一類量子負循環(huán)碼的構(gòu)造

劉陶然,開曉山

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230601)

20世紀90年代,量子碼被證明是克服量子信道干擾最有效的編碼方案,能實現(xiàn)量子比特在帶有噪音的量子信道上可靠傳輸。量子碼的理論研究的一個核心問題是構(gòu)造極小距離盡可能大的量子糾錯碼,構(gòu)造高糾錯性能的量子碼是近年來編碼理論研究的一個熱點。文獻[1-4]將復雜的量子糾纏態(tài)轉(zhuǎn)化為量子位上出現(xiàn)的幾種錯誤類型,建立了量子糾錯碼與經(jīng)典糾錯碼之間的聯(lián)系。此后,編碼學者們通過有限域上的各種經(jīng)典碼來構(gòu)造量子碼。

Bose-Chaudhuri-Hocquenghem (BCH)碼是一類重要的循環(huán)碼,其主要特點是具有高效的編碼與譯碼算法,且其糾錯能力可以通過設(shè)計距離來控制,得到了廣泛的應用。文獻[5]利用BCH碼構(gòu)造量子碼,并給出了BCH碼是厄米特對偶包含碼的充分條件。文獻[6]給出有限域Fq2上長為(q2m-1)/(q-1)的BCH碼是厄米特對偶包含碼的一個充要條件,并且通過厄米特構(gòu)造法得到了一系列量子碼。常循環(huán)碼是循環(huán)碼的推廣,它既繼承了循環(huán)碼的良好性能,又具有若干新特性。文獻[7]給出了常循環(huán)BCH碼的定義,并在此基礎(chǔ)上獲得了參數(shù)較好的量子碼。文獻[8]利用常循環(huán)碼構(gòu)造了具有較好參數(shù)的二元量子碼。負循環(huán)碼是常循環(huán)碼的1個子類,學者們利用負循環(huán)碼得到了參數(shù)較好的量子碼。文獻[9]研究了2類負循環(huán)對偶包含碼,構(gòu)造了量子碼,相比于循環(huán)碼,負循環(huán)獲得的量子碼具有更好的參數(shù)。此后,學者們對一些特定碼長的量子常循環(huán)碼展開研究。文獻[10]構(gòu)造了碼長為(q2m-1)/(q-1)的量子負循環(huán)碼;文獻[11]通過厄米特構(gòu)造法,得到了2類碼長為(q+1)(q2+1)/r與(q-1)×

(q2+1)/b的量子常循環(huán)碼。

受上述工作啟發(fā),本文研究有限域Fq2上長為(q4-1)/8的厄米特對偶包含負循環(huán)碼,其中q≡1 (mod 4),給出這類負循環(huán)碼分圓陪集的特性,確定這類負循環(huán)厄米特對偶包含碼的最大設(shè)計距離;并利用負循環(huán)碼構(gòu)造參數(shù)良好的量子碼。

1 基礎(chǔ)知識

引理1[9]設(shè)C為Fq2上長為n的負循環(huán)碼,其定義集為T,則C⊥h?C當且僅當T∩T-q=?,其中T-q={-qi(mod 2n)|i∈T}。若Tρ=Cb∪Cb+2∪…∪Cb+2(ρ-2)為負循環(huán)碼C的定義集,其中b是奇數(shù),則稱C為設(shè)計距離為ρ的負循環(huán)BCH碼。

引理2[12]Fq2上長為n且設(shè)計距離為ρ的負循環(huán)BCH碼的最小距離為d≥ρ。

設(shè)Vn表示n個q維復向量空間Cq的張量積,Vn中每個非零子空間Q稱為長為n的q元量子碼。設(shè)Q的維數(shù)為K,稱k=logqK為量子碼Q的維數(shù)。長為n、維數(shù)為k、極小距離為d的q元量子碼記為[[n,k,d]]。下面的引理3建立了經(jīng)典糾錯碼和量子碼之間的聯(lián)系,給出了量子碼的一個構(gòu)造方法。

引理3(厄米特構(gòu)造法)[4]設(shè)C是Fq2上參數(shù)為[n,k,d]的厄米特對偶包含碼,則由C可以得到參數(shù)為[[n,2k-n,d]]的q元量子碼。

2 量子負循環(huán)碼構(gòu)造

設(shè)q為奇素數(shù)冪且q≡1(mod 4),下面考慮利用Fq2上碼長為n=(q4-1)/8的負循環(huán)BCH碼來構(gòu)造q元量子碼。首先給出q2模2n的分圓陪集的一些性質(zhì)。

引理4設(shè)n=(q4-1)/8,s=(q2+1)/2,r=(q2-1)/8,則

(1)Ci=Cj當且僅當iq2≡j(mod 2n)或jq2≡i(mod 2n)。

(2)Ci={i}當且僅當i=ks(k=1,3,…,4r-1)。

證明(1) 由ord2n(q2)=2易知,|Ci|至多為2。當i≠j時,Ci=Cj等價于iq2≡j(mod 2n)。又因為iq2·q2=i(q4-1+1)≡i(mod 2n),所以iq2≡j(mod 2n)等價于iq4≡i≡jq2(mod 2n)。

(2) 對于i∈T,Ci={i}當且僅當iq2≡i(mod 2n)?i(q2-1)≡0(mod 2n)。因此s整除2i。注意到s是奇數(shù),故s整除i。設(shè)i=ks,由i∈T可得:1≤k≤4r-1且k為奇數(shù)。由此得出結(jié)論。

下面討論Fq2上長為n=(q4-1)/8的厄米特對偶包含負循環(huán)碼存在的充要條件,給出它們最大的設(shè)計距離。

證明先證充分性。采用反證法,假設(shè)C⊥h?/C,由引理1知T∩T-q≠?。因此,存在2個整數(shù)h、k,1≤h、k<δM,使得：

2k-1≡-(2h-1)q2j+1(mod 2n)

(1)

其中,j=0,1。當j=0時,(1)式等價于(2k-1)+(2h-1)q≡0(mod 2n)。

注意到:

由此得出矛盾。

當j=1時,(1)式即為：

2k-1≡-(2h-1)q3(mod 2n)。

因為q4≡1(mod 2n),所以該式等價于(2k-1)q≡-(2h-1)(mod 2n),類似于情況j=0,可以得出矛盾。因此C⊥h?C。

再證必要性。假設(shè)δ>δM,因為-q(2δM+1)≡(q3-q2-3q-1)/4(mod2n),所以(q3-q2-3q-1)/4∈-qC2δM-1。但是δM>(q3-q2-3q+3)/8,因此有T∩T-q≠?。由引理1知,C⊥h?/C。因此1≤δ≤δM。

引理5 設(shè)s=(q2+1)/2,r=(q2-1)/8。對任意i∈{1,3,…,2n-1},Ci可以表示為{ks-2rα,ks+2rα},其中,k、α滿足下列情況之一:

(1)k∈{1,3,…,2r-1},α∈{0,1,…,2k}。

(2)k∈{2r+1,2r+3,…,4r-1},α∈{0,1,…,2r-1}。

證明對任意i∈{1,3,…,2n-1},由帶余除法知,存在整數(shù)u、v,使得i=2ur+v,其中:u∈{0,1,…,q2};v∈{1,3,…,2r-1}。于是有：

iq2≡2urq2+vq2≡-2ur+vq2(mod 2n)。

下面分2種情況討論:

(1) 當0≤u≤4v時,有

0

注意到：

i=2ur+v=vs+(u-2v)2r,

-2ur+vq2=vs-(u-2v)2r,

令k=v,α=u-2v,則

Ci={ks-2rα,ks+2rα},

其中:k∈{1,3,…,2r-1};α∈{0,1,…,2k}。

(2) 當4v+1≤u≤q2時,有

-2n<-2ur+vq2≤-2r(4v+1)+

vq2=v-2r<0。

注意到i=(v+2r)s+(u-2v-4r-1)2r,-2ur+vq2=(v+2r)s-(u-2v-4r-1)2r,令k=v+2r,α=u-2v-4r-1,則

Ci={ks-2rα,ks+2rα},

其中:k∈{2r+1,…,4r-1};α∈{2k-8r,…,8r-2k}。

由Ci中元素的對稱性可得α∈{0,1,…,8r-2k}。

(1)k為奇數(shù)且1≤k≤2λ-1,0≤α≤2k。

通過引理6,可以計算定義集T中滿足條件1≤i

T(δ)=-8λ2+18λ-5+(λ-1)×

(2)

證明當λ≥1時,在引理6的情況(1)中,組成T的分圓陪集中單元素集有λ個,故滿足情況(1)條件的元素數(shù)目為3+(4λ-1)/2·λ·2-λ=4λ2+λ。

情況(2)中組成T的分圓陪集中單元素集有(λ-1)個。注意到:

滿足情況(2)的元素數(shù)目為:

(λ-1)(5-12λ)。

兩者相加即得等式(2)。當λ=0時,不存在滿足引理6的分圓陪集的單元素集,此時T(δ)=0。綜上,得到結(jié)論。

現(xiàn)在可以確定定理1中負循環(huán)BCH碼的維數(shù),進而利用厄米特構(gòu)造法得到量子碼。

證明由定理1知,C是厄米特對偶包含碼。由引理7知,dim(C)=n-(2δ-T(δ))=n-2δ+T(δ)。再由引理2知,d(C)≥δ+1。因此,C是參數(shù)為[n,n-2δ+T(δ),≥δ+1]的厄米特對偶包含碼。根據(jù)引理3,由C可以得到參數(shù)為[[n,n-4δ+2T(δ),≥δ+1]]的q元量子碼。

例1 當q=5時,根據(jù)定理2,可以得到參數(shù)如下的五元量子碼:

[[78,78-4δ,≥δ+1]],1≤δ≤6;

[[78,78-4δ+2,≥δ+1]],7≤δ≤8;

[[78,78-4δ+6,≥δ+1]],10≤δ≤11。

當7≤δ≤12時,文獻[13]中量子碼的參數(shù)為[[78,78-4δ,≥δ+1]]。顯然,定理2得到的量子碼均優(yōu)于碼表中所給的量子碼;同時也得到一個新的五元量子碼[[78,36,≥14]]。

3 結(jié) 論

本文研究了Fq2上的長為n=(q4-1)/8的負循環(huán)碼,其中q≡1(mod 4),通過研究分圓陪集的性質(zhì),得到設(shè)計距離δ的負循環(huán)碼為厄米特對偶包含碼的一個充要條件;進一步確定了厄米特對偶包含負循環(huán)碼的確切維數(shù),并由此構(gòu)造了參數(shù)良好的量子碼。一個值得探討的問題是利用其他類型的常循環(huán)碼構(gòu)造參數(shù)優(yōu)良的量子碼。