文獻[10](其估計結果具有解析形式)。其中,文獻[10]提出的CaSCADE(compressed carrier DOA estimation)算法采用的是L型ULA(陣元間距為d)。文獻[6]為ULA時延結構,其中每個天線含有兩個輸出通道。為保證輸出通道數目一致,CaSCADE中每個軸的陣元數設為7。文獻[6]天線數設為7,共有14個通道,略高于本文和CaSCADE算法。此外,本文所提算法同樣適用于原型互素陣列,因此也給出所提算法基于原型互素陣列的估計性能。

4.2 配對正確性檢驗

表1 兩組電子角間的匹配系數

表2 不經配對所得的載頻和DOA估計值

4.3 不同快拍數下參數估計效果對比

在第4.1節的參數基礎上,設置信噪比為5 dB。令快拍數Ns從100到1 000遞增,步進值為100。載頻和DOA估計結果的RMSE曲線如圖5所示。從圖5可以看出,在快拍數從100到1 000的范圍內,本文算法在載頻以及DOA的估計精度上都要高于其他基于ULA的對比算法。同時,相較于原型互素陣列,基于級聯互素陣列的本文算法具有更高的估計精度。這是因為本文的級聯互素陣列在相同陣元數情況下具有更高的孔徑。具體來說,文獻[6]的陣列孔徑為6d;文獻[10]采用的是L型ULA,每個軸的陣列孔徑也為6d。相比之下,所提L型互素陣列結構的每個軸的陣列孔徑為(2MN-M-N)d=22d,遠高于文獻[6]和文獻[10]。此外也可以發現,相較文獻[10],本文算法在較低快拍數條件下即可取得較為明顯的性能增益。

圖5 估計誤差隨快拍數的變化曲線Fig.5 Estimation error curves versus snapshot numbers

4.4 不同信噪比下參數估計效果對比

本次對比實驗中,快拍數Ns=1 000,令信噪比從-15 dB到20 dB變化,步長為1 dB。相應的載頻和DOA的估計誤差曲線如圖6所示。觀察圖6可以發現,隨著信噪比不斷下降,圖中各方法的誤差曲線均會出現跳變現象。這表明當小于跳變點處對應的信噪比閾值時,估計算法將會受到嚴重影響。本文將該信噪比閾值視作算法抗噪聲魯棒性的體現,進而可以發現,文獻[6]的抗噪聲魯棒性要優于本文所提算法。然而,文獻[6]的算法依賴于精準的時延器,這無疑加大了其在實際部署中的難度。而本文方法不需要精準的時延器件,便于實際部署。此外,本文所提方法的抗噪聲魯棒性優于文獻[10],這主要因為二者關注的子空間類型不同:前者關注噪聲子空間,而后者關注信號子空間。當信噪比較低時,噪聲子空間的估計更準確,故而本文方法相較于文獻[10]具有更強的抗噪聲魯棒性。同時從圖6可以看出,當信噪比大于-5 dB時,本文算法相較于其他對比算法取得了較為明顯的性能增益。這反應了本文陣列結構具有大孔徑的優勢。此外,考慮到實際中通信頻段不斷提高的趨勢,本文級聯互素陣列的稀疏布置形式更有利于減輕通信時陣元間的互耦效應。

圖6 估計誤差隨信噪比的變化曲線Fig.6 Estimation error curves versus signal to noise ratio

5 結 論

本文提出了一種基于L型級聯互素陣列的空時欠采樣的載頻和DOA聯合估計器,有效地增大了陣列的孔徑。通過結合虛擬ULA意義下的偽噪聲空間、root-MUSIC和類波束生成源匹配法,本文以一種全解析的方式得到了信源的載頻和DOA。仿真實驗對比了本文算法與基于ULA的算法在不同條件下的估計性能,展示了所提方法在一個適度信噪比條件下即可顯著地降低載頻和DOA聯合估計的誤差,因而在對精度要求較高的場合,比如無源定位、移動通信等領域有廣泛的應用前景。然而,由于本文算法涉及手動參數配對,未來將在參數的自動配對方面努力。