問題驅動，助推學生數學思維進階
——“認識周長”教學實踐與思考

江蘇省張家港市合興小學 蔡禮楓

在教學過程中，教師要以核心問題為抓手，引導學生主動開展數學活動，以問題驅動的方式打開學生的思維，讓他們的思維飛得更遠一些。

“認識周長”一課是在學生學習了長方形和正方形特征的基礎上設置的學習內容，教師要引導學生認識周長，為學習長方形和正方形的周長計算奠定基礎。筆者通過前測發現：一半左右的學生對周長有一定的了解，也有一半左右的學生對周長的理解錯誤，對概念的認識模糊，不明白周長是平面圖形的一個量化指標；學生不知道怎么測量曲線圖形的周長，對于不規則圖形周長的計算不知道如何入手。主要原因是三年級的學生對“周長”的認知還是比較抽象的，學生在實際生活中見到的、摸到的、用到的圖形大多數與圖形的面積有關，而關注和感受到周長則比較少。基于學情，筆者提煉出“認識周長”的三個主線問題：（1）什么是周長？（2）怎樣測量周長？（3）怎么計算周長？并圍繞主線問題對教學內容進行整合，設置一系列有思維價值、思維梯度、體現學科素養的問題串，形成本課學習的問題系統圖，以此來搭建課堂教學支架。

“認識周長”學習問題系統圖

一、在情境中初悟周長：“比賽公平嗎”

“封閉圖形一周的長度就是這個圖形的周長。”教師在教學這一概念時，要引導學生在情境中通過運用已有的知識、能力、經驗去感悟、辨析“周長”的意義。以此為源頭，驅動學生自主探究，初步感知周長概念的本質屬性。

【教學片段一】

出示小螞蟻比賽。

師：同學們，今天有兩只小螞蟻要進行一場比賽，仔細觀察誰會贏？（課件演示）

生：紅螞蟻贏了，黑螞蟻輸了嗎？

師：誰來說一說紅螞蟻、黑螞蟻它們是怎么跑的？

生：紅螞蟻是沿著樹葉的邊跑了一圈，黑螞蟻從樹葉里面跑的。

師：對呀！紅螞蟻沿著樹葉的邊線跑了一圈，我們也叫沿著樹葉的邊線跑了一周。這場比賽公平嗎？（板書：一周邊線）

生：不公平。因為它們跑的路不一樣長。

師：我們重新規定比賽規則，讓兩只螞蟻都沿著樹葉的邊線跑一圈。誰贏了？

生：黑螞蟻贏了。

師：誰來指一指紅螞蟻、黑螞蟻是怎么跑的？

（學生指一指）

師：雖然紅螞蟻、黑螞蟻都沿著樹葉的邊線跑了一周，但有什么不同的地方？

生：紅螞蟻是從葉柄開始的，沿著樹葉的邊線跑了一周又回到了起點；黑螞蟻是從葉尖開始跑的，沿著樹葉的邊線跑了一周又回到了起點。

師：這場比賽公平嗎？

生：公平，不管從哪個起點開始，都是沿著樹葉的邊線跑了一周。

師：黑螞蟻不管從樹葉邊線的哪一點開始，只要沿著樹葉的邊線跑一圈，再回到起點，就是跑樹葉的一周。

在探究“什么是周長”這個問題時創設兩只小螞蟻比賽的情境，并圍繞“比賽公平嗎” 這一問題引出“一周”“邊線”兩個周長概念的關鍵要素。再通過比賽路線和起點的變化進一步明確，只要從樹葉邊線的任意一點出發，沿著樹葉的邊線跑一周再回到起點，就是樹葉的一周，化靜態、抽象為動態、形象。教師在周長概念建構過程中，一是讓學生經歷了指一指、描一描、說一說等學習活動，對“一周”的長度獲得了直接經驗；二是讓學生經歷概念建構的過程，對周長本質屬性的認知從模糊到清晰；三是讓學生建構了直觀表象，培養了空間觀念。

二、在認識沖突中感悟周長：“這個圖形有周長嗎”

在解決問題的過程中，教師要引導學生認真傾聽同伴的想法并積極思考，就自己的思考進行真實表達，可以提出自己在學習過程中產生的困惑或者用問題引導同伴的再思考，通過師生、生生間的追問，明晰學習路徑，解決核心問題。在這個過程中，學生的高階思維能力得到了發展，豐富了學生的元認知知識。

【教學片段二】

出示角。

師：同學們，這個圖形有周長嗎？

生：這個圖形沒有周長。

師：為什么？

生：這個圖形不完整。

生：這個圖形從起點開始不能再回到起點。

師：嗯，講得有道理。像這樣的圖形在數學中稱作不封閉圖形。你有沒有辦法使這個圖形也有周長？

（學生畫一畫并展示交流作品）

生1：我畫了一個三角形，三角形是封閉圖形，它有周長。

生2：我畫了一個平行四邊形，它也是一個封閉圖形，它有周長。

生3：我覺得第三個圖形沒有周長，因為那條邊不是直的。

生4：我覺得第三幅圖形有周長，因為它也是封閉的。

師：是這樣嗎？誰上來指一指它的周長？

（學生指一指）

師：看來不管連的線是直線還曲線，只要是封閉圖形，它就有周長。

……

本環節中教師對教材進行了整合，沒有直接讓學生測量周長，而是先出示一個角，提出問題：“這個圖形有周長嗎？”學生從周長的定義去判斷，角不是一個封閉圖形，所以角沒有周長。而“你有沒有辦法使這個圖形也有周長”這個問題給學生留下足夠的思維空間，既可以添一條線段，也可以添幾條線段，還可以是曲線，只要形成封閉圖形即可。這個環節給學生制造了認知沖突，由原來認知的封閉圖形到不封閉圖形再到封閉圖形，讓學生進一步深化了對周長概念的理解和認識。

三、在測量中領悟周長：“曲線怎么測量”

當一個核心問題提出后，先讓學生自主去想解決方法：要解決這個問題，可能會遇到哪些小困難或小問題？這時學生的思維是發散的、開放的，將核心問題所串聯的小問題盡可能地提出來，通過師生互動聚焦，將疑問組成有梯度的小問題串，為學生自主解決核心問題提供了思考支架。

【教學片段三】

師：老師也畫了三個圖形。這三個圖形的周長到底有多長呢？我們需要——測量。

（出示測量要求，學生獨立測量或合作測量，交流測量過程）

生1：對三角形，我是用直尺測量的，量出每一條邊的長度，然后把三條邊相加。

生2：對四邊形，我也是用直尺測量的，把四條邊相加。

生3：對最后一個圖形，直的邊我用直尺測量，彎的邊是用線先把它“圍”起來，然后再拉直放在直尺上量出長度，再把三條邊相加。

師：為什么要用線去量？

生3：尺是直的，這條線是彎的。

師：在數學上這樣的測量方法叫作“化曲為直”。

……

周長的測量與計算仍是學生進一步構建周長概念的過程，從規則圖形到不規則圖形，學生領悟到測量周長時可以用直尺，也可以采用“線繞”的方法測量，初步體會“化曲為直”的數學思想。經過多個測量周長的活動，借助學生的認知誤區，直指周長的本質，讓學生明白“周長只和圖形的邊線有關，和面的大小無關”，理解“該怎么測量”“為什么這么測量”“選擇什么方法測量”等。同時，讓學生明白只要把圍成圖形所有邊的長度相加就能得到這個圖形的周長。

四、在應用中體悟本質：“誰的周長長”

基于核心問題，倡導傾聽學生的真實聲音，教師要想方設法“引”出錯誤，把錯誤轉變為寶貴的課堂資源。教師要在課堂上創設開放的問題情境，引導學生思考，引發學生的相異構想（有正確的想法，也有錯誤的想法），在解釋、辯論、質疑、反駁等追問過程中暴露產生錯誤想法的根源，排除錯誤想法，從而使周長的概念更加清晰、更為深刻。

【教學片段四】

出示一個正方形和一個長方形。

師：猜一猜，這兩個圖形誰的周長長？

生1：長方形的周長長。

生2：正方形的周長長。

生3：我覺得兩個圖形的周長一樣長。

師：到底誰長呢？我們請來好幫手格子圖，再來看一看。

（學生數方格）

生：兩個圖形的周長一樣長。

師：為什么？

生：正方形的邊長是4厘米，它的周長是16厘米；長方形的長是5厘米，寬是3厘米，周長也是16厘米。

師：看來不同的圖形它的周長也有可能一樣。

（出示圖形）

師：再來看一看這兩個圖形，誰的周長長？

（學生開始數方格）

生1：我覺得第二個圖形的周長長。

生2：我覺得兩個圖形周長一樣長。

生3：我覺得第一個長。

師：我們一起來數一數吧。確實兩個圖形的周長都是16厘米。仔細觀察，這兩個圖形真的不一樣嗎？

（學生思考）

生4：老師，把第二個圖形凹進去的地方往外拉出來就一樣了。

生5：把下面的一條往上移，就變成一樣的了。

師：是這樣嗎？讓我們一起來看一看。（課件演示）

師：我們把這兩條線段平移，把不規則的圖形變成了規則的圖形，在數學上我們把這種方法叫轉化。

出示圖片。

師：小螞蟻又要進行比賽了，看看它們跑的路誰長一些。

生：兩只螞蟻跑的路一樣長，因為它們都跑了一條長、一條寬再加上中間的一條曲線。

師：你觀察得真仔細，只要沿著它的邊線跑一周就是它的周長。

……

本環節對教材的練習進行創編，第一組出示一個正方形和一個長方形，讓學生猜一猜誰的周長長。有的學生認為兩個圖形的周長相等，有的學生認為兩個圖形的周長不相等，這正是學習的契機。運用格子圖，通過數一數、算一算讓學生驗證猜想，最終發現兩個圖形的周長都是16厘米，學生體驗到不同的圖形周長可能相同。第二組通過轉化的策略把不規則的圖形轉化為規則的圖形，初步滲透轉化的數學思想。第三組回應課始的小螞蟻比賽。通過兩只小螞蟻在長方形上的比賽，學生發現它們行走的路線相等，都是由一條長、一條寬加中間一條公共邊組成。學生初步感知面積大的圖形周長不一定就長，更清晰地認識到圖形的周長只與圖形的邊有關而與圖形的大小無關。

教學中，教師應當從學生的學情出發，精心設計和捕捉好的核心問題，用問題點燃學生思維的火花，調動學生的學習積極性，促進學生對數學知識形成深刻的、結構化的理解，從而形成自己的、可遷移的問題解決策略，指引著學生的思維向更深處進階。