數學核心概念主動建構的教學設計原則與策略*

無錫市太湖格致中學 陳 鋒 江陰市夏港中學 劉 玉

初中數學核心概念主動建構的教學研究，倡導以學生為本，自主探究、合作交流、師生互動的數學課堂，以概念形成、概念辨析、概念強化、概念應用和概念發展為基本流程，引導學生主動構建概念，體會“核心概念”.其目的就是從知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個方面改進數學課堂教與學的方式，培養學生的數學學科核心素養，發揮數學教育在“立德樹人”的根本任務中“不可替代”的作用.

1 核心概念主動建構的設計原則

(1)情智交融.教師正確運用“情意原理”,激發學生的情感，加強執教者和學習者之間的情感交流，放大學生學習的動機，激活學生對所學內容的好奇心和求知欲，用良好的情意狀態促進認知發展，變學生的消極被動狀態為積極主動狀態.

(2)引導參與.教師正確設計“認知支架”，為學生搭建開放思考和積極探索的平臺，通過學習單設計，引導學生積極參與學習的主動建構，在支架性問題的探索中學會發現和提出問題、分析和解決問題，掌握概念、獲取知識、發展能力.

(3)學法指導.教師正確設計“單元教學”，圍繞單元“核心概念”積極挖掘、補充、整合、重組教材，以基本問題引導學生選擇恰當的方法展開學習，在過程中適時揭示學習展開的路徑和知識生長的脈絡，在活動中學會學習的方法，不斷提高學習能力.

(4)元認知.學生在建構具體知識的過程中，通過對建構過程的再認識，感悟其中所蘊含的基本思想方法.這個過程中教師通過適時的點撥和學生及時的反思、總結、分享、串聯，讓學生把自己的認知過程展示出來，幫助學生體悟到概念性知識中所蘊含的核心概念.

2 核心概念主動建構的設計策略

根據課堂教學實踐，核心概念的教學策略從三個方面展開.第一，根據核心概念的特點進行教學內容分析，即從備課、學生預習、課堂生成內容等方面進行分析.在此基礎上，認真思考哪些教學內容和方法是學生建構核心概念最感興趣的，哪些核心概念是學生已經知道的，哪些核心概念是學生經過自主學習可以主動建構的，哪些核心概念是需要教師引導點撥才能建構的，哪些核心概念是學生目前無法認知的.在備課時要盡可能考慮周全，在上課時作出準確的判斷，進而采取正確的對策.第二，教學內容的選擇和整合.根據不同的核心概念，在課堂教學中圍繞核心概念主動建構應該選擇什么教學內容，怎樣選擇教學內容，教學內容可以作怎樣的整合.第三，根據學生特點和核心概念的特征確定教學方法.不同的學生、不同的班級具有不同的特點，不同的內容領域體現不同的核心概念，有相應的教學方法和不同的設計策略.如何通過恰當的設計策略，讓更多的學生徹底理解學科中真正重要的“核心概念”，這正是策略研究要重點解決的問題.用明確的核心概念來引領教學，清晰界定預期結果，預設結果達成的證據集合，指導教學內容和教學方法選擇.

3 核心概念主動建構教學設計案例

下面分別在初中數學“數與代數”“圖形與幾何”“概率與統計”“綜合與實踐”四大領域各擷取一例說明核心概念主動構建的設計原則與策略的具體應用.

3.1 案例1 因式分解

(1)對核心概念的簡要說明

“因式分解”是多項式乘法的逆運算，是一種重要的計算方法，是初、高中化簡運算的基礎.“因式分解”的概念不難理解，但為什么要因式分解？對這個綜合“數感”“符號意識”“運算能力”的問題，可以引導學生經歷主動建構的學習過程來達成.

(2)主動探究的建構流程

1)嘗試性計算——直觀感受

問題1 你能用幾種不同的方法計算1002-992？

請幾位學生回答，得出如下3種方法.

法1：直接計算.1002-992=10 000-9801=199.

法2：轉化法.1002-992=1002-(100-1)2=1002-1002+2×100-1=199.

法3：逆用公式法.少數思維靈活的學生能聯想到平方差公式，即1002-992=(100+99)(100-99)=199×1=199.

2)對比式感知——算法比較

問題2 你認為哪種計算方法更簡單呢？(學生對比后普遍感到法3更簡單.)

問題3 哪位同學能把法3用含有字母a,b的算式表示出來呢？

學生根據以上例子，得出a2-b2=(a+b)(a-b).

3)一般化定義——建構認知

(教師記上式為①，記a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)為②，記x2-2xy+y2=(x-y)(x-y)為③.)

問題4 仔細觀察等式①②③，左右兩邊有什么共同特征？

在教師的引導下，學生得出“左邊是一個多項式，右邊是兩個多項式的乘積式”的結論.

教師順勢提出了“因式分解”的概念.

…………

(3)主動探究的建構評說

上述教學過程是用一組問題對“因式分解”定義的由來進行的一次主動建構.問題1是一個開放性問題，有利于激起學生探究的興趣.問題2引導學生在對比中獲得對核心概念的初步認識，激發認知需求，從而促使學生主動同化和順應.問題3是通過經歷“從特殊到一般”的過程，培養學生的抽象概括能力.問題4是引導學生全面掌握公式的結構特征，從而自然地提出“因式分解”的概念.這一建構過程，不僅能深化對“因式分解”概念的理解，而且體現了學生學習的主體性、主動性.

3.2 案例2 三角形的三條重要線段

(1)對核心概念的簡要說明

關于教材中的中線、角平分線、高等概念，如果只進行簡單介紹，那么學生對概念的理解是淺顯、不深刻的.同時，對學生“幾何直觀”“空間觀念”“推理能力”等核心素養的培養也是不利的.為此，我們考慮設置一個主動探究建構的過程.

(2)主動探究的建構流程

1)畫圖探究——促直觀

上課伊始，教師請學生拿出紙尺和筆，與學生一道回顧已學過的“角平分線” “垂線”的畫法，讓學生在操作中體會、喚醒.

再提問：如圖1，點P在△ABC的邊BC上運動，當P運動到什么位置，會有一些“特殊”的線段？(學生畫圖探究.)

圖1

2)類比定義——建互聯

師：類比學過的角平分線、垂線、中點等定義，嘗試給這些“特殊”線段下定義.

學生經過片刻思考后，喚起回憶，陸續表述三角形的角平分線、垂線、中線的特征，但敘述不完整.

3)完善定義——助推理

在教師的引導下，學生相互補充、完善，得到三條重要線段的概念，引導學生將概念轉化為幾何語言，以幫助學生真正理解概念的本質，從而更好地運用概念……

(3)主動探究的建構評說

這一環節的主動建構側重于核心概念的發生過程，讓學生先復習舊知，帶著問題，在操作中去探究、去發現.這樣，激活了學生已有的認知經驗，再用問題驅動學生主動建構.第一步通過學生在圖形上自主嘗試、探究，給予他們感受、體驗的時間；第二步通過類比舊知，初步感悟核心概念，引導學生感悟類比是探究發現的重要途徑；第三步借助圖形，通過交流反思，補充完善概念，幫助學生把新的問題“同化”到已有的認知結構中.通過主動建構讓學生在動態中理解核心概念、把握核心概念的本質.

3.3 案例3 七年級“統計圖表”

(1) 對核心概念的簡要說明

統計圖是數據分析、描述的核心概念，同樣的數據可以用不同的方法進行分析，不同的統計圖也各有優勢.這些都需要在全面細致的讀圖過程中讓學生體悟到.如果教師不重視，那么學生的“數據分析觀念”就得不到有效培養，“應用意識”“創新意識”的培養也會落空.

(2)主動探究的建構流程

1)激活探究欲望——直觀感知

小王應聘時，經理說：“我們公司股東和員工‘有福共享、有難同當’，從2010年到2012年員工的工資總額增加了5萬元，股東工資總額也只增加了5萬元.”經理拿出了三年的工資總額統計圖(圖2)給他看.

師：如果你是小王，你會怎樣判斷？

2)引導整體觀察——深化分析

圖2

師：圖2中兩條折線告訴我們什么?

師：從圖2中2010年、2011年、2012年的數據你發現了什么？

3)逐漸深入細節——重構認知

師：看統計圖是先要觀察什么？

生3：看它的橫軸表示什么，縱軸表示什么.

師：那圖中橫軸和縱軸分別表示什么呢？

生4：橫軸表示年份，縱軸表示工資總額.

師：那統計圖中的橫軸、縱軸給你提供了哪些信息？

生5：觀察上面的統計圖，我發現員工工資總額2011年比2010年多了2.5，2012年比2011年也多了2.5，所以畫出來按橫坐標是年份，縱坐標是總額的話它是一條直線.那么股東的總利潤也是每年增加2.5，也是一條直線.那么這兩條直線顯然傾斜程度是一樣的，是兩條平行線.

師：很好，觀察得很仔細，有沒有同學發現這兩條線的起點是不同的.那他們的增長率一樣嗎？你知道他們的增長率分別是多少嗎？

(3)主動探究的建構評說

教師利用上述一系列遞進式的“元認識的提示語”，引導學生在自己的認知沖突中一步一步地去主動建構核心概念，并針對學生可能遇到的困難進行預設—教師對統計圖的讀法進行方法指導.這些都體現了教師心中學生的教學價值取向.教學中，教師不斷滲透讀統計圖的方法，使得學生的感知、操作、對比等能力在活動中得到發展，“數據分析”這一核心概念就會潛移默化地在學生心中滋生.這樣主動建構既培養了學生的數據分析能力，也使學生體會到統計知識應用于生活，進而建立“數據分析觀念”.

3.4 案例4 設計包裝紙箱

(1)對核心概念的簡要說明

綜合與實踐課存在教學內容難以把握、教學目標難以確定、活動程度難以控制、評價標準難以掌握等問題，導致了學生“應用意識”“模型思想”等核心概念的培養成效甚微.為此，對于“設計包裝紙箱”的數學活動課我們設置一個主動探究建構的過程.

(2)主動探究的建構流程

1)動手操作——初步感知

師：同學們，動動手，看看兩個相同的包裝箱可以怎樣擺放，你有幾種擺放方法.

學生分組進行探究，隨后給出3種擺放方式，如圖3：

圖3

師：哪一種設計方案最佳呢？并說明理由.

生2：我選第1種，因為這一種方法將兩個最大的面放在一起，所以整體的表面積就最小.

師：你是怎樣得到這個經驗的？

生2：小學里做手工時知道的.

2)數據驗證——理性求證

師：怎么說明這種擺放方案是最佳的呢？

生4：用數據來說話，計算它們的表面積.

師生共同完成下列表格：

紙箱外觀尺寸長/cm寬/cm高/cm表面積/cm2方案11054220方案22052300方案310102280

師：現在老師相信第一種方案是最佳的設計方案.我們再請生2來說一說他的經驗.

生2：當其較大面積重疊時，包裝箱的表面積較小.

師：如果三盒呢？這時其重疊面積大了，包裝箱比2盒時表面積是否小了呢？

生3：要使得長方體的數量一定時，才成立.

3)合作交流——積淀經驗

師：剛才我們操作了2個、3個，那6個呢？又該如何設計使包裝箱的材料最省？動手擺一擺.

合作要求：①前后4個同學為一組，設計出本組認為材料最省的設計方案.②設計好的小組由組長展示.③組長匯報各組設計的包裝箱的表面積.

學生合作探究，教師巡視.

師：我發現個人的智慧和集體的智慧不一樣哦！還有沒有不同的方案？

小組成果展示6種(如圖4).

圖4

學生根據上面的探究，初步排除了方案4和5.

師：為什么？

生5：方案4和5的設計雖然可以，但是這些方案太不節省材料了.

師：我們就采用方案1，2，3，6.

組長匯報這些方案的包裝箱表面積，如下表：

紙箱外觀尺寸長/cm寬/cm高/cm表面積/cm2方案110512460方案210106440方案310512460方案615104460

師：從節省材料的角度，大家會選擇哪種方案？

眾生：方案2.

師：請同學們觀察前后2張表格中的長、寬、高和表面積的數據，你發現了什么？

生6：當長、寬、高的和較小時，包裝箱的表面積較小.

教師板書：當包裝箱是長方體時，長、寬、高的和較小時，包裝箱的表面積較小.

(3)主動探究的建構評說

在上述教學中，首先，教師讓學生動手擺放小長方體并進行直觀感知判斷，形成初步的感性認識；其次，讓學生計算各種可行性方案的表面積，進行理性數據的求證，從而形成理性認知；再次，學生經過小組合作交流，得到了6種可能的方案并進行合理篩選；最后，借助數據進行數學思考，形成一般性的理性規律.在這一主動建構過程中學生積累豐富的活動經驗，培養了學生的抽象、概括、判斷等綜合能力以及“應用意識”.