認知MIMO雷達發射波形與接收濾波器聯合優化設計方法

邱祥風, 姜衛東, 張新禹, 霍 凱, 劉永祥

(國防科技大學電子科學學院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

作為新體制雷達的代表,多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達已經引起了廣泛的研究[1]。具體來說,根據天線配置不同,MIMO雷達可以分為分布式MIMO雷達和集中式MIMO雷達兩種。與傳統的相控陣雷達相比,通過使用信號分集與空間分集技術,MIMO雷達可以提升雷達系統的全方位性能[2]。由于其在目標檢測及參數估計等方面的優越性能,MIMO雷達已經應用到了很多方面,如自動駕駛[3]、遙感[4]、災難檢測[5]等。

雜波是雷達對所接收到的除感興趣目標以外其他雷達回波的總稱[6]。在雷達目標探測領域,雜波研究可以用來對其抑制以提高對目標的檢測能力[7]。對于地基雷達,地物雜波能量多集中在零頻附近,只存在輕微的多普勒擴展問題,通常可以使用脈沖對消方法[8-9]加以抑制,如典型的二脈沖對消與三脈沖對消方法[10]。這類方法的本質是在雜波的多普勒頻域內形成一個高通濾波器,對地物雜波加以抑制。對于運動的雷達平臺,平臺的運動將會導致回波中的強地物雜波在多普勒域產生大范圍擴展,與待檢測運動目標在多普勒域的能量分布疊加在一起,嚴重干擾運動目標,特別是對慢速運動目標的檢測。為了解決這一問題,空時自適應處理(space and time adaptive processing, STAP)技術[11]從空域與多普勒域兩個維度入手,利用雜波與目標在空間-多普勒維度分布不同的特點進行運動平臺下的雜波抑制,并取得了可觀的性能。

為了提升MIMO雷達的雜波抑制與目標檢測性能,STAP技術被擴展至MIMO雷達,并成為機載MIMO雷達的核心技術。研究表明[12],由于其具有大虛擬孔徑以及長時間的脈沖累積,MIMO-STAP技術可以顯著提升系統的空間及速度分辨能力,提升對慢速目標的最小可檢測速度(minimum detectable velocity, MDV)。得益于數字任意波形發生器、固態發射機、高速信號處理等先進硬件技術的發展,自適應波形設計和接收信號的自適應處理具備了實時實現的可行性,有效地促進了雷達的智能化發展。通過借鑒蝙蝠的回聲定位系統,Haykin[13]在2006年首次提出了認知雷達的概念。認知雷達利用目標和環境的先驗信息,對發射波形和接收濾波器實時優化,實現對信號的閉環處理過程。

作為認知雷達的核心技術,發射波形(與接收濾波器)的優化設計獲得了廣泛的關注。目前經典的雷達波形主要可以分為3種,線性調頻(linear frequency modulation, LFM)波形、非LFM (non-LFM, NLFM)波形以及相位編碼波形[14]。LFM信號作為一種大時寬帶寬積信號,已經成為一種應用最廣泛的信號。但其可變參數往往只包括帶寬、調頻率等,波形設計的自由度太低。NLFM波形包括步進頻率調頻信號等,除了波形設計的自由度太低以外,其信號處理流程也相對復雜。相位編碼信號[15]通過不同的編碼規則設計每個碼元的初始相位,以實現不同的應用需要,在雷達乃至通信領域取得了廣泛的應用。因其具有較高的設計自由度,相位編碼波形也成為認知雷達發射波形優化設計的常用波形。現有的波形設計優化準則主要包括最大化檢測概率[16]、最大化相對熵[17]、最大化互信息[18]以及最大化信雜噪比(signal to clutter plus noise ratio, SCNR)[19]等。考慮到雷達實際工作系統,在設計雷達波形時還需要考慮一定的約束,如峰均功率比(peak to average power ratio, PAR)約束、相似性約束、恒模約束、頻譜約束等。

為了提升對地面運動目標的檢測能力,Tang等[19]將波形優化設計的思想引入機載MIMO-STAP中。為了獲取更高的設計自由度與更好的波形性能,該文獻同時考慮了發射波形與接收濾波器的聯合優化設計問題。通過引入恒模約束,優化問題最終被建模為一個具有非確定性多項式級復雜度的雙變量非凸優化問題,然后使用基于半正定松弛的序列優化算法(semi-definition relaxation-based sequential optimization algorithm, SOA-SR)迭代求解最優的發射波形與接收濾波器。其求解方法主要包括兩個部分,即固定發射波形求解最優的接收濾波器,然后固定接收濾波器求解最優波形,二者交替進行直至收斂。在求解最優接收濾波器時,將優化問題等效為一個廣義瑞利熵問題,然后可以得到最優接收濾波器的精確解;在求解最優發射波形時,目標函數轉換為一個準凹的分式規劃問題。常規的求解思路主要是使用二分法將其轉換為一系列的凸優化問題,然后求解。為了簡化求解過程,引入Charnes-Cooper變換[20],將待求解問題轉化為一個半正定規劃問題。

然而,在計算最優濾波器時,由于廣義瑞利熵的求解過程中需要進行矩陣求逆與特征值分解運算,算法所需的計算復雜度比較高。對此使用最小方差無失真響應(minimum variance distortionless response, MVDR)方法[21]求解最優接收濾波器。

為了進一步降低算法的復雜度,本文提出一種基于SCNR近似的最優波形求解方法。通過利用前次迭代所得的目標函數值,將當前迭代過程中需要求解的非凸優化問題轉換為凸優化問題進行求解,并通過理論分析證明了近似過程的收斂性能。數值實驗分析表明,相對于文獻[19]中的方法,本文所提方法不僅具有更快的收斂速度,還可以實現更高的SCNR增益。

1 系統建模

1.1 信號模型

如圖1所示,本文考慮機載MIMO雷達平臺,其中Vp表示平臺運動速度,Nt表示發射天線個數,Nr表示接收天線個數,θt和φt分別表示目標的方位角和俯仰角,θc,i和φc,i分別表示第i個雜波塊的方位角和俯仰角。另外,以dT和dR表示發射陣列與接收陣列排列間隔,以ut∈RNt×1和ur∈RNt×1分別表示發射陣元與接收陣元位置。則對于運動速度為Vt的運動目標,其接收到的信號可以表示為

Sr=aT(θt,φt)S

(1)

Yt,m=αtexp[j2π(m-1)Ftb(θt,φt)aT(θt,φt)S]

(2)

式中:αt表示目標回波的復幅度,與通道傳輸和衰減系數相關;Ft=(2Vt)/fr表示目標的歸一化多普勒頻率;b(θ,φ)=exp{j(2π)/λurcosφsinθ}是接收陣列的導向矢量。

圖1 機載MIMO雷達系統工作圖Fig.1 Illustration of airborne MIMO radar system

(3)

在雷達信號處理過程中,回波信號中的地海雜波往往被視為信號無關的干擾分量。為簡單起見,在圖1所示的MIMO雷達系統中,只考慮與目標處在同一距離環的雜波塊,進而雜波分量可以表示為

(4)

式中:Nc表示一個雜波環內的離散雜波塊的個數;αc,i和Fc,i分別表示第i個雜波塊的復幅度以及歸一化多普勒頻率,Fc,i=2Vpcosφc,isinθc,i/(λfr)。根據認知雷達相關理論,雜波的先驗知識可以利用環境動態數據庫、數字高程圖以及環境感知[22-25]等方式獲取。

假設接收機噪聲n∈CNrML×1在時域和空域上不相關,且其服從于均值為0,方差為Rn的循環對稱復高斯隨機分布,則

(5)

結合以上內容,本文所考慮的機載MIMO場景下的一個相參處理周期內的接收信號可以表示為

y=yt+yc+n

(6)

1.2 優化目標

在STAP信號處理過程中,接收端處理器往往需要設計一個多維的接收濾波器以抑制雜波干擾,以增強雷達系統的目標檢測性能。一般來說,SCNR與檢測概率具有正相關關系,且容易與發射波形建立聯系。因此,本文使用最大化SCNR的設計準則。

(7)

(8)

值得注意的是,在恒模約束的條件下,本文考慮的優化問題實質上是在優化波形的相位值。進一步,將發射波形的恒模約束轉換為關于其協方差矩陣的秩1約束,則優化問題式(8)可以等價變換為

(9)

2 求解方法

在本節中,使用交替優化的方法求解發射波形與接收濾波器的聯合優化問題式(9)。

2.1 固定發射波形求解最優接收濾波器

接收濾波器w是一個無約束的待優化變量,因此求解最優接收濾波器時需要解決的優化問題可以表示為

(10)

該問題是一個經典的廣義瑞利熵問題[26-27],文獻[19]直接得出其最優解為

(11)

式中：λmax(·)表示提取矩陣的最大特征值。顯然,由于需要進行矩陣求逆與特征值分解運算,式(11)的運算復雜度比較高。對此,使用MVDR求解w,得到:

(12)

2.2 固定接收濾波器求解最優發射波形

相對于優化接收濾波器,求解最優波形的問題更加復雜。為了方便求解,首先使用松弛的思想去除秩1約束,然后得到關于Rs的優化問題:

(13)

文獻[19]使用Charnes-Cooper變換,將待求解的分式規劃問題轉化為一個凸優化問題,然后使用Matlab凸優化工具箱[28]求解。本節提出一種基于SCNR近似的迭代優化算法求解優化問題，首先將其轉換為

(14)

式中:β表示松弛后的協方差矩陣Rs決定的SCNR。由于約束條件中存在未知參數β,松弛后的優化問題依然是一個難以求解的非凸問題。對此,使用上一步求解優化問題P3所得到的SCNR值ζ替代約束等式左側的未知參數β,這樣就可以得到一個凸優化問題:

(15)

優化問題式(15)可以使用Matlab凸優化工具箱直接求解。根據變換前后的關系,不難得到:

(16)

由于

(17)

(18)

根據式(17)有：

(19)

因此,

(20)

(21)

因此,利用

(22)

可以得到:

(23)

(24)

證畢

本文所提方法具體實現流程如算法1所示,該方法從隨機初始點s0開始迭代,然后交替優化w和s,直至達到收斂準則。其中,初始迭代點s0為恒模約束下的任意相位波形。在算法運行過程中,可以首先隨機生成取值在(0,2π)之間的隨機相位序列φrand,然后通過變換s0=exp(jφrand)得到。

算法1 本文所提算法流程輸入: s0輸出: sopt, woptFor i=1,2,…1. 初始化: si=s0;2. 通過式(11)優化 wi;3. 通過式(15)優化 Ris;4. 使用隨機策略計算 si;5. i←i+1;6. 直至|SCNRi+1-SCNRi|/SCNRi<ξ

2.3 算法復雜度分析

3 實驗與分析

本節進行仿真實驗以分析所提算法的實際性能,實驗參數如表1所示。

表1 實驗參數設置

首先分析所提方法的收斂性能并將其與文獻[19]中的SOA-SR 算法進行對比。圖2給出了兩種算法的SCNR值隨迭代次數的變化。

圖2 SCNR隨迭代次數的變化Fig.2 SCNR changing with the number of iterations

從圖2中可以看出,在不同的迭代停止條件下,即ξ=10-2、ξ=10-3、ξ=10-4時,本文所提方法都能逐漸收斂。隨著ξ取值的逐漸減小,迭代所需的收斂次數逐漸增加,且輸出的SCNR值逐漸升高。在相同的停止準則時,本文所提算法在第19次迭代時停止,而SOA-SR方法在第62次迭代時停止。此外,兩種算法最終達到的輸出SCNR增益分別為23.39 dB和22.71 dB,這說明本文方法可以求解出更優的發射波形與接收濾波器組合。

為了進一步直觀說明本算法在運算效率方面的優越性,本文在圖3中對比了不同算法在不同精度下的運行時間。其中，SOA-SR方法的停止準則為ξ=10-3。由圖3可知,隨著ξ取值的逐漸減小,算法運行所需的時間逐漸增加。此外,在相同的迭代準則下,本文所提算法所需要的運行時間遠遠小于文獻[19]中的SOA-SR方法。此外,隨著迭代停止準則的逐漸減小,本文所提算法的運行時間也在逐步增大。

圖3 不同算法運算時間對比Fig.3 Run time comparison of different algorithms

圖4給出了不同算法的輸出SCNR隨目標多普勒頻率的變換關系。從圖4中可知,相對于經典的SOA-SR方法,本文提出的交替優化方法在多數多普勒頻段內具有更高的SCNR增益,可以獲得更優的運動目標檢測性能。另外,隨著迭代門限的逐漸減小,雖然計算負擔有所增大,但輸出SCNR呈現逐步增加的趨勢。

圖4 輸出SCNR隨目標多普勒頻率變化Fig.4 Output SCNR varing with target Doppler frequency

圖5分別給出了在不同的SNR和CNR條件下的輸出SCNR值。對比可知,隨著SNR和CNR逐漸變化,兩種方法的SCNR值具有相同的變化趨勢。值得指出的是,在相同的實驗條件下,本文所提方法所得SCNR增益一直高于SOA-SR方法,再次說明了所提算法的優越性。

圖5 不同SNR和CNR條件下輸出SCNR值Fig.5 SCNR value of different SNR and CNR

圖6給出了LFM波形、SOA-SR以及本文所提算法求解得到的最優發射波形和接收濾波器對應的空時二維響應圖。

圖6 不同波形對應的空時二維響應圖Fig.6 Space-time two-dimensional response graphs corresponding to different waveforms

其中,兩種優化算法的初始迭代點使用相同的隨機相位序列,迭代過程均在ξ=10-3時停止進行,其余參數按表1選取。其中,所發射的LFM信號由一組恒模約束下的LFM信號組成,其波形矩陣可以表示為

(25)

式中：l=1,2,…,L,nt=1,2,…,Nt,對應的波形向量可以計算為sLFM=vec(SLFM)。此外,LFM波形使用MVDR接收濾波器。

從圖6中可知,3種空時響應圖都在目標所在位置形成主瓣增益,在雜波干擾所在位置形成深的凹陷。特別地,本文算法的空時響應圖中的零陷比SOA-SR算法產生的零陷以及LFM波形產生的零陷更深,所提算法的優越性進一步得到了證明。

圖7(a)和圖7(b)分別給出了沿著目標所在的空間頻率以及多普勒頻域的空時響應剖面圖。觀察可知,不同算法產生的波形均能在雜波出現的位置形成凹陷,以減少雜波對目標檢測的影響。另外,本文所提算法產生波形對應的雜波零陷相對于其他兩種波形更深,對地物雜波的抑制性能更優。

圖7 空時響應剖面圖Fig.7 Profiles of different space-time responses

4 結 論

為了提升對雜波干擾的抑制性能,同時提高對運動目標的檢測能力,考慮了機載MIMO場景下的發射波形與接收濾波器的聯合優化設計問題。為了快速高效求解聯合優化設計的非凸模型,首先利用MVDR方法求解廣義瑞利熵問題,進而提出了一種基于SCNR近似的優化波形求解方法。實驗結果表明,與經典的SOA-SR方法相比,本文所提方法不僅具有更快的收斂速度,還可以實現更高的SCNR增益。