待定系數法求首次積分的探究

梁載濤，段 煉

（安徽理工大學 數學與大數據學院，安徽 淮南 232001）

眾所周知，微分方程是描述自然現象和規律最有效的數學工具，在數學、天體力學、物理學、生物學等眾多領域中都有著廣泛且重要的應用。正是由于其應用的廣泛性與重要性，它逐漸成為學者們進行自然科學研究的有效理論工具。為了培養自然科學研究的接班人，《常微分方程》基礎課逐漸成為數學專業及相關理工科專業本科生、研究生培養中非常重要的理論課。在過去的幾十年里，國內外已經出版了許多經典的《常微分方程》教材，例如專著[1-5]。

微分方程定性理論是微分動力系統領域中非常重要的內容，在許多自然學科中都有著非常重要的應用。為此，本科常微分方程課程將對解的探究作為主要內容。首次積分不僅是求解微分方程的一個手段，也是一般微分方程的理論基礎，在許多的科學研究中都有涉及。例如，文獻[6-7]基于如下常微分方程

等價系統的首次積分，研究了宇宙學著名的Einstein-Friedmann 方程的動力學行為，其中γ , k,Λ 為相關系數。因此，首次積分對于以常微分方程作為研究基礎的領域來說至關重要。但是，大多數的本科生常微分方程課程沒有涉及首次積分或者只是簡單地介紹其定義及性質，對其詳細的計算方法并沒有給出。這導致了繼續從事科研工作的本科生和研究生等在后續科研工作中會遇到如何計算首次積分的問題。為此，本文簡單地介紹一種求首次積分的待定系數法。希望本文的結果對微分方程相關領域的教學以及科學研究等有所幫助。

1 待定系數法求首次積分

本文主要以平面微分系統為例，介紹待定系數法在求首次積分中的應用。考慮如下形式的平面微分系統

其中f，g 在某個區域Ω ∈R3內關于（t，u，v）是連續的并且關于（u，v）是可微的。首次積分的定義如下：

定義1 設Φ（t，u，v）是Ω 的某一個子區域Ω1內的連續函數。如果對于微分系統（2）的任何一個解（u（t），v（t）），使得

其中C 為一任意常數，則Φ（t，u，v）= C 稱為微分系統（2）的首次積分。

更多關于首次積分的性質和存在性結論請參考專著[1]。接下來，介紹待定系數法求首次積分。

1.1 非齊次線性平面微分系統

考慮如下形式的微分系統

用待定系數法求此類系統的首次積分，具體步驟如下：

如果存在一個實數λ,使得

則 （3）+λ×（4）：

根據常數變易公式求出上述方程的通解，即可得系統（3）-（4）的一個首次積分。如果存在2個互異的實數λ 使得（5）式成立，則分別求出上述方程的通解，即可得到系統（3）-（4）2 個獨立的首次積分。

例1 計算如下微分系統的首次積分

解：通過解一元二次方程

得2 個互異的實根λ1=1，λ2=2。對于λ=λ1=1易求得方程

的通解為u + v = C1e-3t，其中C1為任意常數。對于λ=λ2=2 根據常數變易公式，可求得方程

的通解為

其中C2為任意常數。對上述2 個通解進行整理，即可得原系統2 個獨立的首次積分

1.2 多項式微分系統

考慮如下微分系統

其中P，Q 為u，v 的多項式，則可以用待定系數法求其首次積分。具體步驟如下：

在應用中，將具體的函數P，Q 代入上式，比較對應次數項的系數，可以得到關于a，b 的方程組，解出a，b 的值。然后計算下式

即可得到如下形式的恰當方程求出方程（9）的通解，即可得微分系統（6）-（7）的1 個首次積分。

例2 計算如下微分系統的首次積分

解：將

代入（8）式可得

比較系數可得

求解上述方程組，可得a=2，b=1。然后根據（9）式，整理可得如下形式的恰當方程顯而易見其解為

其中C 為任意常數，即為原系統的1 個首次積分。

接下來，用上述方法求引言中方程(1)的首次積分。

例3 求方程（1）的首次積分。

解：方程（1）等價于如下平面微分系統

進一步等價于

其中udx=dt。顯然可見上述系統是系統（6）-（7）的特殊形式，其中

將上述函數P，Q 代入（8）式，整理可得

比較系數可得 a= 2γ ? 1 , b = 0。然后根據（9）式，整理可得如下恰當方程

顯而易見其通解為

其中C 為任意常數。整理上式即可得與文獻[6-7]中相同的首次積分

2 總結

作者在常微分方程教學和培養微分方程方向的碩士研究生過程中發現，大多數的常微分方程教材往往只給出了首次積分的定義及性質，針對其計算并沒有給出詳細的方法。但是常微分方程的首次積分在許多理工科碩士、博士研究生后續科研工作中都有頻繁且重要的應用。受如何計算常微分方程的首次積分的啟發，本文總結出了計算2 類平面微分系統首次積分的待定系數法。本文的結果對高校教師進行常微分方程方面的教學以及理工科碩士、博士研究生常微分方程基礎理論的學習都會有一定的幫助，也進一步補充和完善了這方面的教學內容。