基于熱傳導和卷積神經網絡的磨床主軸熱誤差預測

王培桐， 范晉偉， 任行飛， 李 狀

（北京工業(yè)大學 先進制造技術北京市重點實驗室，北京 100124）

1 引 言

數(shù)控機床加工精度的影響因素很多，如熱誤差、幾何誤差、伺服誤差等。其中，熱誤差是影響加工精度的主要因素［1］。為了進一步提高數(shù)控機床的加工精度，熱誤差建模和補償方法成為近些年來的研究熱點。

目前，經驗建模法是熱誤差建模的常用方法，其模型是基于機床的實驗測量。不同的模型結構已被用于機床熱誤差的預測，如多元回歸分析（MRA）［2-4］、人工神經網絡（ANN）［5-6］、模糊邏輯［7-9］、自適應神經模糊推理系統(tǒng)［10-11］、灰色系統(tǒng)理論［9］和不同建模方法的組合［12-13］。Chen等［5］使用多元回歸分析模型和人工神經網絡模型來補償臥式加工中心的熱誤差。Zhang等［6］采用主分量法對建模變量進行優(yōu)化，以避免溫度敏感點之間多重共線性的影響。該方法預測機床熱誤差取得了較好的效果。章等［7］以某精密邸式加工中心為研究對象，利用智能溫度傳感器和位移傳感器檢測機床溫度和主軸熱變形。它通過新陳代謝模型對溫度測點的數(shù)據(jù)進行前瞻預測。該方法改善了補償滯后性的問題，從而提高了模型預測精度。Eskandari等［14］提出了一種利用離線技術補償三軸數(shù)控銑床的位置、幾何和熱誘導誤差的方法，熱誤差采用MRA，ANN和ANFIS 3種經驗模型。為了更精準地建立預測模型，他們每10分鐘收集一次實驗數(shù)據(jù)，同時將實驗數(shù)據(jù)分為訓練數(shù)據(jù)集和檢查數(shù)據(jù)集，模型預測精度得到了明顯的提升，精度平均提高41%。Abdulshahed等［15］使用帶有模糊c均值聚類的ANFIS建立了熱誤差模型。實驗結果表明，所建立的熱誤差補償模型可以將熱誤差降低到小于2 m。Wang等［16］通過模糊聚類方法對分布在機床上的20個溫度傳感器進行了優(yōu)化，最終選取3個測點作為建模變量。不同種類的神經網絡熱變形預測方法與其他經驗模型相比，具有較強的信息處理能力、并行處理能力和自學習能力。然而，單一神經網絡熱誤差預測模型的缺點也很明顯，如需要大量的學習樣本、訓練計算時間長，特別是“黑盒子”結果是不可解的。此外，機床工況條件一般是復雜的，熱誤差預測結果容易受到外界干擾。

針對上述局限性，本文提出了一種的基于熱傳導和卷積神經網絡熱誤差的預測方法。首先基于熱傳導理論，推導出溫差、熱能增量以及熱變形量的映射關系。通過主軸熱仿真分析，揭示了主軸前后軸承端為主軸實際熱誤差源。然后，建立了以主軸表面溫差為輸入和主軸前后軸承端熱變形量為輸出的神經網絡主軸熱誤差預測模型。最后，運用反向傳播算法對該預測模型進行訓練并確定最優(yōu)參數(shù)。基于此方法，對磨床主軸進行了熱誤差補償。該方法能夠有效地預測主軸熱誤差，進而顯著地提升數(shù)控機床的加工精度。

2 熱變形本質

熱變形的實質是物質體積隨其所含熱能的增加而增大的性質。根據(jù)熱傳導原理，單元體在t時刻的溫度T（t）可表示為：

其中：V（t）表示t時刻單元體的體積，T(t)和E(t) 分別代表t時刻的溫度和熱能，ρ和C代表材料的密度和比熱容系數(shù)，dx(t)，dy(t)，dz(t)分別代表材料的長度、寬度和高度。

t2時刻，單元體在x方向上的長度可表示為：

其中α代表熱變形系數(shù)。

單元體t1到t2時刻在x方向上的熱變形量可表示為：

由式（3）可知，t1到t2時刻材料的熱變形量主要由材料的熱能增量或材料的溫差所決定。

圖1表示傳感器對安裝示意圖（彩圖見期刊電子版）。材料單元的每個表面都有兩個相鄰的球。藍色的球表示材料表面的溫度傳感器，紅色的球表示材料表面附近環(huán)境中的溫度傳感器。

圖1 t時刻微材料單元及其周圍環(huán)境的溫度Fig. 1 Temperature of micromaterial unit and its surrounding environment at t

此外，d代表每一對相鄰的溫度傳感器的距離。材料單元從時間t到t+Δt在6個方向上的總的熱能和溫差可以推導出：

由式（3）可知，從ti時刻到ti+1時刻，總溫度增量可表示為：

根據(jù)式（3）和式（5），ti+1時刻總的熱變形量為：

式（6）揭示了熱能增量、溫度和材料單元微小熱變形之間的關系。熱能的增量不僅取決于材料表面溫度，還取決于材料表面與其周圍環(huán)境的溫差。因此，至少應該放置一對傳感器來測量材料表面與其周圍環(huán)境之間的溫差，將溫差作為輸入變量，而不僅僅是表面溫度。

2.1 主軸熱變形分析模型

磨床主軸的具體結構參數(shù)如圖2所示。它包括前后軸承、冷卻導管和中心軸等部件。主軸總長為266.2 mm，外徑為?80 mm，中心軸直徑為?11 mm，軸承內徑為?12 mm。

圖2 磨床主軸結構Fig.2 Structure of grinding machine spindle

圖3 傳感器對分布Fig.3 Sensor pair distribution

為了準確地建立主軸熱變形分析模型，將主軸等距地分為9段，每段間隔25 mm，如圖3所示。第2段和第6段的表面與軸承內圈接觸，第1，3，4，5，7，8，9段的表面與周圍環(huán)境空氣接觸。沿主軸各段表面布置傳感器對。內部傳感器用于獲取相關軸段表面的溫度，外部傳感器用于獲取相鄰環(huán)境的溫度。

這里需要注意的是，主軸熱誤差預測模型忽略了不同軸段之間的直徑差異。根據(jù)熱變形、熱能與材料溫度的關系，主軸各段的熱量增量可表示為：

其中：d表示傳感器對間距離，D表示主軸直徑，l代表每段主軸的長度，Taj(ti)表示ti時刻主軸第j段表面相鄰的環(huán)境溫度。由式（7）可知，k到k+1的熱能增量由三部分組成。第一部分是熱量的內部交換，內部的增減變化對總熱能沒有影響；第二部分代表主軸兩端與其鄰近環(huán)境的熱量交換；第三部分代表每段軸表面的主軸與其鄰近環(huán)境的熱量交換。由此可見，主軸的熱量增量還是由主軸表面與其周圍環(huán)境的溫差決定的。熱能增加時，主軸各段的溫差為：

隨著溫度的變化，每個軸段的長度也會發(fā)生 變化，其增量可以表示為：

2.2 主軸熱分析

通過數(shù)值模擬法直觀地研究熱能增量、溫度和熱變形量之間的關系。假設開始時主軸處于20 ℃的環(huán)境下，然后以1 500 r/min的轉速驅動主軸運行100 min，最后使主軸自然冷卻。仿真過程的采樣頻率為20 Hz，α=1.2×10-5/℃，材料密度ρ=7.85×10-6kg/mm3，比熱容系數(shù)C=460 J/（kg·℃），材料內部熱能傳導系數(shù)λ=5.02×10-2J/（mm·℃·s），在材料表面及其相鄰空氣處，熱能傳導系數(shù)λa=0.025×10-3J/（mm·℃·s），傳感器對間距離d=25 mm，主軸直徑為11 mm，軸向傳感器間隔25 mm。

軸承的摩擦在軸承內部幾乎全部轉化成熱量，因而致使軸承溫度升高，軸承熱量Q計算如下：

其中：n為轉速，M為摩擦力矩。前軸承的摩擦力矩為54.5 N·m，后軸承的摩擦力矩為52.5 N·m。

圖4 主軸熱分析結果Fig.4 Thermal analysis results of spindle

圖4（a）～4（c）為0～12 000 s內各主軸段與其相鄰環(huán)境之間的溫度變化和溫差變化。仿真結果表明，雖然主軸各部分表面溫度基本相同，但各部分的環(huán)境溫度變化較大。由此可見，主軸第2段和第6段的溫度偏差高于其他主軸段。這是因為主軸段的第2和第6分別代表前軸承的后端面和后軸承的前端面。砂輪的定位精度取決于前后軸承的定位精度。這意味著前后軸承的綜合熱誤差是主軸的熱誤差源，而不是整個主軸的熱伸長量。圖4（d）展示了主軸和2～6段的熱變形。當主軸轉速為1 500 r/min時，主軸和2～6段的熱變形趨勢大致相同。因此，研究主軸2～6段的熱變形對主軸熱誤差的預測具有重要意義。

3 基于熱傳導卷積的神經網絡熱誤差建模方法

3.1 基于卷積熱傳導的神經網絡模型要素架構

從第2.1節(jié)可知，主軸表面與其周圍環(huán)境的溫度差作為輸入變量，它代表主軸輸入的熱能。然后內部的熱能在主軸內部從高向低傳導。熱能的外在表現(xiàn)為主軸的溫度和變形具有固定的關系。因此，在構建來自主軸不同部位的神經網絡模型時，應以主軸各段與其周圍環(huán)境的溫差作為輸入。主軸的前部、中部和后部對應于不同的神經節(jié)點。在這里輸入的溫差應首先轉化為熱能，而不是在主軸中進行熱交換時的相互混合。考慮到熱能傳導的遲滯性，這意味著需要建立卷積神經網絡模型。為了使熱能更均勻地分布，該模型需要利用另一神經網絡層使熱能更大幅度地混合，然后使混合的熱能轉變?yōu)橹鬏S的溫升和熱變形。最后，神經網絡的輸出層應以時間為變量，來預測主軸在不同時間下總的熱變形量。

3.2 熱誤差預測模型架構

主軸熱誤差預測模型如圖5所示。除了第0層外，模型總共有3層。在第0層，有9個輸入ΔTi（t）（i=1～9）。隨后，每個輸入的溫差被轉化為一個熱能增量在這里進行卷積處理。在第1層中，有9個輸入節(jié)點對應于9個主軸節(jié)段，每個熱量增量混合并輸入，使第2層中各個軸段的熱量充分交互。第2層有3個節(jié)點，對應的前，中和后部分的主軸，積累的熱能增量會在這里充分混合，然后熱能增量以熱變形量作為第2層的輸出。在第3層中，通過混合和放大第2層的各輸出參數(shù)，同時考慮熱能隨時間的指數(shù)變形規(guī)律，最終給出了預測的熱誤差值。和yi分別代表第i項 采 樣 數(shù) 據(jù)，[y0，y1，...，yM-1]則分別代表一組M個數(shù)據(jù)樣本。然后用矩陣A[j]表示神經網絡中第j+1層輸入和第j層輸出。

圖5 神經網絡架構Fig. 5 Neural network architecture

第0層的輸入放大因子矩陣K[0]可表示為：

第0層的輸出矩陣A[0]可表示為：

在主軸熱誤差的實際預測中，考慮到第i組溫度偏差數(shù)據(jù)會受到第i-1組溫差數(shù)據(jù)的累積影響，層0處的第i組輸出可以表示為：

第j（j=1，2，3）層的輸出A[j]可表示為：

第1～3層的放大因子如下：其中需要優(yōu)化參數(shù)k。

冷料斗為拌和站出廠時設置完成，每年由廠家安排人員進行重新校核。在幾年的使用過程中不曾進行移動，且進料數(shù)量符合要求。

從式（11）可以看出，神經網絡第1層的輸入是每個軸段溫差轉換成的熱能增量。這些累積起來的混合熱能會在神經網絡第二層轉化成熱變形量。神經網絡的第三層將混合熱變形乘以一個放大因子，最終得到熱誤差預測值。

3.3 反向傳播算法

本文采用反向傳播算法來確定熱誤差預測模型參數(shù)的最優(yōu)值。如圖6所示，初始參數(shù)為每個前軸承的摩擦力矩為54.5 N·m，每個實際軸承的摩擦力矩為52.5 N·m。熱變形系數(shù)α=1.2×10-5/℃，材料密度ρ=7.85×10-6kg/mm3，比熱容系數(shù)C=460 J/（kg·℃），內部材料的熱能傳導系數(shù)λ=5.02×10-2J/（mm·℃·s），在材料表面及其鄰近空氣的熱能傳導系數(shù)λa=0.025×10-3J/（mm·℃·s）。

為了確定預測模型的參數(shù)值，引入損失函數(shù)L和總的損失函數(shù)J，分別為：

通過實測輸入和輸出數(shù)據(jù)，利用反向傳播算法對建立的神經網絡模型進行學習和訓練，以此來調整分布權重W[j]，偏差b[j]和激活函數(shù)K[3]。對激活函數(shù)、權重和偏差進行修改如下：

其中st表示學習步長。當損失函數(shù)L＜ζ或者學習步長大于st，該程序終止。

圖6 神經網絡訓練流程Fig. 6 Flow chart of neural network training

4 實 驗

4.1 實驗儀器

在主軸熱變形實驗中收集主軸各段表面與其周圍環(huán)境的溫差。電熱偶傳感器如圖7（a）所示。利用紅外儀器采集主軸各段的離散溫度數(shù)據(jù)，如圖7（b）所示。然后，使用YanHua 8211總線溫控數(shù)據(jù)采集模塊將收集到的溫控數(shù)據(jù)發(fā)送到計算機。最后，采用電容式傳感器來測量主軸的熱變形系數(shù)，如圖7（c）所示。測量儀器參數(shù)列于表1。

表1 主軸熱變形測量儀器Tab.1 Measuring instruments for thermal deformation of main shaft

圖7 電主軸的溫度測量Fig.7 Temperature measurement of motorized spindle

4.2 熱誤差預測模型驗證

表2 主軸熱變形測量實驗參數(shù)Tab.2 Experimental parameters for thermal deformation measurement of main shaft

表3 綜合測試試驗參數(shù)Tab.3 Comprehensive test parameters

圖8 不同轉速下主軸熱變形實驗結果Fig.8 Experimental results of spindle thermal deformation with different rotation speeds

由實驗結果可以看出，當轉速為3 000 r/min時，主軸熱變形預測的最大殘差僅為5.7 μm，其他轉速下的預測殘差均小于4.3 μm。特別是在綜合試驗中，熱變形的最大預測殘差甚至小于2.7 μm。也就是說，主軸的運行時間越長，熱變形的預測精度就會更高。因此，最大熱變形量取決于主軸轉速，轉速越高，最大熱變形量越大。本文提出的熱誤差預測模型的精度較高。

4.3 熱誤差補償實驗

在驗證1～2段主軸熱變形預測模型有效性的基礎上，進行了軸類零件磨削熱誤差補償實驗。從圖9可以看出，選擇磨削加工的軸。在實驗中，對AC，AD，AE，ED的尺寸誤差進行檢測，以驗證熱誤差補償?shù)挠行浴?/p>

圖9 磨削軸原理Fig.9 Schematic diagram of grinding shaft

圖10為熱誤差補償系統(tǒng)，該系統(tǒng)主要包括控制器和驅動兩個模塊。對象鏈接和嵌入技術是計算機中不同軟件間數(shù)據(jù)交換的應用。過程控制OLE（OPC）是一種國家標準，用于控制器與計算機之間的信息交換。OPC統(tǒng)一體系結構（OPC UA）是由SINUMERIK 840D數(shù)控控制器基于SIMATIC網絡服務器和PROFINET（過程現(xiàn)場總線網）的技術。在熱誤差補償研究中，開發(fā)了一套OPC UA客戶端軟件。其中，由NCU的MC插值器組織塊92［OB92］計算Z軸位置設定點。其補償原理是將Z軸的理論位置設定點值和當前時間預測熱變形值之和作為當前Z軸設定點?？紤]到插值器［OB92］每2 ms運行一次，熱誤差預測程序每隔50 ms運行一次，意味著插值器應將其設定的插值間隔增加25倍，以達到相同的頻率。當熱誤差預測程序更新熱誤差值時，插值器將選擇新的熱誤差值作為補償值?？紤]到熱誤差的變化速度足夠慢，熱誤差補償?shù)木茸銐蚋摺?/p>

圖11為軸類磨削實驗現(xiàn)場。采用兩種熱誤差預測方法對磨床主軸進行補償，方法一為單一神經網絡熱誤差預測方法［7］，方法二為本文提出的熱誤差預測方法。

圖10 基于OPC UA的熱誤差補償方法Fig.10 Thermal error compensation method based on OPC UA

圖11 軸類磨削實驗Fig. 11 Shaft grinding experiment

表4 熱誤差補償結果Tab.4 Thermal error compensation results

通過不同主軸熱誤差補償后磨床的加工精度如表4所示。結果表明，工件的加工尺寸AE在Z方向上的加工誤差由0.004 3 mm減小到0.002 3 mm。方法二相較于方法一，補償精度提高了46.5%。AC和AD的絕對位置分別減小了0.001 0 mm和0.001 6 mm，加工精度分別提高了41.7%和43.2%。工件的加工精度得到了明顯提升。因此，實驗證明了本文提出的熱誤差預測方法比單一神經網絡熱誤差預測方法的預測精度更高，熱補償效果更好。

5 結 論

本文提出了一種基于熱傳導和卷積神經網絡的主軸熱誤差預測方法。首先，利用溫度傳感器測量主軸表面與其周圍環(huán)境的溫差，將輸入溫度差乘以熱傳導參數(shù)轉化為熱能增量。然后，將每個軸段獲得的熱能增量彼此混合。最后將第2～6段主軸熱變形量作為輸出。根據(jù)熱傳導理論，建立了主軸溫差、熱能增量以及熱變形量之間的映射模型，并通過仿真確定了主軸前后軸承是實際的熱誤差源。在此基礎上，基于神經網絡法建立了主軸熱誤差預測模型。實驗結果表明，綜合測試中模型預測的最大殘差小于2.7 μm。將提出的熱誤差預測方法和單一神經網絡熱誤差預測方法應用到實時熱誤差補償中。比較補償結果可以得出，本文提出的主軸熱誤差預測精度較高，且補償后機床加工精度得到明顯提升。本文提出的主軸熱誤差預測方法不僅局限于磨床，對其他類型的機床也同樣適用。