聯合純四元數與字典學習的彩色圖像去噪方法

曾擁華, 馬均瑤, 黃朝燕, 冒智慧, 武婷婷

(1. 陸軍工程大學野戰工程學院, 江蘇 南京 210007; 2. 南京郵電大學通信與信息工程學院,江蘇 南京 210023; 3. 南京郵電大學理學院, 江蘇 南京 210023)

0 引 言

圖像在數字化和傳輸過程中容易受到成像設備和外部環境噪聲干擾的影響,導致圖像在采集和傳輸的過程中產生退化。噪聲干擾造成圖像退化不可避免,但在實際的生活中,人們期望獲取具有高分辨率的逼真原圖像,產生了圖像去噪問題。圖像去噪是圖像處理的基本任務之一[1],在諸多領域都有著廣泛的應用,如大多數智能手機照相功能都運用了一些去噪算法[2]。

經典的加性零均值高斯白噪聲干擾彩色圖像的問題可以描述為一個干凈的圖像受到加性零均值高斯白噪聲的干擾。圖像去噪的任務主要是設計一個有效的算法以便于移除噪聲圖像中的高斯白噪聲，得到與干凈圖像盡可能相似的圖像。

圖像去噪是一個經典的反問題，研究者基于稀疏代表元先后采用稀疏自適應濾波器[3-5]、偏微分方程法[6-8]、統計估計法[9-11]等方法對圖像去噪問題進行了研究，證明了疏代表元(也稱字典學習)理論對于圖像去噪稀的可行性。傳統的稀疏圖像模型[12]對圖像RGB通道用3個實向量分別表示或將3個實向量進行結合表示。文獻[13]構建了一些應用于灰度圖像的稀疏模型并取得了相當不錯的成果。文獻[10]將所有圖像用隨機字典的一些元素線性表示，建立了稀疏模型。文獻[14]用四元數矩陣對彩色圖像進行了表示，建立了相應的四元數模型。

傳統的圖像去噪方法,將彩色圖像視為矢量或單色圖像的組合,并完全忽略固有的顏色結構,使得復原圖像中含有一定的彩色偏移點,降低復原圖像質量。在本文提出的用四元數矩陣仿真彩色圖像模型中,彩色圖像中每個像素都能編碼成單一的四元數單元,而不是將RGB通道單獨編碼。在四元數的特殊計算規則下,該方法相比于傳統去噪方法能很好地保存彩色圖像RGB通道之間的內部聯系。此外,字典學習模型可以更有效地逼近噪聲圖像,通過對圖像進行降維,在保留圖像中主要信息的同時降低噪聲干擾。使用圖像塊更新字典的方法可以在最大程度上除去圖像中含有的高斯白噪聲。鑒于兩者的優勢,本文聯合四元數和字典學習模型對彩色圖像去噪問題展開研究。

1 四元數矩陣與字典學習

1.1 四元數矩陣

四元數[15]一般表示為如下形式:

(1)

式中:a0,a1,a2,a3都是實數;i,j,k是基本四元數單元。i,j,k滿足四元數法則:

i2=j2=k2=ijk=-1

(2)

然而四元數不滿足交換律,因為在四元數中ij=k, 而ji=-k。

(3)

則

(4)

(5)

(6)

四元數向量和矩陣的范數定義如下。

四元數矩陣奇異值分解(quaternion matrix singular value decomposition, QSVD)由文獻[16]首次提出,定義如下。

1.2 字典學習法

圖像去噪有許多方法,其中是基于字典學習和稀疏編碼的方法較為流行[17-18]。許多圖像都有如下性質[19]:圖像Y∈Rm×n在字典D∈Rm×k上是稀疏的,并且可以找到稀疏系數矩陣A∈Rk×n使得Y=DA(或者Y≈DA)。假設在字典D能稀疏表示Y,當D復原后,就能通過解決如下式子來復原圖像:

(7)

式中：ε≥0是一個有關于噪聲水平的參數。運用式(7)解出稀疏系數矩陣A后,可由DA復原圖像。常用的字典主要有完備小波[20]、離散余弦變換[21]等。然而,上述字典均為固定字典,不能準確表示彩色圖像,可學習的字典可以更好地表示彩色圖像,更有利于提高圖像復原質量[22]。常見的學習字典主要有K均值聚類奇異值分解(K-means clustering singular value decomposition, K-SVD)[23],最優方向法(method of optimal direction, MOD)[24]和在線字典學習法(online dictionary learning method, OLM)[25]。綜合考慮模型的簡單性和修復圖像的質量,K-SVD算法是非常有效的[26]。K-SVD算法可由如下模型表示:

(8)

通過對查字典得出的結果與原始樣本之間的差進行最小化處理,從而盡可能的還原出原始樣本?？捎蒕OMP(quaternion orthogonal matching pursuit)[27]和Lasso[28](least absolute shrinkage and selection operation) 算法解決這一問題。字典學習的研究對應的典型算法主要有3個方面[29]: ① 概率學習方法;② 基于矢量化或聚類的學習方法;③ 特殊結構的字典學習。這種結構通常由數據結構的先驗驅動,或者由訓練的字典目標驅動。通過字典和相應的稀疏編碼可有效修復彩色噪聲圖像。

2 基于字典學習的零約束模型復原彩色噪聲圖像的方法

2.1 基于字典學習的零約束模型

(9)

(10)

2.2 基于零約束模型的QOMP算法求解

字典學習法:

(11)

(12)

將式(12)分為兩個子問題進行求解得出

(13)

結合式(11)～式(13),算法具體步驟如下。

重復步驟1～步驟3直到達到指定的迭代步數或者收斂到指定的誤差。

3 數值實驗

為驗證本文利用基于純四元數字典學習的彩色圖像去噪模型的有效性,使用數據集Kodak提供的圖像進行數值實驗,并將本文提出的模型純四元數稀疏代表元(pure quaternion with sparse representation, pQS)與K-SVD[23]和K-QSVD[14]兩種現有的模型進行比較。

首先對圖1所展示出來的10張彩色圖像進行處理,每張圖的左下角為圖像編號。圖像1～圖像8是512×768的彩色圖像,圖像9和圖像10是768×512的彩色圖像。實驗中使用的圖像如圖1所示。

本文采用的噪聲方式是高斯加性白噪聲。使用本文提出的模型對加噪聲后產生的噪聲圖像去噪。為了說明本文提出的模型的有效性,將本文實驗與文獻[23]和文獻[14]實驗進行對比,結果如圖2所示。

圖2 原始圖像3及其在3種模型下去噪的局部放大圖對比(σ=25)Fig.2 Comparison of the original image 3 and its local enlarged images for denoising in three models (σ=25)

圖2(a)是清晰的圖像,圖2(b)是局部放大圖像,圖2(c)是加高斯噪聲后的圖像,其中σ=25,圖2(d)是K-SVD模型修復的噪聲圖像,圖2(e)是K-QSVD模型修復的噪聲圖像,圖2(f)是本文提出的pQS模型修復圖像的結果。結果表明:本文提出的模型相比于K-SVD模型和K-QSVD模型能更好地抑制噪聲和保存圖像結構信息。

在圖3和圖4中,圖3(a)和圖4(a)是清晰的圖像,圖3(b)和圖4(b)是局部放大圖像,圖3(c)和圖4(c)是加高斯噪聲后的圖像,其中σ=35,圖3(d)和圖4(d)是K-SVD模型修復的噪聲圖像,圖3(e)和圖4(e)是K-QSVD模型修復的噪聲圖像,圖3(f)和圖4(f)是本文提出的pQS模型修復圖像的結果,通過對比局部放大部位。結果表明:本文得到的去噪圖像具有更加清晰的圖像紋理,一定程度上改善了去噪圖像的細節。

圖3 原始圖像5及其在3種模型下去噪的局部放大圖對比(σ=35)Fig.3 Comparison of the original image 5 and its local enlarged images for denoising in three models (σ=35)

圖4 原始圖像10及其在3種模型下去噪的局部放大圖對比(σ=35)Fig.4 Comparison of the original image 10 and its local enlarged images for denoising in three models (σ=35)

圖5(a)是清晰的圖像,圖5(b)是局部放大圖像,圖5(c)是加高斯噪聲后的圖像,其中σ=50,圖5(d)是K-SVD模型修復的噪聲圖像,圖5(e)是K-QSVD模型修復的噪聲圖像,圖5(f)是本文提出的pQS模型修復圖像的結果。結果表明:本文提出的模型相比于K-SVD模型和K-QSVD模型不僅能夠更好地抑制噪聲,而且能更好地體現圖像細節。

圖5 原始圖像6及其在3種模型下去噪的局部放大圖對比(σ=50)Fig.5 Comparison of the original image 6 and its local enlarged images for denoising in three models (σ=50)

為了客觀的對去噪結果進行比較,本文選擇以下量化評價指標對其進行評價[30]:結構相似度 (structural simila-rity index measure, SSIM)和峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR),定義如下:

由表1～表3可以看出,在噪聲水平分別為σ=25、σ=35、σ=50的情況下,利用本文模型的去噪圖像的PSNR比K-SVD模型和K-QSVD模型修復的圖像高,相對誤差也有一定的優勢,因此可以從數值的角度證明本文所提出的模型可以得到更好的復原圖像。基于圖2～圖5以及表1～表3的分析,證明了本文提出的pQS模型能更好地擬合圖像,同時有效提高了修復圖像的質量。

表1 σ=25時不同模型的SSIM和PSNR值

表2 σ=35時不同模型的SSIM和PSNR值

續表2

表3 σ=50時不同模型的SSIM和PSNR值

4 結 論

本文用四元數矩陣表示彩色圖像,即用四元數矩陣的3個虛部表示彩色圖像的RGB 3個通道,可以更好地將彩色圖像與提出的模型擬合。利用稀疏表示的字典學習法模型對模糊的圖像進行逼近,使用圖像塊更新字典的方法,在最大程度上除去圖像中含有的高斯白噪聲。同時,本文利用K-QSVD算法高效快速地解出所提出模型的解。數值實驗表明了本文模型及算法的有效性,本文所提出的模型不僅有效地解決了含噪聲彩色圖像的去噪問題,還很好地擬合了彩色圖像,提高了復原圖像的質量。