不同指令軌跡條件下滾珠絲杠進給系統(tǒng)運動精度特性研究＊

雷美榮 蘇 芳 王舒瑋 王晨升

（山西大同大學機電工程學院，山西 大同 037003）

滾珠絲杠進給系統(tǒng)因其高剛度、高精度、運動平穩(wěn)和傳動效率高等優(yōu)點，廣泛應用于高檔數(shù)控機床[1]。滾珠絲杠進給系統(tǒng)運動精度是影響多軸聯(lián)動加工機床加工精度的根本原因，開展其運動精度影響因素研究具有重要的實踐意義。

滾珠絲杠進給系統(tǒng)由伺服驅動系統(tǒng)和機械傳動系統(tǒng)組成，具有明顯的機電耦合特征，其運動精度是機電耦合復雜因素下共同作用的結果[2]。影響滾珠絲杠進給系統(tǒng)運動精度的參數(shù)可以根據(jù)來源分為三類：伺服控制參數(shù)、機械結構參數(shù)和指令軌跡參數(shù)。當前，滾珠絲杠進給系統(tǒng)伺服控制系統(tǒng)大多采用PID控制，機械系統(tǒng)由聯(lián)軸器連接電機輸出軸和絲杠，經(jīng)絲杠螺母副將轉動轉換為線性移動，實現(xiàn)工作臺在絲杠行程內(nèi)的往復運動。其伺服控制參數(shù)主要包括位置環(huán)增益、速度環(huán)增益等等；機械結構參數(shù)包括運動副剛度、絲杠參數(shù)、螺母位置和負載等等；指令軌跡參數(shù)主要包括速度、加速度和加加速度。當前，國內(nèi)外學者已經(jīng)針對滾珠絲杠進給系統(tǒng)控制方法、系統(tǒng)建模、時變特性分析、誤差建模與補償?shù)确矫骈_展了廣泛深入的研究。Luigi B等[3]針對滾珠絲杠進給系統(tǒng)，開展了零相位誤差跟蹤控制器對B樣條軌跡的精確跟蹤。結果顯示，在控制器作用下，滾珠絲杠進給系統(tǒng)對B樣條軌跡有很好的跟蹤性能。李劍等[4]、劉碧茜等[5]和韓碩等[6]均先后分別針對滾珠絲杠進給系統(tǒng)開展了不同控制方法研究。蘇芳等[7-8]針對單軸、雙軸滾珠絲杠進給系統(tǒng)開展了伺服控制參數(shù)、結構參數(shù)對跟蹤誤差影響規(guī)律研究，結果顯示，絲杠直徑、導程、負載和運動副剛度是影響滾珠絲桿進給系統(tǒng)運動精度的重要因素。智淑亞等[9]和蔡釗勇等[10]就滾珠絲杠進給系統(tǒng)摩擦特性開展了研究，基于不同的摩擦模型，利用系統(tǒng)辨識方法獲得了摩擦參數(shù)。陳勇將等[11]和蘇芳等[12]開展了滾珠絲杠進給系統(tǒng)動態(tài)時變特性研究，結果顯示，滾珠絲杠進給系統(tǒng)隨著螺母位置、結合部剛度和工作臺質(zhì)量等時變參數(shù)變化而變化。Meng Y等[13]針對跟蹤誤差控制算法做了綜述研究。趙萬華等[14]給出了滾珠絲杠進給系統(tǒng)誤差來源、類別及評價方法，對于廣泛開展?jié)L珠絲杠進給系統(tǒng)跟蹤誤差研究具有指導意義。由以上文獻可見，對于滾珠絲杠進給系統(tǒng)運動精度的研究大多基于伺服控制機械結構展開，而缺乏針對指令軌跡參數(shù)的單因素研究。

本文針對指令軌跡參數(shù)，采用確定伺服控制系統(tǒng)參數(shù)和機械結構參數(shù)的滾珠絲杠進給系統(tǒng)，開展運動精度影響規(guī)律研究。首先，基于Simulink構建了伺服控制系統(tǒng)仿真模型；然后，利用SolidWorks建立了滾珠絲杠進給系統(tǒng)的機械物理模型，并將該模型以Step格式導入到Simsacpe中；最后，在Simulink中聯(lián)合滾珠絲杠進給系統(tǒng)伺服控制模型和機械半物理仿真模型，構建系統(tǒng)半物理仿真系統(tǒng)，并基于該模型開展不同指令軌跡條件下，滾珠絲杠進給系統(tǒng)運動精度仿真分析研究。

1 機械系統(tǒng)半物理仿真模型

指令軌跡作為滾珠絲杠進給系統(tǒng)輸入，既是驅動，也是激勵，其參數(shù)特征，對滾珠絲杠進給系統(tǒng)運動精度有重要影響。為開展?jié)L珠絲杠進給系統(tǒng)在不同指令軌跡條件下運動精度仿真分析研究，利用SolidWorks建立了結構如圖1所示的3D滾珠絲杠進給系統(tǒng)模型。主要結構件有電機、聯(lián)軸器、絲杠、螺母、工作臺和、導軌及滑塊。

圖1 幾何模型

將圖1所示模型在SolidWorks中另存為Step格式，導入到Simscape中，構建機械系統(tǒng)半物理仿真模型。同時，為模擬運動副柔性，將聯(lián)軸器、軸承、絲杠螺母和導軌滑塊等連接等效為彈簧阻尼單元，如圖2所示。并通過查閱產(chǎn)品手冊獲得具體剛度參數(shù)，如表1所示。因本文主要針對指令軌跡開展仿真研究，故視機械系統(tǒng)參數(shù)為定值。最終的機械系統(tǒng)半物理仿真模型如圖2所示。

表1 運動副剛度

圖2 機械傳動系統(tǒng)半物理機電耦合仿真模型

滾珠絲杠進給系統(tǒng)的尺寸參數(shù)和材料參數(shù)如表2所示。

表2 結構件參數(shù)

2 伺服控制系統(tǒng)模型

基于Simulink搭建包含驅動器、控制器的滾珠絲杠進給系統(tǒng)伺服控制系統(tǒng)仿真模型。滾珠絲杠進給系統(tǒng)采用永磁同步電機驅動，采用三環(huán)PID閉環(huán)矢量控制方式。

2.1 電機模型

采用矢量控制方法，通常設定id=0，則永磁同步電機定子電壓和磁鏈方程在dq坐標系中可表示為

式中：ud和uq表示d軸和q軸的定子電壓； ψd和 ψq表示d軸和q軸的定子磁鏈；Rs表示電樞繞組電阻；id和iq表示d軸和q軸的電樞電流；Lq表示電樞電感；ψf表示磁鏈； ω表示電機角速度。

則有

其中：p表示電機極對數(shù)， ωr表示電機轉子角速度。

由式（1）可推導出

永磁同步電機在旋轉dq坐標系中電磁轉矩方程可表示為

永磁同步電機轉子動力學方程可表示為

式中：Te表示電磁轉矩；Tm表 示負載扭矩；b表示阻尼系數(shù)；J表示轉動慣量。

則由式（3）～式（5）可推導出

2.2 控制系統(tǒng)模型

控制系統(tǒng)采用三環(huán)控制，其中電流環(huán)和速度環(huán)控制采用PI控制，位置環(huán)控制器采用P控制，傳遞函數(shù)可表示為

式中：Kp、Kv、Ki分別表示位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)的比例增益；G1表示位置環(huán)，G2表示速度環(huán)，G3表示電流環(huán)；Tv、Ti表示速度環(huán)和積分環(huán)的積分常數(shù)。

根據(jù)以上推導，在Simulink中搭建伺服控制系統(tǒng)仿真模型，并在Simlulink中和機械結構的Simscape模型子系統(tǒng)組成滾珠絲杠進給系統(tǒng)半物理機電耦合仿真模型，結構如圖3 所示。圖3中Simscape方框即圖2中的機械系統(tǒng)半物理仿真模型。圖3中Kt表示電機力矩常數(shù)，Ke表示電機反電動勢常數(shù)，Lm表示電機等效電感，Rm表示電機等效電阻。

圖3 伺服控制系統(tǒng)仿真模型

3 指令軌跡及仿真分析

指令軌跡的參數(shù)特性主要包括位移、速度、加速度和加加速度。在滾珠絲杠進給系統(tǒng)工作過程中，無法確保每一個特性參數(shù)都連續(xù)變化，特別是多軸聯(lián)動加工機床，刀尖點的軌跡根據(jù)運動學關系分解到進給系統(tǒng)，再經(jīng)數(shù)控系統(tǒng)插補后行程實際輸入指令，面對復雜形狀的軌跡，指令軌跡參數(shù)更為復雜和多變。

3.1 指令軌跡

充分考慮指令軌跡參數(shù)變化情況，設計了包含位移突變、勻速、勻加速和變加速運動軌跡，如圖4所示。其中，軌跡1為勻速運動軌跡，初速度不為零，加速度、加加速度均為零；軌跡2為階躍位移軌跡，位移在t=1.5 s時發(fā)生跳躍，速度、加速度和加加速度都存在突變；軌跡3為勻加速、勻減速軌跡，在t=2 s位置時，加速度和加加速度有突變；軌跡4為5段S型軌跡，加加速度存在突變；軌跡5為變加速運動，速度、加速度和加加速度都為正弦，均連續(xù)、無突變。

3.2 仿真分析

基于圖3所示滾珠絲杠進給系統(tǒng)半物理機電耦合仿真模型，以圖4為指令軌跡，分別考察系統(tǒng)運動精度。分別以工作臺反饋位置信息和輸入位置信息做差得到系統(tǒng)跟蹤誤差，如圖3所示以perr表示。

圖4 指令軌跡

滾珠絲杠進給系統(tǒng)在設定的運動軌跡條件下，其跟蹤誤差如圖5所示。由圖5a可見，對于勻速運動軌跡，由于初速度設置不為零，導致滾珠絲杠系統(tǒng)跟蹤誤差在開始階段存在很大波動，待系統(tǒng)速度穩(wěn)定之后，跟蹤誤差基本穩(wěn)定，維持在0.4 mm左右，存在的波動誤差是由于系統(tǒng)振動造成，波動誤差穩(wěn)定在35 μm范圍內(nèi)。由圖5b可見，對于階躍軌跡，在位置突變處，存在很大 的跟蹤誤差，該跟蹤誤差跟位置突變值正相關，而且會產(chǎn)生很大系統(tǒng)震蕩，該現(xiàn)象對于加工十分不利。由圖5c可見，對于位移連續(xù)、速度連續(xù)的軌跡，其跟蹤誤差也是連續(xù)變化，無強烈震蕩，其跟蹤誤差穩(wěn)態(tài)部分與軌跡速度正相關，軌跡3的最大跟蹤誤差達到0.85 mm，軌跡4的最大跟蹤誤差達到0.51 mm，軌跡5的最大跟蹤誤差達到0.84 mm。三種軌跡跟蹤誤差不同的主要各軌跡的速度和加速度參數(shù)不同，軌跡3的最大跟蹤誤差出現(xiàn)在速度最大處。同時，軌跡3、軌跡4和軌跡5的跟蹤誤差穩(wěn)態(tài)成分隨速度變化而變化。另外，由圖5a可見，3種軌跡跟蹤誤差的波動部分基本位置在30 μm，由圖5c軌跡5的跟蹤誤差可見，在位移軌跡小曲率位置處存在明顯增大現(xiàn)象，可見與加速度關系更為密切。

圖5 跟蹤誤差

綜上所述，可見跟蹤誤差與指令軌跡參數(shù)存在密切關系，即使在系統(tǒng)為確定模型情況下，隨著輸入指令軌跡參數(shù)的變化，系統(tǒng)跟蹤誤差仍會發(fā)生變化。由分析結果可見，跟蹤誤差穩(wěn)態(tài)部分主要受位置參數(shù)和速度參數(shù)影響，而跟蹤誤差波動部分主要受指令軌跡加速度參數(shù)影響。因此，在軌跡規(guī)劃的過程中，應該根據(jù)工藝要求，限制指令軌跡位置突變、最大速度和加速度等信息，以提高滾珠絲杠進給系統(tǒng)運動精度，進而提高多軸聯(lián)動機床加工精度。

4 結語

以滾珠絲杠進給系統(tǒng)為研究對象，基于Simulink和Simscape搭建了滾珠絲杠進給系統(tǒng)半物理機電耦合仿真模型，開展了不同指令軌跡條件下，滾珠絲杠進給系統(tǒng)跟蹤誤差特性研究。結果顯示，滾珠絲杠進給系統(tǒng)跟蹤誤差與指令軌跡位置、速度和加速度參數(shù)緊密相關。其中，跟蹤誤差穩(wěn)態(tài)部分主要受位置參數(shù)和速度參數(shù)影響，特別是位置的突變和速度突變，不僅會導致跟蹤誤差的增大，而且會導致嚴重的系統(tǒng)震蕩，對加工極為不利；而跟蹤誤差波動部分主要受指令軌跡加速度參數(shù)影響，在實際加工過程中可通過改變加速度方式限制滾珠絲杠進給系統(tǒng)跟蹤誤差中的波動誤差。