一種頻率-相位混合編碼的MIMO 雷達波形設計*

廖正龔，任淵，畢井章

（南京艦載雷達研究所，江蘇 南京 210000）

0 引言

多輸入多輸出（multiple input multiple output，MIMO）雷達采用低增益寬波束同時照射進行探測，因此具有較強的抗干擾和多目標探測與跟蹤能力［1-2］。其優(yōu)良特性歸功于它采用波形分集的收發(fā)處理方式。而正交波形是獲得MIMO 雷達分集增益的重要前提。因此，正交波形集的設計和優(yōu)化對MIMO 雷達系統(tǒng)具有重要意義。

相位編碼信號因具有較高對冗余度和圖釘狀的模糊函數(shù)而廣泛運用于MIMO 雷達系統(tǒng)。文獻［3］綜合了模擬退火算法和傳統(tǒng)迭代選擇算法，用于尋找一組適用于正交組網(wǎng)雷達的正交多相碼集；文獻［4］將遺傳算法運用于多相碼的優(yōu)化，設計出適用于MIMO 雷達的正交多相碼集；文獻［5］將蟻群算法改進并運用于MIMO 雷達多相碼集的優(yōu)化，能夠在相對原算法較短的時間內(nèi)獲MIMO 雷達正交四相碼集，但自相關性能略遜于遺傳算法的所得碼集。上述文獻討論的都是常規(guī)單載頻子脈沖相位編碼波形，波形帶寬是子脈沖時寬的倒數(shù)，受實際點路元器件限制，信號帶寬有限，限制了目標距離分辨率。文獻［6］設計了一種適用于MIMO 雷達的正交頻分線性調(diào)頻（OFD-LFM）信號集，但波形單一，適用范圍有限；文獻［7］構建了一種適用于MIMO 雷達的脈內(nèi)線性調(diào)頻、脈間相位編碼（LFM-PC）的混合正交波形，使其具有大時寬帶寬積，但該信號的模糊函數(shù)有較大的“柵瓣”，總體呈“釘床狀”；文獻［8-10］對LFM-PC 信號進行了優(yōu)化，但柵瓣問題依舊存在。

在本文中，首先針對以上波形的不足，提出了一種基于換矩陣時頻分布的頻率-相位混合編碼波形，其構型為脈內(nèi)線性調(diào)頻、脈間相位編碼和置換序列頻率編碼混合調(diào)制（perm-LFM-PC，PLP）波形，相比于單載頻子脈沖相位編碼信號，該波形信號的距離和速度分辨率較高，且該波形的模糊函數(shù)無“柵瓣”現(xiàn)象。然后，通過對PLP 信號集的分析，建立了置換序列調(diào)頻編碼和相位編碼雙變量的非線性優(yōu)化模型。最后，由于上述文獻提到的算法只對單一相位變量序列進行優(yōu)化，為此，提出了一種適用于多種變量條件尋優(yōu)的多種群優(yōu)化遺傳算法來求解該優(yōu)化問題。仿真結果表明，PLP 波形具有上述提到的優(yōu)良性質(zhì)，通過多種群優(yōu)化算法優(yōu)化后具有良好的相關特性，性能優(yōu)于文獻［3-7，11-13］。

1 信號模型的建立與模糊函數(shù)分析

1.1 PLP 信號模型的建立

假設MIMO 雷達發(fā)射信號的編碼長度為M，置換矩陣頻率編碼信號時間和頻率之間的關系可以用M階置換矩陣AM×M=(aij)（aij=0或1，為矩陣第i行j列的元素）來表達，每個頻率編碼只出現(xiàn)一次、持續(xù)的時間都相同 。將置換矩陣AM×M的第m(m∈{1，2，…，M})列非零元素對應的列坐標記為am，則該置換矩陣對應的置換序列可記為{am}；記Δf為單位置換序列調(diào)頻編碼的調(diào)頻大小，fm為經(jīng)置換序列頻率編碼am調(diào)制后頻率，則有fm=am·Δf。在置換序列頻率編碼調(diào)頻子脈沖信號上調(diào)制LFM 信號和相位編碼信號，得到目標波形，波形結構圖如圖1所示。

圖1 PLP 波形結構示意圖Fig.1 PLP waveform structure

設載頻為f0，則置換序列調(diào)頻信號的第m個子脈沖信號的表達式為

式中：tb為子脈沖寬度。記uPerm(t)為調(diào)頻信號子脈沖的復包絡，則有

偽碼調(diào)相信號的復包絡函數(shù)為

即偽碼調(diào)相信號的采樣函數(shù)uPC(t)為

復合調(diào)制信號uPerm-PC(t)為置換序列調(diào)頻子脈沖信號uPerm(t)和偽碼調(diào)相信號uPC(t)在時域上的卷積，即

對于每個子脈沖，都進行線性調(diào)頻，最終得到目標信號

式中：μ=Δf/tb，為LFM 信號的調(diào)頻斜率。

1.2 PLP 信號模糊函數(shù)分析

設χPerm(τ，fd)為uPerm(t)的模糊函數(shù)，則有

式中：χv(τ，fd)為矩形脈沖包絡的模糊函數(shù)，

設χPC(τ，fd)為uPC(t)的模糊函數(shù)，則有

利用模糊函數(shù)的卷積性質(zhì)，可得PLP 信號的模糊函數(shù)為

取相位編碼碼長M=40，子脈沖Δf=0.1 MHz，采樣率160 MHz，子脈沖寬度tb=1 μs，模糊圖像如圖2 所示。相比于文獻［6］的LFM-PC 模糊函數(shù)，仿真圖2 表明，PLP 波形模糊函數(shù)圖沒有柵瓣，總體呈現(xiàn)圖釘型，主瓣高而尖，旁瓣低而平，距離和速度分辨率較高［14-16］。

圖2 PLP 信號模糊函數(shù)圖Fig.2 Fuzzy function of PLP signal

令fd=0，式（12）為距離模糊函數(shù)，也即自相關函數(shù)

根據(jù)卷積和傅里葉變換的性質(zhì)分析式（14）可知，設Bb為子脈沖的帶寬，用Δτ表示PLP 信號的距離分辨率，則有

這表明PLP 波形的距離分辨率與子脈沖時寬無關，僅由子脈沖的調(diào)頻帶寬所決定，這樣在工程上容易實現(xiàn)寬頻帶脈壓波形。

速度（多普勒）模糊函數(shù)為

式中：C為常數(shù)；式（16）化簡過程利用了傅里葉變換的頻域卷積定理，即式（16）第2 行對應的變換域為3個矩形波的乘積；由式（16）可知，PLP 波形的速度分辨率Δfd為

2 PLP 正交波形集優(yōu)化設計

2.1 PLP 波形集模型的建立

假設正交PLP 波形集包含N個信號組成，每個信號包含M個經(jīng)過置換序列頻率編碼和相位編碼調(diào)制的LFM 子脈沖，則信號集S可表示為

式中：∈{1，2，…，M}，且每行的M個元素互不相同，有且只有出現(xiàn)一次。

子集個數(shù)為N、碼長為M、相位數(shù)L的多相碼集P，可以用以下N×M相位矩陣表明為

式中：第n行為信號sn(t)的多相序列，矩陣中的所有元素只能從式（20）中的相集中選取。

PLP 波形集第n個波形sn的自相關函數(shù)為

式中：χPLP(τ，0)在式（14）已給出。下面將推導PLP波形的互模糊函數(shù)和互相關函數(shù)。

設χPerm，p，q(τ，fd) 為矩形子脈沖uPerm，p(t) 和uPerm，q(t)的互模糊函數(shù)p≠q；p，q∈{1，2，…，N}，由互模糊函數(shù)定義得

2 個PLP 波形的相位編碼部分的互模糊函數(shù)可表示為

根據(jù)自模糊函數(shù)和互模糊函數(shù)定義可知，相同波形的自模糊函數(shù)等于互模糊函數(shù)，因此子脈沖LFM 波形的自、互相關函數(shù)相同，即

設sp(t)，sq(t)為PLP 波形集中的2 個波形，它們的互模糊函數(shù)可表示為

令fd=0，即可得sp(t)和sq(t)的互相關函數(shù)為

理想正交信號的非周期相關函數(shù)的自相關旁瓣和互相關函數(shù)為0，MIMO 雷達信號集要求具有良好的相關性能，將自相關函數(shù)峰值旁瓣和互相關峰值的總和作為代價函數(shù)，信號集優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)化為代價函數(shù)最小化問題。代價函數(shù)如下：

式中：A(sn，τ)由式（14），（22）給出；C(sp，sq，τ)由式（23）～（27）給出；ω1，ω2為代價函數(shù)E(S)的加權系數(shù)。

2.2 基于改進多種群遺傳算法的PLP 正交波形集優(yōu)化

觀察自相關函數(shù)式（14），（22）和互相關函數(shù)式（23）～（27）可知，PLP 信號的置換序列頻率編碼和相位編碼共同影響著代價函數(shù)的取值，且二者與代價函數(shù)值均為非線性關系，所以必須對頻率編碼序列集和相位編碼序列集進行聯(lián)合優(yōu)化。本文中的置換序列頻率編碼序列的優(yōu)化是一個排列組合優(yōu)化問題，屬于典型的旅行商問題（traveling salesman problem，TSP）；而多相碼序列的優(yōu)化是一個非線性多變量（nonlinear-multivariable problems，NP）問題。

本文采用多種群優(yōu)化遺傳算法，根據(jù)頻率編碼和相位編碼的優(yōu)化種類，將多個種群分為2 個類別，對不同種類別種群采取不同的初始化、交叉和變異等策略，利用人工選擇和移民操作，即讓同一優(yōu)化類別的各個種群的優(yōu)秀個體進行種群間的轉(zhuǎn)移，使多種群協(xié)同進化。例如，在傳統(tǒng)遺傳算法中主要通過交叉算子來產(chǎn)生新個體，用變異算子來輔助產(chǎn)生新個體。交叉概率Pc的取值（一般取值較大，常取0.7～0.9）和變異概率Pm的取值（取值較小，一般取0.001～0.05）決定了算法的全局搜索和局部搜索能力的均衡，但二者的取值方式有無數(shù)種，對于不同的Pc和Pm，優(yōu)化結果有較大差異。多種群遺傳算法彌補了傳統(tǒng)遺傳算法的這一不足，通過多個設有不同控制參數(shù)的種群協(xié)同進化，同時兼顧了算法的全局搜索和局部搜索。

聯(lián)合優(yōu)化算法步驟如下：

（1）編碼

PLP 波形中置換序列調(diào)頻編碼采用整數(shù)編碼方式，即對于M個調(diào)頻編碼的TSP 問題，染色體分為M段，其中每一段對應調(diào)頻編碼的序號。如5 個編碼的TSP 問題｛1，2，3，4，5｝，則｛2|3|1|5|4｝就是一個合法的染色體。將上述編碼方式記為“編碼1”。

PLP 波形多相碼采用串行編碼，編碼方式如下，記為“編碼2”：

式中：為編碼矩陣P的第n行m列元素。

（2）初始化種群，即在確認染色體編碼方式后，產(chǎn)生對應的初始種群用作初始解。

編碼1 對應的初始化種群記為“初始化1”，可表示為

式中：randpermsn(·)表示第n個波形的置換序列調(diào)頻編碼全排列中的隨機一種。“初始化1”種群個數(shù)設為MP1。

編碼2 對應的初始化種群記為“初始化2”，該類初始種群數(shù)個數(shù)設為MP2。

（3）適應度計算。代入式（28）即可得。

（4）選擇根據(jù)適應度函數(shù)采用輪盤賭選擇策略。

（5）交叉。相位編碼對應個體采取兩點交叉，該方式記為“交叉1”；置換序列調(diào)頻編碼需要采用部分映射雜交，即交叉后若同一個個體中有重復的子碼，不重復的數(shù)字保留，有沖突的數(shù)字利用介于交叉操作中間段的對應關系進行映射消除沖突，以確保交叉后的子代符合置換序列性質(zhì)，個體內(nèi)子碼沒有產(chǎn)生重復，該交叉方法記為“交叉2”。

（6）變異。以某一較小概率改變種群中個體的某些基因，從而為新個體的產(chǎn)生提供機會。需要注意的是，為了保證變異后的置換性質(zhì)，頻率編碼的變異策略為變異策略采取隨機選取2 個點，將其對換位置，該變異方式記為“變異1”，相位優(yōu)化種群對應“變異2”。

（7）移民。同一類種群間是相對獨立的，相互之間通過移民算子聯(lián)系。移民算子將各種群在進化過程中出現(xiàn)的最優(yōu)個體定期地（每隔一定的進化代數(shù)）引入其他的種群中，實現(xiàn)種群之間的信息交換。

（8）人工選擇。找出精華種群。

（9）算法終止。當適應度函數(shù)達到期望值，或遺傳代數(shù)達到閾值，或者精華種群中最優(yōu)個體保持代數(shù)達到設定值，算法終止；否則繼續(xù)執(zhí)行步驟（3）～（8）。

多種群優(yōu)化遺傳算法結構示意圖如圖3 所示。其中，GA1表示采用編碼1、初始化1、交叉1 和變異1的遺傳算法；GA2表示采用編碼2、初始化2、交叉2和變異2 的遺傳算法。

圖3 多種群優(yōu)化遺傳算法結構示意圖Fig.3 Structure of multi-population optimization genetic algorithm

3 仿真校驗

根據(jù)第2 節(jié)所述過程，采用多種群優(yōu)化算法對PLP 波形集進行優(yōu)化，MIMO 雷達波形參數(shù)設置如下：波形個數(shù)N=4，碼長M=40，相位數(shù)L=4，子脈沖寬度tb=1 μs，子帶寬Bb=0.1 MHz；算法參數(shù)設置如下：個體數(shù)目400，各種群數(shù)目MP1=MP2=10，最優(yōu)個體保持代數(shù)為30，采用兩點交叉，每個種群交叉概率取值為區(qū)間［0.7，0.9］中的隨機數(shù)，變異概率為［0.005，0.01］中的隨機數(shù)。

多種群優(yōu)化遺傳算法的進化代數(shù)和代價函數(shù)曲線如圖4 所示；優(yōu)化得到的相位序列見表1，表中數(shù)字乘以π/2 即為相位；頻率編碼序列如表2 所示。所得PLP 優(yōu)化波形集的自相關旁瓣峰值和互相關峰值如表3 所示。所得的波形的平均自相關旁瓣峰值（autocorrelation sidelobe peak，ASP）為 0.119 8（-18.43 dB），最大ASP 為0.109 8（-19.19 dB）；平均互相關峰值（cross-correlation peak，CP）為0.150 4（-16.47 dB），最大CP 為0.131 5（-17.62 dB）。

表1 PLP 優(yōu)化相位序列Table 1 Optimized phase sequence of PLP

表2 PLP 優(yōu)化置換序列調(diào)頻編碼Table 2 FM coding of PLP-optimized permutation sequence

表3 PLP 優(yōu)化波形集的ASP 和CP 值（歸一化）Table 3 ASP and CP Values（normalized amplitude）of PLP-optimized waveform set

圖4 多種群優(yōu)化遺傳算法代價函數(shù)曲線Fig.4 Cost function curve of MSO-GA

將本文結果與同參數(shù)的文獻進行對比，圖5 和圖6 分別為本文與文獻［4，7，11，13］提到的遺傳算法（genetic algorithm，GA）優(yōu)化算法優(yōu)化的各信號的ASP 對比圖和CP 對比圖；圖7 和圖8 分別為本文與其他算法［3，5，12］優(yōu)化的各信號的ASP 和CP 對比圖。表4 為對比結果。

表4 本文方法與其他文獻平均 ASP，CP 值比較Table 4 Comparison of average ASP and CP values between proposed method and other literature

圖5 MSO-GA 與其他GA 優(yōu)化的ASP 對比圖Fig.5 ASP comparison of MSO-GA and other GAs

圖6 MSO-GA 與其他文獻GA 優(yōu)化的CP 對比圖Fig.6 CP comparison of MSO-GA and other GAs

圖7 MSO-GA 與其他算法優(yōu)化的ASP 對比圖Fig.7 ASP comparison between MSO-GA and other algorithms

圖8 MSO-GA 與其他算法優(yōu)化后的CP 對比圖Fig.8 CP Comparison between MSO-GA and other algorithms

由圖4 可知，本文的多種群優(yōu)化遺傳算法通過移民算子和人工選擇操作保證了多種群間的優(yōu)秀個體快速形成精英種群，不但可以同時對多個不同的目標進行優(yōu)化，且進化和收斂速度較快。觀察圖5～8 和表4 可知，相比于文獻［4，7，11，13］提到的GA優(yōu)化算法，本文的算法平均自相關旁瓣分別優(yōu)于它們0.038，0.024，0.019，0.028（轉(zhuǎn)換為dB 值再求差為1.83 dB，0.93 dB，0.63 dB，1.27 dB）；平均互相關旁瓣分別優(yōu)于它們0.059，0.027，0.069，0.056（2.87 dB，1.47 dB，3.27 dB，2.42 dB）。相比于模擬退火，蟻群算法等其他優(yōu)化算法［3，5，12］，多種群優(yōu)化遺傳算法的自相關旁瓣分別優(yōu)于它們0.043，0.020，0.056（2.13 dB，1.83 dB，2.84 dB）；互相關峰值分別優(yōu)于它們0.049，0.057，0.006 3（2.47 dB，2.79 dB，3.04 dB）。

分別對PLP 信號、單載頻相位編碼信號、LFMPC 信號進行匹配濾波，匹配濾波輸出如圖9 所示。觀察可知，在子脈沖寬度tb=1 μs，子帶寬Bb=0.2 MHz 的同參條件下，PLP 信號匹配濾波的3 dB脈寬約為0.1 μs，遠小于相位編碼信號和LFM-PC信號的0.6 μs，距離分辨率優(yōu)于它們。圖10 中a），b）分別為同參條件下改變子脈沖tb和子脈寬Bb各信號輸出的匹配濾波的有效脈寬。圖10a），b）反映出單載頻子脈沖和LFM-PC 混合調(diào)制信號受信號子脈寬的影響，受實際點路元器件限制，信號帶寬有限，限制了目標距離分辨率；相比之下，PLP 波形不僅在這些參數(shù)下距離分辨率均優(yōu)于單載頻相位編碼信號和LFM-PC 信號，其距離分辨率與子脈寬無關，僅由子脈沖的調(diào)頻帶寬所決定，這樣在工程上容易實現(xiàn)寬頻帶脈壓波形。

圖9 各個信號的匹配濾波輸出脈寬對比圖Fig.9 Comparison of matched filter output of PLP，phase coding and LFM-PC signal

圖10 各信號的匹配濾波輸出與子脈寬、子帶寬的關系圖Fig.10 Relationship between the matched filtering output of each signal and the pulse width and bandwidth

4 結束語

本文提出的基于置換矩陣時頻分布的頻相復合調(diào)制MIMO 雷達波形具有大時寬帶寬特點，其模糊函數(shù)沒有柵瓣且為圖釘型；在同參條件下，距離分辨率優(yōu)于單載頻相位編碼信號和LFM-PC 混合調(diào)制信號，且其距離分辨率僅由子脈沖的調(diào)頻帶寬所決定與子脈寬無關，在工程上容易實現(xiàn)寬頻帶脈壓波形。通過對PLP 信號的分析，得出該信號優(yōu)化模型，最后利用多種群優(yōu)化遺傳算法對該波形集的頻率編碼和相位編碼進行聯(lián)合優(yōu)化。仿真結果驗證了PLP 信號的優(yōu)良特性，表明了多種群優(yōu)化遺傳算法能夠有效對頻率編碼集和相位編碼集進行優(yōu)化，使得PLP 波形集獲得良好的相關特性。