一例多用 創(chuàng)建高效課堂
——以古典概型為例

王小芳

(哈爾濱師范大學(xué)，黑龍江 哈爾濱 150025)

一例多用源自變式教學(xué)，是變式教學(xué)一種形式.變式教學(xué)基于不同的教學(xué)角度，運(yùn)用多樣化的教學(xué)方法，向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識與技能的呈現(xiàn)形式和教學(xué)內(nèi)容的變化，并且引導(dǎo)學(xué)生在諸多的變化之中探究數(shù)學(xué)知識與技能“不變”的本質(zhì)，使學(xué)生可以在“變”與“不變”之中從不同的角度和層次對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行描述性概括，從中歸納數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律、方法以及事物的一般屬性[1].變式教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教育的創(chuàng)新，化解了重復(fù)操作的弊端，是助推數(shù)學(xué)教學(xué)突破“新高考”改革困境、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“減質(zhì)增效”、提高數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性的有效舉措之一.一例多用也能從不同角度對同一例子進(jìn)行思考，從而得出不同的數(shù)學(xué)知識，如果對例子進(jìn)行變式——改變題目的某些條件，同樣也能得到新知識[2].而這些例子大多是學(xué)生在前面的章節(jié)中所接觸過的例子，很大程度上消除了學(xué)生對于新知識的不熟悉感，極大地提高了課堂效率.例如在古典概型章節(jié)中，通過投擲骰子、硬幣等活動，對活動中隨機(jī)事件的度量引出概率的定義、對試驗(yàn)共同點(diǎn)的歸納得到古典概型的定義、對試驗(yàn)中某些事件概率的計算過程探究得到古典概型的計算公式.下面以“古典概型”為例進(jìn)行說明.

1 教學(xué)目標(biāo)

通過設(shè)計拋擲硬幣的模擬實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察拋擲硬幣的實(shí)驗(yàn)過程，從中推測硬幣哪面朝上和出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的可能結(jié)果，將問題具體化，自然有序地導(dǎo)入教學(xué).同時，學(xué)生從觀察拋擲硬幣的隨機(jī)現(xiàn)象之中，通過猜想基本事件的等可能性，歸納概括古典概型的共同特點(diǎn)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維和數(shù)學(xué)抽象思維.此外，學(xué)生對基本事件進(jìn)行猜想的過程，也是判斷和識別古典概型的過程，在此過程中學(xué)生的邏輯推理能力會得到相應(yīng)的提升.

通過習(xí)題和變式訓(xùn)練，在解決問題的過程中引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為古典概型問題，提高學(xué)生問題解決的應(yīng)變能力以及知識應(yīng)用的實(shí)踐能力，提升學(xué)生思維的深度，有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力[3].

2 教學(xué)過程

2.1 舊例新用，溫故知新

師：在以前的學(xué)習(xí)中，我們討論過體育彩票搖獎試驗(yàn)、拋硬幣試驗(yàn)、擲骰子試驗(yàn)，里面出現(xiàn)過哪些隨機(jī)現(xiàn)象呢？

預(yù)設(shè)學(xué)生搖出的球?yàn)?號、2號……10號；硬幣正面朝上、反面朝上；擲出的骰子點(diǎn)數(shù)為1，2……6.

師：探索和解釋隨機(jī)事件的關(guān)鍵是其發(fā)生的可能性，在數(shù)學(xué)中通常用“概率”度量隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性，事件A的概率用P(A)表示.

設(shè)計意圖通過前面學(xué)習(xí)過的實(shí)例進(jìn)行引入，旨在一例多用，從不同角度，從已經(jīng)學(xué)習(xí)過的實(shí)例中體悟新知識[4].從對隨機(jī)事件可能性度量的角度引出概率的定義，讓學(xué)生從整體架構(gòu)上把握新舊知識的聯(lián)系，為后面探索古典概率的數(shù)學(xué)模型做準(zhǔn)備.

2.2 舊例巧用，建構(gòu)知識

師：通過對大量隨機(jī)事件的試驗(yàn)和觀察，可以估計某一隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，那么是否可以借助數(shù)學(xué)模型，通過分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想解決概率問題呢？

問題1觀察下面3個試驗(yàn)，它們有什么共同特征？

1)一副撲克牌(除大小王外)共有4種花色，每種花色有13張牌，現(xiàn)選擇“方塊”花色，將13張方塊花色的紙牌隨機(jī)打亂后，隨意抽取出一張紙牌；

2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣；

3)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.

預(yù)設(shè)學(xué)生從質(zhì)地均勻可知每一個事件發(fā)生的可能性是相等的.

追問1分別寫出試驗(yàn)的樣本空間及樣本點(diǎn).

預(yù)設(shè)學(xué)生試驗(yàn)1)中樣本點(diǎn)有13個，可能抽取出的紙牌為方塊A、方塊2、方塊3……方塊K，試驗(yàn)1)的樣本空間Ω1={A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K}；試驗(yàn)2)中樣本點(diǎn)有2個，即硬幣正面朝上或者反面朝上，“正面朝上”用m表示，“反面朝上”用n表示，則試驗(yàn)2)的樣本空間Ω2={m,n}；試驗(yàn)3)中樣本點(diǎn)有6個，即擲出的點(diǎn)數(shù)可能為1,2,3,4,5,6，因此試驗(yàn)3)的樣本空間Ω3={1,2,3,4,5,6}.

追問2觀察你的結(jié)果，它們有什么共同特征？

預(yù)設(shè)學(xué)生樣本空間為有限樣本空間.

設(shè)計意圖利用對舊例的共同特征(等可能性和有限性)的觀察和發(fā)現(xiàn)，提煉出這一類試驗(yàn)所具有的共同特征，培養(yǎng)學(xué)生抽象歸納的能力.通過對這3個試驗(yàn)中的樣本點(diǎn)和樣本空間的書寫，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“三會”能力.

辨析以下兩個試驗(yàn)是否是古典概型：

圖1

1)改變抽獎游戲規(guī)則，如圖1所示，轉(zhuǎn)動抽獎轉(zhuǎn)盤，隨機(jī)抽取一個數(shù)字選擇對應(yīng)的獎品.這是古典概型嗎？

2)在打靶子游戲中，小明向空白靶內(nèi)隨機(jī)拋投帶有顏料的紙團(tuán)，假設(shè)紙團(tuán)落在靶內(nèi)的任意一處的機(jī)會是均等的.這是古典概型嗎？

預(yù)設(shè)學(xué)生1)不是，不滿足等可能性;2)不是，不滿足有限性.

師：你能歸納判斷一個試驗(yàn)是否是古典概型的方法嗎？

預(yù)設(shè)學(xué)生必須同時滿足有限性和等可能性的特征.

設(shè)計意圖概念辨析，旨在讓學(xué)生明確概念的本質(zhì)，在頭腦中形成有關(guān)古典概型清晰的概念，通過辨析題，學(xué)生自己歸納出判斷古典概型的方法，發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，掌握判斷古典概型的方法.

2.3 舊例變式，概念應(yīng)用

問題2根據(jù)以下兩個隨機(jī)事件，思考如何衡量事件1與事件2發(fā)生結(jié)果的可能性？

1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件1=“點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)”.

2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件2=“恰好一次正面朝上”.

追問1類比問題1，寫出這兩個試驗(yàn)的樣本空間和樣本點(diǎn)，以及事件1和事件2所包含的樣本點(diǎn).

預(yù)設(shè)學(xué)生問題1)中樣本點(diǎn)為1,2，3,4,5,6，樣本空間Ω1={1,2,3,4,5,6}；事件1=“點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)”所包含樣本點(diǎn)為2,4,6；問題2)中用正表示硬幣“正面朝上”，用反表示硬幣“反面朝上”，樣本點(diǎn)為(正正正)、(正正反)、(正反正)、(正反反)、(反正正)、(反正反)、(反反正)、(反反反)，樣本空間Ω2={正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反正}.

追問2計算事件1和事件2發(fā)生的可能性.

設(shè)計意圖通過具體的例子，使得學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，初步感知古典概型概率的計算方法，并在此基礎(chǔ)上為后面的把特殊問題一般化推導(dǎo)出古典概型概率計算公式打下基礎(chǔ).

2.4 舊例再用，知識鞏固

例1拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.

1)寫出此試驗(yàn)的樣本空間，并判斷其是否為古典概型.

2)求下列事件的概率：A=兩個點(diǎn)數(shù)之和是5；B=兩個點(diǎn)數(shù)相等；C=Ⅰ號骰子點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號骰子點(diǎn)數(shù).

教師講解示范：1)可使用表格法(略)或樹狀圖法(如圖2)列舉樣本空間：

圖2

因此樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}，其中共有36個樣本點(diǎn).

2)A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},有4個樣本點(diǎn),故

B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，有6個樣本點(diǎn)，故

C={(m,n)|m>n,其中m,n∈{1,2,3,4,5,6}},有15個樣本點(diǎn),故

變式1同樣質(zhì)地均勻的兩枚骰子但是不編號，回答下列問題：

1)寫出這個試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個實(shí)驗(yàn)是否為古典概型；

2)求事件A的概率，其中A=“兩個點(diǎn)數(shù)之和是5”.

想一想為什么相同的事件標(biāo)記號和沒有標(biāo)記號會產(chǎn)生不同的結(jié)果？

設(shè)計意圖讓學(xué)生應(yīng)用古典概型公式解決生活中的實(shí)際問題，學(xué)會計算古典概型的概率；通過變式教學(xué)，讓學(xué)生區(qū)分古典概型和其他試驗(yàn)的區(qū)別，進(jìn)一步明確古典概型的特征——等可能性，即若試驗(yàn)結(jié)果的可能性不相等，則不是古典概型，進(jìn)而不能用古典概型的公式求解問題.

例2在數(shù)學(xué)模擬競賽中，有8道備選題，其中包括5道甲類題和3道乙類題，小張同學(xué)從8道題中任意抽選2道題進(jìn)行解答.

1)小張同學(xué)所抽取的2道題都是甲類題的概率；

2)小張同學(xué)所抽取的2道題不是同一類題的概率.

設(shè)計意圖學(xué)生通過猜想小張同學(xué)抽取甲、乙兩類題的概率，列舉試驗(yàn)的樣本空間，體會在平時考試中的古典概型，熟悉用數(shù)學(xué)語言表達(dá)解題過程，并且感知概率越小猜對答案越難.

問題3你能通過以上例題歸納概括求解古典概型問題的一般思路嗎？

師生活動學(xué)生在教師的引導(dǎo)下歸納求解古典概型的思路，如圖3所示：

圖3

設(shè)計意圖通過思維導(dǎo)圖的形式，幫助學(xué)生高效理解求解古典概型概率問題的一般方法.

2.5 課堂小結(jié)，凝練升華

1)知識：古典概型及其概率計算公式.

2)研究思路(如圖4所示)：

圖4

3)方法：列舉法、樹狀圖.

3 教學(xué)反思

3.1 關(guān)注學(xué)生，充分考慮已有經(jīng)驗(yàn)

本節(jié)課立足于學(xué)生的前理解能力，采用溫故知新的教學(xué)策略，從舊例出發(fā)，不同方向、不同角度進(jìn)行變式、探索.在溫習(xí)舊知、探究新知的過程中，促進(jìn)學(xué)生理解和掌握新知，實(shí)現(xiàn)新知與舊知的有效銜接.

3.2 深挖教材，充分利用舊例

教材中的每個素材、每道例題都有深刻的含義，本節(jié)課就是從教材中的例子出發(fā)，從不同角度發(fā)散出新知識.從隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量得出概率的定義，通過概括隨機(jī)現(xiàn)象的共同特征，得出古典概型的定義，通過對隨機(jī)事件可能發(fā)生的結(jié)果的計算得到古典概型概率的計算公式.

3.3 巧用變式，化繁為簡

變式教學(xué)有著豐富的內(nèi)涵，本節(jié)課中多次利用同一組例子(抽獎、拋硬幣、擲骰子)，避免了重復(fù)操作的弊端，提高了課堂效率.