基于嶺回歸正則極限學習機的OFDM系統信道估計

袁偉康，解志斌，陳 磊，楊紫薇

(江蘇科技大學 海洋學院，江蘇 鎮江 212003)

0 引言

正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)是在頻域內將信道分成若干正交子信道，將串行數字信號轉換成許多并行的數據信號流，并分別調制到每個子信道上進行傳輸的一種傳輸方式。目前，通常需要執行高階調制，以達到提高傳輸速率的目的，這對于OFDM系統的信道估計的時效性和精確性提出了更高的要求。

現有的OFDM系統信道估計方法主要有非盲信道估計和盲(半盲)信道估計。在非盲信道估計的方法中，最小二乘(Least Squares, LS)算法計算簡單、復雜度低，不需要信道的任何先驗信道信息，在實際中被廣泛使用[1]。然而，由于需要通過插值獲取信道狀態，導致LS算法的估計性能較差。文獻[2]提出的線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error, LMMSE)算法優于LS算法，但是需要信道的先驗統計信息，且計算復雜度較高。基于壓縮感知的信道估計方法，則被廣泛認為可以從稀疏性角度優化導頻資源的同時，保證信道估計的MSE性能[3-4]。在盲(半盲)信道估計方法中，為了減少資源的開銷，文獻[5]提出一種基于預編碼的修正聯合盲信道估計算法，文獻[6]則提出一種基于變分貝葉斯推斷的半盲信道估計算法。盲與半盲信道估計的方法相比，節省了頻譜資源，但是估計性能較差。

近年來，利用不同神經網絡進行信道估計的方法也成為研究熱點。信道估計在系統的角度來看，可作為一個尋找非線性回歸的問題，并將信號國通信道傳輸視為一個數學過程。同時，多徑信道的系統可以建模為一個自回歸問題，并且這個問題可以很好地適用于頻域選擇性衰落的信道模型[7]。因此，信道估計的問題就轉變為求解自回歸系數的問題，通過確定網絡自回歸系數，進而得到網絡模型進行信道估計。文獻[8]采用長短時記憶網絡(Long Short-term Memory, LSTM)，在信道估計中學習信號之間相關性并進行預測，達到提高整體估計性能的目的，但是存在估計速度慢的不足。文獻[9]提出了一種利用極限學習機進行信道估計的方法，解決了其他神經網絡中的迭代時間過長等問題，但是會產生網絡權值矩陣無法求解的情況。

本文提出了一種基于嶺回歸正則極限學習機(Regularization Extreme Learning Machine, RELM)的OFDM信道估計算法，改進了一個基于極限學習機的信道估計網絡模型，在損失函數中增加L2范數，使損失函數正則化，再利用嶺回歸算法求解極限學習機的輸出層狀態參數，得到一個適用于信道估計網絡的回歸模型，從而避免發生權值矩陣無法求解的情況。同時，與反向傳播網絡相比，省去訓練過程中迭代的大量時間。同時利用神經網絡可以學習得到回歸模型權值矩陣的最優解。

1 系統模型

1.1 OFDM系統模型

考慮設計一個OFDM系統，如圖1所示。假定導頻信號及其狀態已知。

圖1 OFDM系統框圖

在一個OFDM符號時間內，令子載波上導頻處信道響應向量為h=[h(1),h(2),…,h(Np)]T。其中，第k個子載波上導頻的符號為x(k)，令發送矩陣為X=diag[x(1),x(2),…,x(Np)]，此時，接收符號向量為：

y=X·h+z，

(1)

式中，z表示高斯白噪聲，服從N(0，σ2)分布。

1.2 網絡模型

極限學習機(Extreme Learning Machine, ELM)屬于一種新型的單隱層前饋神經網絡，具有學習速度快、泛化性好、魯棒性強等特點[10-12]，其基本原理圖如圖 2 所示。

圖2 ELM神經網絡模型圖

針對一個含有n個輸入神經元，i個隱含層神經元和m個輸出層神經元的單隱層網絡，其數學模型可以表示為：

Hβ=T，

(2)

式中，

(3)

式中，H為隨機特征映射矩陣，wi=[ωi1,ωi2,…,ωin]T是隱含層神經元的連接權值，bi是隱含層神經元的偏差(bias)，βi=[βi1,βi2,…,βim]T表示隱含層與輸出層之間的的權值權重，T表示理想輸出，g(x)為激活函數。

隱含層神經元參數(wi，bi)通過任意概率分布隨機生成，因此，隱含層的輸出矩陣H實際上是已知的，且在保持不變。式(1)轉化成了求解線性方程Hβ=Τ的最小二乘解：

(4)

式中，H?表示隱含層輸出矩陣H的廣義逆。

2 基于嶺回歸RELM的信道估計

本節提出了一種基于嶺回歸RELM的OFDM信道估計算法，其系統結構如圖3所示。

圖3 嶺回歸RELM信道估計系統結構模型圖

訓練階段根據映射數據確定初始的訓練集：

Di={(xi,ti)|xi∈Rn,ti∈Rn}，其中xi表示導頻發送信號，ti表示接收端導頻信號，i=1,2,…,n。本文選用Sigmiod函數為激活函數，表達式為:

(5)

在訓練過程中，由系統隨機產生輸出層和隱含層之間的連接權值矩陣wi和隱藏層節點的偏置矩陣bi，對于輸入的數據進行預處理，神經網絡函數可以通過βi，wi，bi，xn表示為：

(6)

常規極限學習機隱含層到輸出層間的權值矩陣常采用求逆解出，但由于傳輸矩陣可能出現不滿秩，從而產生對傳輸矩陣無法求逆等情況，影響網絡權值矩陣的求解[13-15]。針對這一問題，本文在單隱層至輸出層的環節增加L2范數，使其損失函數正則化，從而取得更符合實際、更可靠的回歸矩陣，對于病態數據的擬合更強。

傳統極限學習機的輸出層損失函數為:

(7)

通過加入懲罰因子構成的L2范數α‖β‖2，得到正則化損失函數為：

(8)

式中，α為懲罰因子，α∈(0,1)。令式(8)為0，此時所需輸出層傳遞矩陣β*可以表示為：

(9)

利用嶺回歸方法，對式(8)進行求導，可以得到：

(10)

當式(10)等于0時，可以得到：

β*=(XTX+αI)-1XTT，

(11)

式中，β*為適合該信道估計網絡的最優輸出矩陣權值。

(12)

式中，Φ表示信道估計網絡對信號的處理過程。

3 評估準則與復雜度分析

3.1 評估準則

本文通過誤碼率(Bit Error Rate, BER)以及信道估計均方誤差(Mean Square Error, MSE)來評價所提算法估計質量[16]。令H*表示信號的實際狀態矩陣，則信道估計均方誤差表達式為：

(13)

3.2 算法復雜度分析

表1對LS信道估計算法、LMMSE信道估計算法、基于BP的信道估計算法以及基于嶺回歸RELM的信道估計算法在一個OFDM符號時間的信道估計過程中的復雜度進行了比較，其計算以進行一次乘積運算的次數為參考[17]。

表1 算法復雜度比較表

由表1可以看出，基于BP和嶺回歸RELM的信道估計算法在各連接層之間只需要進行簡單的乘法運算，復雜度與LS信道估計算法相當，但均低于LMMSE信道估計算法[18]。特別地，對比基于BP與基于RELM的信道估計算法，由于BP算法需要通過迭代對網絡權值進行修正，從而達到設定的閾值并結束訓練。而嶺回歸RELM算法可以在給定隨機生成初始值的情況下直接求解得到網絡的信道參數，因此，其訓練時間遠低于BP算法。

4 仿真與分析

為了評估所提算法性能，本節將不同網絡參數下的嶺回歸RELM網絡信道估計BER與MSE性能進行仿真分析，同時還選取了基于嶺回歸RELM、ELM、BP的信道估計算法，以及傳統LS信道估計算法，在相同仿真參數下對于BER和MSE性能進行進一步對比，本文在Matlab 2020a環境下進行仿真。

本文所構建的網絡模型層數為3層：輸入層、隱含層和輸出層，每層神經元的個數為分別為16、128、16。系統樣本數量為30 000，其中80%作為訓練數據集，20%作為測試數據集。系統的仿真參數設置如表2所示。

表2 系統參數設置表

圖4展示了LS算法，基于ELM、BP以及嶺回歸RELM的信道估計算法在不同信噪比下的MSE性能。

圖4 不同信道估計方法的MSE性能對比圖

由圖4可以看出，不同估計方法的MSE性能隨著SNR的增加都呈現下降的趨勢，其中，本文所提出的基于嶺回歸RELM的信道估計算法MSE性能具有明顯的優勢，而LS算法性能最差。由分析可知， LS算法信道估計過程中是忽略了噪聲的影響，所提算法與基于BP的信道估計算法相比，可以獲得神經網絡輸出層權值函數的全局最優解，因此估計階段可以取得更優的估計性能。本文所提算法在訓練階段利用L2正則化，與基于ELM的信道估計算法相比，可以實現更高魯棒性，更好地擬合出回歸模型，因此具有最好的估計性能。

圖5給出了不同信噪比情況下，4種信道估計方法的BER性能圖。由圖5可知，隨著信噪比的提高，誤碼率均呈現出下降的趨勢。在高信噪比的情況下，本文提出的信道估計算法具有明顯的優勢。在20 dB時，本文所提出算法誤碼率為1×10-3，而LS算法則為3.5×10-2，基于BP的信道估計算法為0.6×10-2，基于ELM的信道估計算法為1×10-2。

圖5 不同估計方法下的BER性能對比圖

由圖6可以看出，在改變導頻數量的情況下，本文所提算法的MSE性能均隨著信噪比的提高而提高。同時，導頻數量越多，本文所提算法在相同信噪比的情況下，MSE性能越好。但導頻數量的增加也會引起頻譜資源占用過多的情況。

圖6 不同導頻數量時的MSE性能對比圖

圖7展示了導頻數量分別為8、12、16情況下本文所提算法的誤碼率情況，從圖中可以看出，隨著導頻數量的增多，所提算法誤碼率降低。但是，導頻數量過多會導致頻帶利用率下降。因此，在系統設計中，需要對BER的性能要求和頻帶利用率進行綜合考量。

圖7 不同導頻數量時的BER性能對比圖

5 結束語

為了進一步改善OFDM信道估計性能，本文提出了一種基于嶺回歸RELM的信道估計算法。改進算法可以解決傳統極限學習機權值參數無法求解的問題。同時，所提算法通過嶺回歸優化極限學習機，取得最優的輸出矩陣權值參數，進而完成信道估計。由仿真結果可以明顯看出，相較于LS算法、基于BP的信道估計算法以及基于ELM的信道估計算法，本文所提算法可以實現更低的系統均方誤差，達到更低的誤碼率，具有更高的估計準確度。