積分教學中的反例及其應用

重慶師范大學數學科學學院 柳彥軍

反例在實分析教學中非常重要，教學中熟練運用逆向思維，從不同的角度可以讓學生更好地理解數學概念、定理等，由“特殊”可發現“一般”，又可由“特殊”否定“一般”，因此，構造反例遵循的原理是由“特殊”否定“一般”。實分析教學中通過構造反例，能使學生更加直觀地理解測度、幾乎處處收斂、依測度收斂等概念，更加深刻地描述所有定義及其性質，并突出定義成立的條件，同時，構造反例，可以深刻理解Lebesgue積分與Riemann積分的關系。在實分析中，Riemann積分是有局限性的，1902年，法國數學家Lebesgue在他的博士論文《積分、長度與面積》中，最早把測度論引入積分當中，使得可積函數更加廣泛，建立了Lebesgue積分論。為了更清楚地區分Lebesgue積分與Riemann積分，突出Lebesgue積分的性質，在實分析教學中，反例的構造可以區分清楚細微的概念與定理內容。

一、利用定義構造反例

實分析教學中可測函數與連續函數的關系可以利用定義構造反例說明。

定義設f（x）是定義在可測函數集Rn，E?Rn的實函數。若對任何有限實數a，E［f＞a］都是可測集，則稱f（x）為定義在E上的可測函數。

可測集E?Rn，定義在E上的連續函數是可測函數，但是逆命題并不成立，可以利用特例構造法，即考慮特例狄利克雷函數：

則對任意的有限實數a，有三種情形：

當a≥1時，E［D（x）＞a］＝0；

當0≤a＜1時，E［D（x）＞a］＝Q；

當a＜0時，E［D（x）＞a］＝R。

因此，按照定義D（x）是可測函數，但顯然狄利克雷函數是不連續函數，于是該反例表明可測函數不一定是連續函數，進一步，兩者的關系可由魯津定理說明。

二、利用性質構造反例

由反例本身的性質特征，根據一定的數學知識技能進行反例構造。

比如，絕對值可測與函數本身可測的關系。若函數f（x）可測，則函數｜f（x）｜亦可測；反之則不能成立。例如，設E為區間［0，1］的可測集有函數：

如定義所示｜f（x）｜＝x，而｜f（x）｜在區間［0，1］上是連續函數，所以｜f（x）｜在區間［0，1］上為可測函數，但f（x）在區間［0，1］不是可測函數。原因是當x∈［0，1］-E時，定義域為不可數集，所以f（x）為不可測函數。

再如，可測函數的運算表明函數f（x），g（x）在E上為可測函數，則f（x）+g（x），f（x）*g（x）亦可測，逆命題則不成立。

例如，在Rn中取不可測集E有函數：

于是有f（x）+g（x）＝0，f（x）*g（x）＝0，則f（x）+g（x），f（x）*g（x）為可測函數，但f（x），g（x）均不可測。

三、通過反例理解重要定理

一致收斂定義在連續函數內，幾乎處處收斂運用于可測函數內，這兩種定義之間的關系可以用葉果洛夫定理來闡述。

定理內容：設mE＜∞，｛fn（x）｝是E上一列幾乎處處收斂于一個幾乎處處有限的函數f（x）的可測函數，則對任意δ＞0，存在子集Eδ?E，使得｛fn（x）｝在Eδ上一致收斂于f（x），且m（E-Eδ）＜δ。

根據葉果洛夫定理，當mE＜∞時，除去一個測度任意小的點集，幾乎處處收斂的可測函數為一致收斂。但是，葉果洛夫定理中的條件“mE＜∞”是不可或缺的，當mE＝∞時，葉果洛夫定理不成立。

例如，設E＝［0，+∞），構造函數如下：

則{fn（x）}在E上可測，且處處收斂于f（x）＝0。

例如，取E＝[0，1] ，有函數列：

則該分段函數為閉區間 [0，1] 上的連續函數，所以也是區間 [0，1] 上的可測函數，對于所有的x∈E，，因此滿足葉果洛夫定理的各個條件，但沒有測度為零的集合e?E，使得{fn（x）}在集合E上一致收斂于零。

除了幾乎處處收斂，實變函數中還有一種收斂的定義：依測度收斂。

定義：設函數{fn（x）}是定義于集合E的一列幾乎處處收斂有限的可測函數，若有集合E上幾乎處處收斂的可測函數滿足f（x）對任意的ε＞0，存在正數N（ε，σ），使得n≥N（ε，σ）時，ε。那么由幾乎處處收斂是否能得到依測度收斂？并不能直接得到。

設E＝[0，+∞) ，令則對所有x∈ [0，+∞) ，有，但對于0＜ε＜1，有，所以mE［｜fk-1｜≥ε］＝+∞，因此{fn（x）}不能依測度收斂于1。

四、反例在Lebesgue可積概念中的應用

若函數在區間[a，b] 上R可積，則f（x）在[a，b] 上Lebesgue可積，但是反之不成立。

例如，在區間[0，1] 有函數：

則根據定義，函數f（x）在區間[0，1] 上Lebesgue可積，但是由于在區間 [0，1] 上處處不連續，所以函數f（x）在區間上Riemann不可積。

通過證明，我們知道了Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，對于非負函數來說Lebesgue積分亦是Riemann反常積分的推廣，但Lebesgue積分在一般情況下未必是Riemann積分的推廣。

例如，令函數：

則函數f（x）在x∈ [0，+∞) 上R反常積分收斂且，但是

五、結語

相比Riemann積分，Lebesgue積分有著更多優勢。其一，Lebesgue積分不需要分別處理有界函數與無界函數，而在Riemann積分中，只能通過定義廣義積分來解決無界函數的積分問題；其二，Lebesgue積分大大擴充了可積的范圍，如點集、某些不可列實數集、無理數集等，類比有理數向實數的擴充，并不是所有集合都是可測集合，但相對Riemann積分意義下的集合，已經有了較大的進步；其三，Lebesgue積分提出了不同于Riemann函數的收斂定理——葉果洛夫定理，提出幾乎處處收斂的概念，該定理應用的范圍不但更加廣泛，而且相對于Lebesgue積分更加實用。綜上三步，Lebesgue積分解決了Riemann積分的不足，并進行了一定的擴充，為后來的多種相關分支學科打下了堅定的基礎。

實分析教學中的數學理論知識與許多后續課程學習密切相關，所以教學中的細微概念必須嚴格區分。在此過程中，反例對定義、概念的理解尤為重要。