拼圖 直觀 思考*
——以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“玩轉(zhuǎn)方塊紙”為例

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 葛善成 李明樹(shù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》指出：“課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)和理解、思考與探索……要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系.”[1]七年級(jí)學(xué)生好動(dòng)、好奇、好表現(xiàn)，采用形象生動(dòng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生廣泛、積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí).

1 教學(xué)案例

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

播放微視頻，了解幾何形體畫(huà)派創(chuàng)始人蒙德里安及其作品；欣賞蒙德里安晚期的代表作《紅、黃、藍(lán)的構(gòu)成》(如圖1).

圖1

師：你能從這幅作品中發(fā)現(xiàn)什么？

生1：長(zhǎng)方形、正方形，水平線、垂直線，等等.

師：很好！看來(lái)你也有成為數(shù)學(xué)家的潛質(zhì).

師：事實(shí)上，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是整數(shù)，那么它就可以被分割成有限個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形.大家同意嗎？

生(眾)：同意.

師：舉個(gè)例子，如果正方形的邊長(zhǎng)是5，那么它可以被分割成多少個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形？

生2：25個(gè).

師：有沒(méi)有可能分割成26個(gè)正方形？

生3：不可能.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)欣賞藝術(shù)作品，學(xué)生既可以體會(huì)藝術(shù)來(lái)源于數(shù)學(xué)，發(fā)展自身的審美趣味，感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，同時(shí)又為用圖形法證明無(wú)理數(shù)奠定邏輯基礎(chǔ)(即一個(gè)邊長(zhǎng)是整數(shù)的正方形可以被分割成有限個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形).

1.2 問(wèn)題探究，建構(gòu)模型

問(wèn)題1計(jì)算1+2+3+4+……+99+100.

生4：由錯(cuò)位相加法，可知

師：非常棒！還有其他做法嗎？

生5：分組相加，原式=(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5 050.

師：很好！我們還可以從“形”的角度研究這個(gè)算式，加數(shù)1可以用1個(gè)小方塊表示，加數(shù)2可以用兩個(gè)小方塊表示……，把這些小方塊拼在一起(如圖2).

圖2

師：這幅圖形像什么呢？

生6：梯形、三角形、階梯……

師：這個(gè)圖形與算式的和有什么關(guān)系呢？

生7：圖形中小方塊的數(shù)量就是算式的和.

生8：圖形的面積就是算式的和.

師：很好！那如何求這個(gè)圖形的面積呢？

圖3

師：非常好！借助方塊紙把原算式轉(zhuǎn)化成“階梯形”，再用拼圖法求“階梯形”的面積，求出原算式的和，那么你能求1+2+3+……+(n-1)+n的和嗎？

師：很好！那么你能用類(lèi)似的方法解決問(wèn)題2嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從形的角度思考，探索方塊紙的擺放規(guī)律，感受數(shù)與形之間存在的一定關(guān)聯(lián)，為學(xué)生更好地理解求和問(wèn)題提供了直觀便捷的途徑.

問(wèn)題2計(jì)算1+3+5+7+……+(2n-1).

圖4

生11：把這些小方塊拼成一個(gè)大正方形(如圖4)，大正方形的邊長(zhǎng)為n，所以大正方形的面積為n2，即原式=n2.

圖5

師：非常棒！那么接下來(lái)可以算什么？

生13：連續(xù)的偶數(shù)和.

師：很好！自己動(dòng)手操作試試看.(略)

設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，探究連續(xù)奇數(shù)和的拼圖規(guī)律，學(xué)生在充分嘗試、猜想、調(diào)整、再探究之后展示方案，進(jìn)而解決連續(xù)偶數(shù)的和問(wèn)題.幫助學(xué)生抓住利用拼圖求和的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫性和深刻性.

1.3 類(lèi)比遷移，深度探究

問(wèn)題3計(jì)算：12+22+32+……+n2.

生14：我由問(wèn)題2聯(lián)想到每一個(gè)加數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)“階梯形”(如圖6)，然后把這些“階梯形”拼成一個(gè)規(guī)則圖形求面積，但好像拼不了.

圖6

師：把這些“階梯形”每一層剪開(kāi)，然后在KT板上拼一拼，試試看.

圖7

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}3的思維層次較高，具有一定的挑戰(zhàn)性.引導(dǎo)學(xué)生用前面積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將抽象的算式具體化、形象化，分析不同拼圖方案的可行性，使其經(jīng)歷自主探究、合作交流并形成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程.

問(wèn)題4計(jì)算：13+23+33+43+……+n3.

圖8

師：小組合作，動(dòng)手操作.

師：還有其他思路嗎？

生17：用小立方體拼圖……(略)

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}4的設(shè)計(jì)遵循了由低到高、螺旋遞進(jìn)的原則，基于前面的經(jīng)驗(yàn)積累，學(xué)生的抽象思維能力得到了提升，解決該問(wèn)題的方案也多樣化.對(duì)于學(xué)生的各種方案，可鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)探究.

1.4 回歸課本，啟思明理

師：這里有兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，你能把它們剪拼成一個(gè)大正方形嗎？

生18：可以，如圖9.

圖9

師：大正方形的面積是多少呢？

生19：大正方形是由兩個(gè)面積為1的小正方形拼成，所以大正方形面積為2.

師：如果設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為a，那么a是多少呢？

生20：好像是無(wú)理數(shù).

問(wèn)題5 若a2=2，則a是有理數(shù)嗎？

(眾生疑惑.)

圖10

生21：圖10中，兩個(gè)未重合的小正方形面積之和等于重合的大正方形面積.

生22：重合的大正方形和未重合的兩個(gè)小正方形邊長(zhǎng)分別是2n-m,m-n，都是整數(shù).

圖11

生23：這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限迭代，原大正方形可以無(wú)限分割(如圖11)下去，最終會(huì)有某一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)小于1，這與“一個(gè)邊長(zhǎng)是整數(shù)的正方形可以被分割成有限個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形”這一常識(shí)不符，所以假設(shè)是不成立的，即a是無(wú)理數(shù).

師：非常棒！你能用類(lèi)似的方法判斷——若a2=3，則a是有理數(shù)嗎？(略)

設(shè)計(jì)意圖：無(wú)理數(shù)對(duì)七年級(jí)學(xué)生而言是一個(gè)非常抽象難懂的概念，首先通過(guò)拼圖讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)的客觀存在，其次由于用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)的過(guò)程算不完、算不盡，學(xué)生的接受程度并不高，通過(guò)無(wú)限拼圖，將抽象的無(wú)理數(shù)證明直觀化，彰顯從實(shí)踐操作到極限思維的升華，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

1.5 交流收獲，課堂小結(jié)

讓學(xué)生交流本節(jié)課的收獲.

2 教學(xué)反思

2.1 在拼圖中啟思

數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程表明，越是高度抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，往往越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐.在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用適當(dāng)?shù)膱D形或直觀的模型能夠幫助學(xué)生啟發(fā)思路，理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于學(xué)生的思維向更高級(jí)、更抽象的方向發(fā)展，自然數(shù)的求和問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，為突破這一難點(diǎn)，筆者以具身認(rèn)識(shí)理論為指導(dǎo)，借助于方塊紙?jiān)O(shè)計(jì)拼圖實(shí)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考.將算式中的加數(shù)用方塊紙表示，那么算式的和就轉(zhuǎn)化成所有方塊紙的面積和，那么如何求方塊紙的面積和呢？啟發(fā)學(xué)生把方塊紙拼成有規(guī)律的圖形.基于以上的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生甚至可以在“頭腦”中拼圖，求出連續(xù)偶數(shù)的和.通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考的拼圖，啟發(fā)學(xué)生自主探究，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析、解決問(wèn)題的能力.

2.2 在直觀中明理

幾何直觀有助于學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面影響深遠(yuǎn).實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的有效載體，具有獨(dú)特的作用和價(jià)值.筆者利用方塊紙進(jìn)行拼圖實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生體驗(yàn)操作的習(xí)慣，在實(shí)驗(yàn)中自然地發(fā)展學(xué)生幾何直觀素養(yǎng).例如，問(wèn)題5在直觀操作的基礎(chǔ)上，將直觀與簡(jiǎn)單推理相結(jié)合，從圖形的角度證明a是無(wú)理數(shù)，簡(jiǎn)潔但不失邏輯的嚴(yán)密性.學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中經(jīng)歷觀察、分析、交流、猜想、歸納等創(chuàng)造性的思維過(guò)程，構(gòu)建方塊紙無(wú)限分割的直觀模型，從中感受到數(shù)與形的聯(lián)系，獲得過(guò)程性的知識(shí).探索證明這一類(lèi)無(wú)理數(shù)的思路使得操作與推理得到統(tǒng)一，拓展了學(xué)生思維生長(zhǎng)的空間.

2.3 在思考中發(fā)展

筆者借助方塊紙這一直觀素材誘發(fā)學(xué)生的直觀思維，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)，啟發(fā)學(xué)生的智力因素和非智力因素參與探究，達(dá)到啟思的目的.探究的過(guò)程雖然不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，但學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)過(guò)程中的簡(jiǎn)單推理，就是明理的過(guò)程.其中，方塊紙拼圖是教學(xué)明線，正是因?yàn)榉綁K紙的介入，使相對(duì)枯燥的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得有趣、有意義，讓抽象的思考過(guò)程變得可視化.借助直觀啟發(fā)思考、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則是教學(xué)暗線，如在問(wèn)題1的引領(lǐng)下，借助方塊紙拼圖求連續(xù)奇數(shù)和、連續(xù)偶數(shù)和、連續(xù)自然數(shù)的立方和顯得并不困難，甚至可在“頭腦”中想象拼圖，做到把“做數(shù)學(xué)”和“想數(shù)學(xué)”結(jié)合在一起，體現(xiàn)手腦協(xié)同的理念.在明暗結(jié)合、啟思明理中引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁，為學(xué)生的持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件.