基于動態(tài)遺忘因子最小二乘與EKF的電池SOC估計

馬福榮,李演明,杜 浩,焦 振,邱彥章

(長安大學(xué) 電子與控制工程學(xué)院,西安 710064)

0 引言

隨著全球化石能源短缺的問題日益嚴(yán)峻，新能源技術(shù)迎來了前所未有之發(fā)展機(jī)遇，其中鋰離子電池扮演著越來越重要的角色，因此對鋰離子電池管理系統(tǒng)的研究逐漸成為熱點[1]。作為電池的關(guān)鍵性能參數(shù)之一，SOC(荷電狀態(tài))的準(zhǔn)確估算成為一大重點，SOC主要用來表示電池電量的使用情況，準(zhǔn)確的SOC估計可以為電池健康監(jiān)測、使用時長以及合理的能量分配提供重要的參考依據(jù)，對有效地使用能源具有重要的積極影響[2]。鋰離子電池的荷電狀態(tài)受諸多因素的影響，其中主要包括電壓、電流及溫度等，由于SOC與其相關(guān)影響因素主要呈非線性的關(guān)系，并且電池系統(tǒng)本身也是個典型的非線性系統(tǒng)，因此電池荷電狀態(tài)的研究是眾多學(xué)者研究的一大難點[3]。

對于電池SOC的主流研究方法主要是集中于能量守恒角度，即認(rèn)為電池剩余電量是電池即時剩余容量與電池總?cè)萘康谋戎礫4]。目前國內(nèi)外對電池SOC的研究主要是通過兩大類角度來進(jìn)行，一類是通過電池的電化學(xué)性質(zhì)，對電池的化學(xué)特性與能量關(guān)系來計算SOC從而避免建立復(fù)雜物理模型[5]；另一類是通過對電池建立合理的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)電池外部物理量與數(shù)學(xué)原理來計算電池SOC[6]。國內(nèi)外對電池SOC的主要研究方式如圖1所示。

圖1 國內(nèi)外電池SOC主要研究方式

在前人研究的基礎(chǔ)上，對鋰離子電池進(jìn)行等效模型建立，基于動態(tài)工況的需求，根據(jù)數(shù)學(xué)原理，引入在線參數(shù)辨識算法，對算法進(jìn)行改進(jìn)，然后再結(jié)合擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行電池SOC的有效估計，并且對模型參數(shù)辨識算法進(jìn)行改進(jìn)，從而提高整個SOC估計系統(tǒng)的精度與穩(wěn)定性。

1 鋰離子電池等效電路

1.1 等效電路模型分析

相較于電池內(nèi)部復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)，等效電路模型基于其簡潔的模型和簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式得到了鋰離子電池研究的廣泛應(yīng)用[7]。等效電路模型主要用于表示電池內(nèi)部狀態(tài)與電池外部狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)性，使用物理原理及數(shù)學(xué)表達(dá)式來對電池的狀態(tài)進(jìn)行綜合的數(shù)學(xué)表達(dá)。在電池研究中，常用的模型有Rint模型、Thevenin模型和PNGV模型，基于這些常見模型的框架之上，為了更好描述電池的復(fù)雜狀態(tài)，提出多級的RC電路模型，其主要結(jié)構(gòu)是在Rint電路上串聯(lián)多個RC電路[8]，如圖2所示。

圖2 多階RC電路模型

多階RC電路的動態(tài)方程為：

(1)

電路模型與式(1)中，UOC表示開路電壓，R0表示內(nèi)阻；I表示負(fù)載電流，規(guī)定圖1中的電流方向為正方向，Rpn表示極化電阻，Cpn表示極化電容；Upn表示RC回路兩端電壓。

多階RC具有多個極化電容和多個極化電阻，因此具有較高的精度，電路模型的階數(shù)與模型的精確度成正比關(guān)系。但模型階數(shù)的增加帶來的是復(fù)雜的計算過程以及龐大的計算量，對于電池的SOC估計，模型的精確度將提高SOC的估計準(zhǔn)確度，但同時復(fù)雜的過程會導(dǎo)致SOC計算速度的降低，因此需要在精度和速度的綜合考慮下進(jìn)行對模型階數(shù)的合理選擇[1]。

1.2 基于AIC準(zhǔn)則的模型階數(shù)的確定

AIC(赤池信息準(zhǔn)則)是一種統(tǒng)計學(xué)中常用的最優(yōu)模型選擇準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則建立在熵的概念基礎(chǔ)之上，可以對模型的復(fù)雜度和模型擬合的優(yōu)良性之間進(jìn)行合理的均衡，AIC準(zhǔn)則的一般形式如式(2)所示：

(2)

式(2)中，T表示實驗數(shù)據(jù)量，m表示模型未知參數(shù)數(shù)量，(SSE，sum of squares for error)表示殘差平方和，SSE的表達(dá)式如公式(3)所示：

(3)

AIC準(zhǔn)則力求在模型的復(fù)雜度和準(zhǔn)確度之間達(dá)到平衡，對于鋰離子電池的等效電路模型而言，電路的最佳平衡電路模型對應(yīng)的AIC值應(yīng)為最小。為了控制模型的實用性隨著實驗數(shù)量T的增加而降低，同時保證電池等效電路模型的準(zhǔn)確度，可將AIC準(zhǔn)則一般形式優(yōu)化為:

(4)

其中:引入指數(shù)d，使得2m/T的階數(shù)提高，以此提高等效電路模型的過度擬合懲罰力度，達(dá)到提高電路模型實用性比重的目的，根據(jù)統(tǒng)計學(xué)理論，在此處d取值為4。在等效電路的RC回路中，電路模型的階數(shù)每增加一個，未知參數(shù)就會多增加兩個，因此模型階數(shù)n與電路未知參數(shù)m的關(guān)系為m=2n+1，由此可確定等效RC電路模型的AIC準(zhǔn)則方程為：

(5)

根據(jù)圖3，在不同的SOC范圍內(nèi)，AIC值在不同階數(shù)條件表現(xiàn)出差異，基于AIC值最小準(zhǔn)則，當(dāng)SOC值在20%～80%范圍內(nèi)時，二階的AIC值表現(xiàn)為最小，并且此范圍涵蓋了SOC估計的主要階段，因此可以選定等效電路RC模型的階數(shù)為2。

圖3 不同階數(shù)充放電AIC值對比

2 二階RC等效電路參數(shù)辨識

二階RC等效電路模型如圖4所示。

圖4 二階RC等效電路模型

根據(jù)二階RC等效電路模型，可得電池端電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為：

UL=UOC-IR0-IRP1(1-e-t/RP1CP1)-

IRP2(1-e-t/RP2CP2)

(6)

在實際的電池應(yīng)用環(huán)境中，對于電池二階RC等效模型而言，端電壓UL、電流I及溫度等數(shù)據(jù)是可以直接測量獲取的，而模型參數(shù)UOC、R0、RP和CP等參數(shù)需要對電路模型進(jìn)行參數(shù)辨識才能獲取，進(jìn)而利用辨識出來的參數(shù)進(jìn)行電池SOC的準(zhǔn)確估計。

2.1 二階RC電路模型的離線參數(shù)辨識

鋰電池等效電路的參數(shù)辨識主要有離線和在線兩種模式。等效電路參數(shù)的離線辨識可以通過OCV-SOC曲線擬合來實現(xiàn)，通過標(biāo)準(zhǔn)實驗獲取OCV和SOC的函數(shù)關(guān)系，然后通過混合動力脈沖能力特性(HPPC,Hybrid PulsePower Characteristic)實驗數(shù)據(jù)來辨識各項參數(shù)，最終辨識出來的各項參數(shù)實際上是關(guān)于SOC的函數(shù)[3]。

首先根據(jù)HPPC測試步驟對電池依次進(jìn)行靜置、放電和充電等測試操作，對每一個SOC點進(jìn)行一次HPPC循環(huán)測試，記錄下每一個SOC值所對應(yīng)的開路電壓OCV值，根據(jù)記錄數(shù)據(jù)來進(jìn)行OCV與SOC的函數(shù)擬合[6]。使用Matlab里的CruveFittingTool工具箱以及六階多項式RMSE方式擬合OCV與SOC的曲線關(guān)系，擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5 OCV-SOC擬合曲線

根據(jù)電池實驗規(guī)范，采用HPPC測試獲得電池電壓回彈特性曲線，對其進(jìn)行局部放大，使用指數(shù)擬合的方式，依次在每一處SOC所對應(yīng)的電壓回彈特性曲線計算出對應(yīng)的參數(shù)UOC、R0、RP和CP等。

2.2 二階RC電路模型的在線參數(shù)辨識

對于鋰電池SOC的估計，離線辨識雖能較為準(zhǔn)確地計算出電路模型各狀態(tài)參數(shù)，是分段獲取電池某一段SOC狀態(tài)下的參數(shù)值，而電池的工作過程是一個動態(tài)變化的過程，在實際的工程實際中離線辨識方法在實時監(jiān)測方面具有一定的局限性[6]。因此電池模型參數(shù)的在線辨識顯得尤為重要，本課題通過遞推最小二乘方法對電池進(jìn)行在線參數(shù)辨識，運用最小二乘算法。

2.2.1 最小二乘理論

設(shè)函數(shù):

f(x)=a1φ1(x)+a2φ2(x)+…+amφm(x)

(7)

式(7)中，φk(x)為設(shè)定的一組線性無關(guān)函數(shù)，ak為待定系數(shù)(k=1,2,3…m，m

(8)

目標(biāo)函數(shù)L的最小值的參數(shù)ωi(i=1,2…n)為最小二乘算法求得的ω最優(yōu)解。對于一個系統(tǒng)而言，若其系統(tǒng)離散函數(shù)為：

(9)

此離散函數(shù)對應(yīng)的差分方程為：

yk=-a1yk-1-a2yk-2-…-anyk-n+

b1uk-1+b2uk-2+…+bnuk-n+ek=

(10)

式(10)中：yk為系統(tǒng)輸出，uk為系統(tǒng)輸入。令：

φk=[-yk-1-yk-2… -yk-nuk-1uk-2…uk-n]T

θ=[a1a2…anb1b2…bn]為系統(tǒng)待估計參數(shù)。

將式(10)可以寫為:

(11)

對uk和yk進(jìn)行N維擴(kuò)展，k=1,2,3…N+n，則矩陣形式為：

Y=?θ+e

(12)

式(12)中：

對于上述矩陣形式，可以取泛函數(shù)為：

(13)

為取J(θ)的最小值，對其進(jìn)行求一階導(dǎo)數(shù)并令為0：

(14)

解方程可得最小二乘估計值為：

(15)

在實際應(yīng)用中，需要通過多次計算來使得估計值更精確，所以需要多次最小二乘算法，即遞推最小二乘算法，遞推最小二乘算法過程如下所示：

(16)

Kk+1=Pk+1?k+1

(17)

(18)

2.2.2 基于遞推最小二乘的二階RC電路模型在線參數(shù)辨識

根據(jù)二階RC電路等效模型及電路原理，可得電路辨識原理式為：

(19)

設(shè)定中間變量A=τ1τ2,B=τ1+τ2,C=R1+R2+R0,D=R1τ2+R2τ1+R0(τ1+τ2)。

式(19)可以改寫為：

UOC+AUOCS2+BUOCS=

AR0IS2+DIS+CI+AULS2+BULS+UL

(20)

則電路辨識原理式對應(yīng)差分方程為：

UOC(k+1)-UL(k+1)=θ1[UL(k)-UOC(k)]+

θ2[UL(k-1)-UOC(k-1)]+θ3I(k+1)+

θ4I(k)+θ5I(k-1)

(21)

根據(jù)以上各式解方程得參數(shù)辨識結(jié)果：

(22)

基于遞推最小二乘原理及以上電路原理分析可得二階RC等效電路模型參數(shù)辨識的標(biāo)準(zhǔn)遞推最小二乘方程為：

(23)

2.3 含有動態(tài)遺忘因子的遞推最小二乘改進(jìn)算法

遞推最小二乘算法在參數(shù)辨識任務(wù)中發(fā)揮十分重要中的作用，但是在具體執(zhí)行過程中同時存在一定的問題，其中比較顯著的問題就是最小二乘具有無限記憶長度。在電池模型參數(shù)辨識過程中，隨著采樣次數(shù)的逐步增加，其遞推次數(shù)也在增加，從而導(dǎo)致每次遞推后積累下來的舊數(shù)據(jù)會越來越多，使得后面的遞推過程中難以帶入新的數(shù)據(jù)，最后對參數(shù)辨識結(jié)果帶來影響，電池模型在線參數(shù)辨識是一個典型的時變過程，積存下來的舊數(shù)據(jù)會導(dǎo)致新舊數(shù)據(jù)不平衡問題。

為了避免數(shù)據(jù)冗余對電池模型在線參數(shù)辨識造成影響，可以對傳統(tǒng)遞推最小二乘算法進(jìn)行改進(jìn)，引入遺忘因子λ(0<λ<1)。遺忘因子在統(tǒng)計學(xué)中主要用來做誤差測量函數(shù)中的加權(quán)因子，這個加權(quán)因子被用來分配舊數(shù)據(jù)與新數(shù)據(jù)之間的權(quán)重，可以適當(dāng)?shù)亟档退惴ㄖ信f數(shù)據(jù)的比重，以此避免數(shù)據(jù)冗余。在最小二乘算法中引入遺忘因子λ，可以使最小二乘算法增強(qiáng)對輸入過程特性變化的快速反應(yīng)能力，提高新數(shù)據(jù)的利用效率，降低數(shù)據(jù)變化對在線辨識結(jié)果的影響。引入遺忘因子λ后的更新過程為：

(24)

引入遺忘因子后，即使遞推次數(shù)很多，PN+1也不會無限接近于0，從而可以達(dá)到避免數(shù)據(jù)飽和的目的。在含有遺忘因子的最小二乘算法中，λ的引入對算法跟蹤能力有促進(jìn)作用，但同時會導(dǎo)致波動變大，為了使算法系統(tǒng)更加穩(wěn)定與精確，進(jìn)而可以將固定遺忘因子改進(jìn)為動態(tài)遺忘因子。依據(jù)模型的開路電壓UOC辨識結(jié)果UOC與真實電壓uOC之間的誤差εk來動態(tài)調(diào)整含遺忘因子最小二乘算法過程中的因子λ，εk的值為：

εk+1=|UOC(k)-uOC(k)|

(25)

εk在辨識過程中主要用來表示模型參數(shù)辨識的效果，根據(jù)含遺忘因子最小二乘算法原理，當(dāng)εk較大時，需要適度降低遺忘因子的取值，以此來提高算法的收斂性，當(dāng)εk較小時，可以適度提高遺忘因子的取值來保證算法的精度與抗噪能力。建立λ的動態(tài)變化函數(shù)為：

λk+1=μ+(1-μ)e-γεk

(26)

式(26)中，μ為接近且小于1的可調(diào)正參數(shù)，γ為正參數(shù)。由動態(tài)函數(shù)可知，當(dāng)εk為一個較大值時，λ越接近于u，反之λ越接近于1，從而可以達(dá)到動態(tài)調(diào)整遺忘因子的目的。

含有動態(tài)遺忘因子的最小二乘遞推算法推導(dǎo)過程如式(27)、(28)、(29)所示：

(27)

(28)

(29)

3 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的鋰電池SOC估計

3.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法原理

卡爾曼濾波主要用來研究線性系統(tǒng)，而電池系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng)，尤其電池的溫度及電流變化會加劇電池系統(tǒng)的非線性，因此需要先對非線系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(EKF)是在卡爾曼濾波算法(KF)為基礎(chǔ)之上，先對系統(tǒng)的每一個采樣點處進(jìn)行級數(shù)展開，保留一階部分系數(shù)，略去高階部分系數(shù)，從而將其等效為線性系統(tǒng)，最后再使用卡爾曼濾波迭代過程進(jìn)行遞推計算。卡爾曼濾波算法中主要包括時間更新過程和測量更新過程，即先對某一采樣時刻的狀態(tài)預(yù)測值進(jìn)行更新，然后再將含有噪聲的的觀測變量作為反饋，從而獲得此時刻的狀態(tài)估計值。

對于一個非線性離散系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為：

Xk+1=F(Xk,Uk)+ωk

(30)

觀測方程為：

yk=g(Xk,Uk)+vk

(31)

式(30)、(31)中，f(Xk,Uk)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，g(Xk,Uk)為測量函數(shù)，Xk為系統(tǒng)狀態(tài)變量，Uk為系統(tǒng)輸入變量，ωk為系統(tǒng)噪聲，vk為觀測噪聲，兩類噪聲的協(xié)方差為：Qk=E[ωkωkT],Rk=E[vkvkT]。

在每一個采樣時刻，對f(Xk,Uk)和g(Xk,Uk)進(jìn)行泰勒展開，取其一階部分，并設(shè)定其在每一個采樣時刻點處線性可微，則可令：

(32)

得非線性系統(tǒng)線性化后關(guān)于狀態(tài)變量的表達(dá)式為：

(33)

(34)

其中:ωk、vk的均值為0，且ωk～N(0,Qk),vk～N(0,Rk)。

可得擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法具體過程為：

(1)初始設(shè)定：k-1時刻:

(35)

(36)

(2)進(jìn)行預(yù)測：狀態(tài)預(yù)測方程：

(37)

噪聲協(xié)方差預(yù)測方程：

(38)

(3)進(jìn)行校正：計算增益反饋:

(39)

計算濾波方程：

(40)

(4)噪聲協(xié)方差矩陣更新：

(41)

3.2 RC等效電路SOC預(yù)模型的建立

對于鋰離子電池的SOC估算模型，需要先確定系統(tǒng)的輸入和輸出，以此來確定系統(tǒng)狀態(tài)方程和系統(tǒng)觀測方程，根據(jù)二階RC電路模型和卡爾曼濾波算法原理，可以將SOC、UP1和UP2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，以電池的端電壓方程作為系統(tǒng)的觀測方程，模型各類電壓的變化本質(zhì)上體現(xiàn)了電流的變化，同時從外部宏觀角度出發(fā)，可見輸入為電壓和電流，輸出為SOC值，滿足模型估算總要求。

通過安時積分法及電路電壓離散法，可得式：

(42)

根據(jù)以上狀態(tài)向量，可得模型離散化狀態(tài)向量方程：

(43)

模型的離散化觀測方程為：

UL(k)=UOC(k)-ikR0-UP1(k)-UP2(k)

(44)

式(41)中，Ts表示采樣時間間隔，在此取Ts=1 s，UP1(k)和UP2(k)分別代表采樣時刻k時的RC回路電壓值，由此可得系統(tǒng)狀態(tài)向量Xk為：

(45)

觀測矩陣為：

(46)

3.3 基于動態(tài)遺忘因子最小二乘在線參數(shù)辨識與EKF算法的電池SOC聯(lián)合估計

含有動態(tài)遺忘因子最小二乘算法與擴(kuò)展卡爾曼濾波算法都是含有循環(huán)迭代的過程，因此在使用這兩種算法對電池SOC進(jìn)行聯(lián)合估計時，需要一定的初值設(shè)定。使用離線辨識OCV-SOC標(biāo)定來獲取初始SOC值和其余參數(shù)初始值，設(shè)定各類初始矩陣，然后啟用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對電池SOC進(jìn)行估算時，使用的狀態(tài)變量為SOC和RC回路電壓UP1、UP1。對于UP1、UP1兩個的非初值狀態(tài)變量，使用動態(tài)遺忘因子最小二乘算法在線辨識出的參數(shù)來獲取。EKF中ωk作為系統(tǒng)噪聲主要來源于非線性系統(tǒng)進(jìn)行采樣時候引起的誤差，觀測噪聲vk主要來源于電壓測量誤差。

圖6 電池SOC聯(lián)合估計整體過程

4 實驗仿真與分析

圖7 極化電容C1辨識結(jié)果

圖8 極化內(nèi)阻R0辨識結(jié)果

圖9 端電壓Uoc辨識結(jié)果

圖10 端電壓Uoc辨識結(jié)果誤差

如圖7、圖8、圖9所示極化電容、極化內(nèi)阻和端電壓辨識結(jié)果，遞推最小二乘算法可以較好地擬合出模型參數(shù)，但是在遞推后期參數(shù)結(jié)果波動較大，而改進(jìn)后的動態(tài)遺忘因子最小二乘算法相較于普通遞推最小二乘，在遞推后期有效減小波動。由圖9結(jié)果所示，含有動態(tài)遺忘因子最小二乘算法比普通遞推最小二乘算法結(jié)果更接近真實值；如圖10所示，含有動態(tài)遺忘因子最小二乘的電壓誤差小于0.05，二普通遞推最小二乘電壓結(jié)果誤差大于0.05，在運算后期，普通遞推最小二乘算法的結(jié)果誤差越來越大，而加入動態(tài)遺忘因子后，可以有效降低誤差，提高算法的精確性和收斂性。

對于聯(lián)合估計最終結(jié)果如圖11所示。

圖11 在線參數(shù)辨識與EKF聯(lián)合估計SOC結(jié)果

如圖11所示結(jié)果，最小二乘算法與EKF聯(lián)合估計模型可以較好地估算出SOC值，在計算過程后期，最小二乘EKF聯(lián)合算法結(jié)果逐漸偏離真實值，通過對比分析可知，加入動態(tài)遺忘因子最小二乘EKF聯(lián)合估計模型比普通最小二乘EKF聯(lián)合估計的結(jié)果更接近真實SOC值，表明動態(tài)遺忘因子機(jī)制使整個聯(lián)合估計系統(tǒng)更加趨于穩(wěn)定，給系統(tǒng)精確度帶來修正作用，驗證了遞推最小二乘算法的改進(jìn)(加入動態(tài)遺忘因子)具有實用價值。

5 結(jié)束語

針對鋰離子電池荷電狀態(tài)SOC的準(zhǔn)確估計，在動態(tài)工況需要在線參數(shù)辨識需求之下，本文提出遞推最小二乘算法并對其進(jìn)行改進(jìn)，加入動態(tài)遺忘因子后，有效調(diào)整了在線參數(shù)辨識算法的波動，提高收斂能力，提高電池模型參數(shù)辨識精度。將改進(jìn)前辨識算法與改進(jìn)后辨識算法同擴(kuò)展卡爾曼濾波算法進(jìn)行電池SOC的聯(lián)合估計，結(jié)果表明改進(jìn)后的含動態(tài)遺忘因子最小二乘算法能夠更好地跟隨SOC，明顯具有較高的估計精度，同時也表明基于最小二乘與EKF搭建的電池等效模型可以較好地模擬真實電池系統(tǒng)，具有工程實用價值。