電機模型中牽連運動及其動生電動勢的數理表達*

鐘再敏， 王業勤

(同濟大學 汽車學院，上海 201804)

0 引 言

法拉第電磁感應定律是電機學的基本物理定律之一。基本表述是，當穿過閉合回路所圍面積的磁通量發生變化時，不論這種變化是什么原因引起的，回路中均會產生感應電動勢，感應電動勢的大小與通過該回路的磁通量隨時間的變化率成正比；感應電動勢的方向可以通過楞次定律確定[1-2]。法拉第電磁感應定律是建立交流電機定、轉子繞組電壓方程的基本依據。特別地，電機的分析過程中還會通過引入不同的運動坐標系來簡化電壓方程及方便控制算法實現。

以永磁同步電機(PMSM)定子電壓方程推導為例，運動坐標系下定子電壓方程的推導一般分兩步[3]。

(1) 在“定子固結坐標系”中運用法拉第電磁感應定律建立電壓平衡式：

(1)

式中：us為定子電壓矢量；Rs為定子繞組電阻；is為定子電流矢量；ψs為定子磁鏈矢量。

ψs包含永磁互感磁鏈ψf和定子自感磁鏈Lsis，即：

ψs=Lsis+ψf

(2)

式中：Ls為定子繞組自感。

在本文中，省略以定子固結(靜止)坐標系為參考系的矢量上角標。以其他(非靜止)坐標系為參考系的矢量，采用上角標明確標明其參考系。

定子磁鏈是一個旋轉的空間矢量，其極坐標形式為

ψs=ψsejθs=ψsejρ0ejθr

(3)

式中：θs為定子磁鏈在定子固結坐標系中的相位角，θs=θr+ρ0,θr為轉子相位角；ρ0為定子磁鏈相對轉子軸線的相位角。

根據求導法則，磁鏈的微分推導如下：

(4)

式中：ωr為轉子角速度，ωr=dθr/dt。

式(4)對應的空間矢量圖如圖1所示。

基于此，在定子坐標系下列出定子電壓方程:

(5)

如果以“轉子固結坐標系”為參考系，式(4)中第一項對應轉子運動參考系下定子磁鏈的相對運動；第二項對應參考系引起的牽連運動，二者合成為磁鏈的絕對運動。電壓方程式(5)表明，定子供電電壓分別消耗在電阻壓降、轉子旋轉引起的動生電動勢(牽連運動)和牽引定子磁鏈在轉子坐標系內的變化(相對運動)。

(2) 顯然，在定子坐標系下，上述各空間矢量均是空間上不斷旋轉的交變量。因此，引入轉子(磁場)同步運動dq坐標系，即對電壓方程進行頻率變換。

其推導過程如下，考慮矢量變換關系：

(6)

式中：上角標“dq”為以轉子同步dq坐標系作為參考系。

式(6)代入式(5)則有：

(7)

化簡式(7)得dq坐標系下的空間矢量方程：

(8)

上述基于“矢量變換”的電壓方程兩步推導過程嚴謹，很多電機學教材均是基于這個邏輯建立運動參考系下的空間矢量方程。類似地，式(8)也可以通過“坐標變換”推導。但是上述推導過程較強依賴數學運算，物理意義不明確，不便于理解和記憶。

1 “法拉第參考系”與“非法拉第參考系”的概念

牛頓力學中區分“慣性參考系”和“非慣性參考系”。通常把適用牛頓運動定律的參考系叫做慣性參考系，簡稱慣性系；非慣性參考系是相對慣性參考系做加速運動的參考系，簡稱非慣性系[4-5]。一般地，在忽略地球自轉和公轉角速度的情況下(這兩者均很小)，慣性系可以簡單選成是相對地面靜止的或者做勻速直線運動的參考系，而非慣性系則是相對地面做加速或者減速運動的參考系。

以質點直線運動為例，為分析方便，非慣性系中須引入附加“慣性力”：

fa=-ma

(9)

式中：a為非慣性系相對慣性系的加速度；m為質點的質量。

引入慣性力后，形式上，在非慣性參考系中也可以完全按照牛頓定律進行物體的力學分析了。

參照牛頓力學的慣性參考系概念，本文對電機分析里面的坐標系加以區分：(數學上)符合法拉第電磁感應定律的坐標系稱為法拉第參考系，簡稱“法拉第系”；否則稱為非法拉第參考系，簡稱“非法拉第系”。一般地，與線圈固結的坐標系為法拉第系，否則為非法拉第系。注意，對于電機中存在相對運動的不同繞組而言，其法拉第參考系的定義是不同的。

與非慣性系中引入慣性力的分析方法類似，在非法拉第參考系中，須補充由參考系牽連運動引起的動生電動勢，然后才能按照法拉第電磁感應定律分析，在此稱之為“牽連運動電動勢”，簡稱“牽連電動勢”。對于任意DQ旋轉參考系，牽連電動勢的表達式為

2.2.3措施組成主要包括溝頭跌水、溝底植物水道、溝坡植物防護和溝岸防護林等多種措施。在實施過程中，應優先布設植物措施，不能直接布設但通過工程修整后可用植物措施的也優先選用；因地制宜選取適宜的植物種類及苗木；對于植物措施難以有效防控的溝段，輔以工程措施。

em=-jωDψD

(10)

式中：ωD為非法拉第系相對“線圈固結坐標系”的旋轉角速度；ψD為磁鏈在對應非法拉第系下的矢量表示；上角標“D”為該物理量以任意DQ運動參考系作為參考系。

列寫電壓方程時，牽連電動勢正方向定義與線圈供電電壓一致，寫在等式的左邊。

牽連電動勢的推導與前面分析過程基本類似。考慮DQ運動參考系，其旋轉角速度為ωD。記定子磁鏈為

(11)

參照式(6)～式(8)的矢量變換過程，可以得到DQ坐標系下的電壓方程為

(12)

移項后可得:

(13)

圖2 任意旋轉DQ參考系引入的牽連電動勢

引入牽連電動勢之后，形式上就可以直接在非法拉第系下建立電壓方程，而無須由法拉第系經矢量或坐標變換得到。其基本步驟是在電壓方程建立之前，先判斷所分析的參考系是否屬于法拉第系。若參考系為法拉第系，直接列寫電壓方程；若為非法拉第系，則須先在方程左邊補充牽連電動勢項，之后再列寫電壓方程。

2 基于附加牽連電動勢的交流電機電壓方程推導

2.1 PMSM電壓方程

仍以PMSM定子電壓方程推導為例。考慮到磁場同步dq坐標系為非法拉第系，若想直接在轉子同步坐標系下列寫電壓方程，須補充牽連電動勢項，其幾何表示如圖3所示。

圖3 PMSM dq坐標系下的牽連電動勢

考慮了牽連電動勢之后，在運動坐標系(非法拉第系)下可以直接列寫定子電壓平衡方程為

(14)

em表達式為

(15)

式(15)代入式(14)得到:

(16)

顯然式(16)與式(8)相同。最終得到的電壓方程對應的空間矢量幾何描述如圖4所示。

圖4 PMSM dq參考系下的電壓矢量平衡

圖4電壓矢量圖清楚地表明了，在非法拉第系下，定子電壓矢量對電流和磁鏈的調節要首先扣除參考系牽連運動引起的牽連電動勢。

2.2 感應電機電壓方程

與同步電機相比，感應電機分析相關的運動參考系要復雜很多。常見的參考系包括定子固結坐標系、轉子固結坐標系、磁場同步坐標系等，詳見圖5。

圖5 感應電機不同參考系及其旋轉速度[2]

對于定子繞組而言，定子固結ABC坐標系與繞組固結，屬于法拉第參考系，可直接列寫靜止坐標系下定子電壓矢量方程：

(17)

對于轉子繞組而言，轉子固結abc坐標系屬于法拉第參考系，可得相應轉子電壓矢量方程為

(18)

式中:上角標“abc”為轉子abc坐標系中矢量的上標角；Rr為每相繞組電阻。

定子固結ABC坐標系對于轉子來說是非法拉第參考系，相對旋轉角速度是-ωr。因此，以定子固結ABC坐標系表示的轉子電壓方程，須附加牽連電動勢：

em=-j(-ωr)ψr=jωrψr

(19)

此時，轉子電壓方程為

(20)

定子固結ABC坐標系下轉子繞組附加牽連電動勢幾何解釋如圖6所示。

圖6 定子固結ABC坐標系下轉子繞組附加牽連電動勢

在線圈固結坐標系下，感應電機各矢量是旋轉的交變量，不易分析和控制。

為此，考慮在磁場同步旋轉的DQ坐標系下建立電壓矢量方程，而DQ坐標系對于定、轉子繞組而言均是非法拉第系。

(21)

(22)

相對于基于旋轉變換的推導方式，基于非法拉第參考系和附加牽連電動勢，可直接在運動坐標系下列出電機電壓方程，物理意義清晰，便于理解和工程應用。DQ坐標系也可以選為任意非磁場同步坐標系，推導過程基本一致。

3 結 語

在牛頓力學體系中，慣性參考系和慣性力概念的引入，極大地方便了動力學方程的推導，特定情況下，更可以將動力學問題轉化為靜力學問題，是一個重要的分析手段。

本文介紹的方法，創新地引入法拉第參考系和對應的牽連運動電動勢的概念，其有益效果是賦予牽連運動引起的動生電動勢明確的物理含義，進而可以直接在任意運動坐標系中建立繞組的電壓平衡方程。

上述概念方法盡管只是一類數學推導的物理解釋，但該方法的數理基礎是矢量微分在運動參考系下的分解，一定程度上可以推廣到其他需要引入(平動或者更復雜形式的相對運動)中間參考坐標系的類似電磁系統分析計算，具有普遍適用性。