概念隱喻:小學數學概念表征的新路徑

●曹江峰

一、釋義：兒童認知理論下的“概念隱喻”與“概念表征”

（一）兒童認知理論下的“概念隱喻”

“概念隱喻”一詞最早出現在Lakoff &Johnson的《我們賴以生存的隱喻》一書中。基于概念隱喻理論下的隱喻是由具體的概念域向抽象的概念域的系統映射。

形成基礎。概念隱喻的本質是兒童根據已有的具體的、可視的、可感的概念去理解抽象的概念。從形成基礎的角度來看，抽象概念的形成基礎是兒童先有的具體的、可視的、可感的前概念。所以，已有的具體概念就成為兒童理解抽象概念的“腳手架”，兒童的思維沿著它一步一步走向抽象、獲得發展。

隱喻機制。隱喻是兒童將已有的具體概念投射到抽象概念并相互融合的過程。這個隱喻投射的過程，其實就是兒童對已有的具體概念進行深加工的過程，是概念由低級向高級發展的過程，更是兒童不斷完善和豐富認知范圍的途徑。

概念聯系。抽象概念是具體概念的升級版，兩者互相依存，密不可分。抽象概念通過兒童具體的內部心理表征和外部的言語表征得以體現；同時兒童的這些具體表征是抽象概念邏輯中不可或缺的組成部分。

加工過程。抽象概念的形成過程伴隨著體驗。通過概念隱喻對抽象概念編碼，形成與具體概念相關的結構圖，激活個體的身體活動和感知經驗，形成抽象概念表征的思維基礎。

從以上四個維度對“概念隱喻”進行深入剖析可以看出，“概念隱喻”不僅是兒童的基本思維方式，更是兒童對概念進行深入理解、抽象的意義建構過程。

（二）兒童認知理論下的“概念表征”

“概念表征”是指兒童對獲取的外部概念進行內部加工（輸入、編碼、轉換、存儲和提取等）時，概念以表征的形式在頭腦中出現。表征是兒童對概念的心理反映，又是被兒童心理加工過的概念。

形式。概念表征的形式多種多樣，不同的兒童對同一個概念的表征形式可能不同。內在表征，比如對概念的意象；外在表征，比如兒童通過語言、動作、文字、圖畫、符號等進行多感官表征。無論是內在表征還是外在表征，它們都具有相應的多元性。

層次。Lakoff 和Johnson 認為，理性是在不斷進化的，抽象的理性是建立在直覺和運動推理形式之上并且使用這些直覺和推理形式。在兒童對具體概念進行實際表征的過程中，所謂的層次性突顯得不是很明確和清晰，比如，即使到了兒童符號表征的階段，感知動作和聽覺系統可能也同時發揮著重要的作用。

在數學概念學習的過程中，學生可以運用原型、實物或具體描述來理解數學概念，但是如果僅憑這些個人經驗來解釋數學概念，就和數學本質之間產生了矛盾。數學概念具有層次性和階段性的特征，學生學習概念經常要經歷從一個層次向另一個層次的遞進、從一個階段到另一個階段的深入。這種概念層次的轉變也是思維水平突變的時候，考驗的是學生對于概念的理解，一旦成功就會達成質變。例如，假分數的學習能讓學生加深對分數的理解。學生在表征時需要遵循層次性的要求就是因為數學概念本身存在的層次性和階段性特征。隨著學生表征的思維水平不斷提高，隱喻概念也會隨之表現出逐漸明顯的層次特征。

二、實踐：隱喻認知下小學數學概念表征的新路徑

Lakoff 和Johnson 在其《我們賴以生存的隱喻》一書中介紹了方位、本位和結構隱喻在兒童對概念理解和抽象過程中發揮的作用。筆者從方位、本位和結構隱喻中分別選取了基于身體經驗的動作隱喻、語言類比的語言隱喻和抽象概括的概括隱喻三個類型，并結合具體的案例來詮釋小學數學概念表征的新路徑。

（一）動作隱喻

身體是兒童感知外界的中心。兒童作為具有思維的活動主體，在理解概念時，是以自我為中心實現對概念的認識與表征的。動作比畫是兒童理解抽象概念的外在表現形式，通過運動感知的過程逐漸建立動作與概念之間的邏輯關系。這種動作的隱喻認知不是憑空產生的，隱喻的推理價值讓兒童運動經驗亦具有不容小覷的數學意義。

案例1：蘇教版三年級數學下冊“認識面積”單元中，有一道有關灑水車灑水的問題。一輛灑水車每分鐘行駛70 米，灑水寬度是9 米。問：灑水車行駛5分鐘，灑水的面積一共有多少平方米？

點動成線，線動成面，面積的認識是兒童的認識經驗從一維到二維的跨越。在他們的腦海中很難建立起灑水車灑過地方的形狀可以近似是長方形的表象。這樣的表象建立不起來，說明兒童的認識經驗從一維到二維的跨越是生硬的、蹩腳的。在執教本節課時，筆者把黑板分成三塊，讓每一個孩子親身經歷了用黑板擦沾水把黑板慢慢擦干凈的過程。然后再回答灑水車灑水的問題，孩子們自然就明白了這就和剛才擦黑板是一樣的，灑水車走過的地方是長方形的。細細回味孩子們自然、流暢地揮動著胳膊用黑板擦從上到下慢慢擦黑板的動作，原來簡單的動作里面還隱喻著長方形的清晰表象。所以，動作不僅是一種隱喻的顯性表達，還是孩子們動態思考、加深理解，形成直觀感覺、感性經驗的基本表征的生動表現。

(二）語言隱喻

語言是交流和溝通的橋梁。有效的教學應該為孩子們架起一座由孩子個體樸素思考通向數學本質的橋梁，讓孩子們的思維在這座橋梁中自由、自主地發生和發展。Lakoff 和Johnson 認為，有著豐富想象空間的隱喻性語言可以喚醒孩子們無窮的創造力，孩子，對隱喻性語言進行個性化解讀的過程其實就是新的意義不斷產生的過程。它不僅是一種語言，還是一種易于孩子們接受的新的認知方式。

案例2：兒童在三年級第一次接觸分數時，他們通過折紙、涂色表示出“半個”，然后自主閱讀明白“半個”用“”記錄，2 叫分母、1 叫分子等知識后，便有了下面的一段對話。

生：老師，為什么要把分母寫在分數線的下面，分子寫在分數線上面呢？

師：對呀，這個問題老師也想知道呢？（一片寂靜）

生：先有媽媽，再有孩子，怪不得讀作“二分之一”，不讀“一分之二”。

分數的各部分名稱是人為規定的，學生只需識記就可以了。但是如何讓冰冷的識記充滿濃濃的數學味和生活味值得每位教師思考和研究。孩子們把分母隱喻成“母親”、分子隱喻成“孩子”，在這樣的隱喻后，分數的寫法就變成了“母親背著孩子”的隱喻情境。在這個有關分數的隱喻中，其已不再單純是分數寫法的隱喻，還包含著分數讀法的隱喻。雖然孩子們那種有點模糊的兒化的表達不能代替精確的數學語言，但是在這個案例中，就是那種模糊的兒化的隱喻與準確的數學概念的合理類比顯示出了語言隱喻的豐富內涵。

(三）概括隱喻

概括能力是發展兒童智能的基礎。兒童有意識將自己的習得進行抽象概括的過程就是完善自身認知結構的過程，其實也就是將具有聯系的顯性知識概括隱喻的過程。概括的學習就是意義學習、概念隱喻，所以培養學生的概括能力對概念的深度理解有著重要的作用。

案例3：在蘇教版三年級數學下冊“認識一個整體的幾分之一”教學中，孩子們經過對二分之一和六分之三的意義進行辨析后明確，一盤桃（6 個桃）平均分成兩份，其中的一份用“”表示。（如圖）

追問：“如果盤子里不是6 個桃，你還能用數形結合的方法表示“”嗎？

學生部分作品如圖：

提問：這三幅圖有什么相同和不同的地方？

結合學生回答完成板書：

一個整體的二分之一是三年級上冊“一個物體或圖形的二分之一”的拓展和延伸?？梢姟啊边@個概念對于三下的孩子并不陌生，但是從一個物體到一個整體跨越的同時，“”這個“舊”概念就有了“新”內涵。細細品味孩子們富有個性的“圖”可以發現“”的“影子”。將孩子的多幅作品放在一起，孩子們自然建構起了“新”“舊”之間的聯系，打通了它們之間的“任督二脈”，從而讓“”的影子變得有血有肉豐滿起來了。可見，抽象的概括隱喻是豐富完善認知結構的重要途徑。

三、反思：小學數學概念隱喻認知的影響因素及建議

概念在小學數學的知識體系中舉足輕重，有關概念學習的研究也在不斷深入。隱喻認知是概念表征的一種新路徑，盡管不少教師在概念教學中可能已經無意識地滲透了這種方法，但遺憾的是其優勢還沒有引起教師的足夠重視，其運用過程背后可能“潛伏”的不利因素還沒有被發現。因此，為了讓概念隱喻更好地為學生的學習服務，需要充分挖掘其影響因素，對此筆者結合實踐提出幾點建議。

（一）影響小學數學概念隱喻認知的因素

1.傳統概念表征理論

基于概念表征的研究不難發現，傳統概念表征主要從學生角度和概念表征的角度影響著兒童對概念的學習。

如上圖所示，我們不妨從內部與外部兩個角度來研究影響概念表征的因素。首先，從數學的學科特性來看，符號運算是數學概念學習的基礎，學習的是概念之間的邏輯與推理關系，因此，推崇結構化學習是目前概念學習的主流模式。其次，通過教具、符號、變式等不同形式增加學習的次數，可在一定程度上疊加概念學習的效果，幫助學生理解概念的內涵以及外延。最后，現代小學生的生活經驗非常豐富，何種經驗以何種方式有助于轉化為利于學生學習的“先行組織者”，需要教師以了解學生的生活和心理為前提進行預測和調整。

2.教師理論水平與實踐能力的脫節

一線教師在實際教學中更加注重提高教學效率。即相對于教學理論而言，行之有效的方法與技能更受教師們的青睞。在教師理論水平與實踐能力出現脫節的當下，想要教師充分理解隱喻背后的內涵以及在教學中的妙用，是需要時間積累的。不僅如此，隱喻認知在教科研方面的研究抓手也較少，隱喻作為認知方式的一種并沒有走進大眾的視野，需要更多的從業者關注并持續地輸出觀點。

3.極具個性化的認知方式

隱喻對于概念的理解順序是由內而外的，對比目前普遍的由概念自身出發建立理性理解的方式，顯得較為“感性”。其“感性”表現為深受人、環境以及語言的影響，而每個學習者在這三個方面都是有差異的，并沒有一個統一且明確的范疇。由于內部認知具有強烈的個性化標簽，學生也是根據自己對概念的理解進行表征的，這些表征對于學生自己而言是正向的、能被理解的。但對于其他學生而言，可能就包含了更多甚至混雜了對立的信息，導致不同的學生產生不同的認知。因此，如何固定學習方法以及明確學習結果是隱喻認知發揮其對學生獨特價值的前提。

（二）小學數學概念隱喻認知的學習建議

1.利用多種隱喻方式觸達數學本質

隱喻的一個重要特點是其具有隱蔽性。因其隱蔽性，隱喻很容易被學生接受并學習；也因其隱蔽性，往往需要多種且多次的隱喻表征，才能使復雜且抽象的數學概念被學生完全理解。往往找到適當的隱喻不是一件易事。也正因隱喻的這種特性，學生通過隱喻表征理解的數學概念記憶會非常牢固，盡管這種牢固是帶著強烈的個人標簽的，極具特殊性。因此，在通過隱喻理解數學概念時，需要鼓勵學生多樣化表征，幫助學生從個性化的表征中總結和推理出具有宏觀性的數學概念的意義，讓學生的概念學習既深刻又全面，而非淺嘗輒止，亦非獨鉆“牛角尖”。

2.豐富兒童的身體經驗

隱喻要求利用自身熟悉的事物去理解另一種不熟悉的事物。對于兒童來講，動作比畫是兒童理解抽象概念的外在形式，也是他們熟悉事物的好方法。就這樣的特性而言，增加兒童熟悉事物的廣度，不僅有利于其熟悉新事物，還有利于其對已熟悉事物的再認知。這樣的思維加工方式形成了一種基于簡單感知理解抽象概念的學習模式。因此，在平時的學習生活中，教師需要主動地創造機會以豐富學生的認知經驗，并幫助學生在不同的情境中形成多樣化的活動經驗。

3.增加隱喻語言的準確性

數學概念的復雜在于其濃縮性。從眾多對象中總結抽象出事物的本質，這既是難點也是突破點，能抓住概念的精華所在，需要學生對概念進行精細加工。這些精細加工與個人深度學習綁定，使得學生通過隱喻的理解讓記憶變得非常牢固，因此當我們想通過隱喻語言觸及數學語言時，就必須附加上數學概念的精致與準確性，即從本質上理解數學概念的核心。