基于ARIMA模型的北京市GDP分析與預(yù)測

李振亮，樂昕雨

（臺州學院電子與信息工程學院，浙江 臺州 318000）

1 引言

國內(nèi)生產(chǎn)總值（Gross Domestic Product，GDP）是反映國家或地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展水平和人民生活狀況的重要指標。因此，預(yù)測GDP 未來趨勢可把握經(jīng)濟發(fā)展情況，具有重要意義。國內(nèi)已有諸多研究使用ARIMA 模型對貴州、重慶、江蘇、廣東、湖北、吉林、陜西、安徽、浙江等地區(qū)的GDP 進行分析與預(yù)測，表明ARIMA 模型對GDP 預(yù)測具有很好的效果。其中，張梓[1]選取貴州省1978-2020年GDP 數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建ARIMA（0，1，1）模型來對貴州省2021-2025年GDP 進行預(yù)測，且2016-2019年相對誤差均控制在7%以下。夏如玉等[2]選取重慶市2009-2020年GDP 數(shù)據(jù)，建立ARIMA（0，1，0）模型對重慶市2021-2032年GDP 進行預(yù)測。查華等[3]選取江蘇省1975-2020年GDP 數(shù)據(jù)，建立ARIMA（0，1，1）模型對江蘇省2021-2022年GDP 進行預(yù)測，且2018-2020年平均相對誤差在5%以下。王錚[4]選取廣東省1995-2020年GDP 數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建ARIMA（0，1，4）模型對廣東省2021-2022年GDP 進行預(yù)測，且2018-2020年相對誤差均在5%以下。瞿海情等[5]選取湖北省1978-2019年GDP 數(shù)據(jù)，建立ARIMA（0，2，3）模型對湖北省2020-2021年GDP 進行預(yù)測，且2018-2019年平均相對誤差為10.585%。潘典雅[6]選取吉林省1993-2019年GDP 數(shù)據(jù)，建立ARIMA（2，1，1）模型對吉林省2020-2021年GDP 進行預(yù)測，且2018-2019年相對誤差均在1%以下。胡詠琪[7]選取陜西省1986-2020年GDP 數(shù)據(jù)，建立ARIMA（1，1，0）模型對陜西省2021-2022年GDP 進行預(yù)測，且2017-2020年相對誤差均在6%以下。王佳佳[8]選取安徽省1978-2019年GDP 數(shù)據(jù)，建立ARIMA（2，1，3）模型對2020-2022年GDP進行預(yù)測，且1978-2019年相對誤差均在8%以下。鄭夢琪等[9]選取浙江省1978-2018年GDP 數(shù)據(jù)，建立ARIMA（5，1，5）模型對浙江省2019-2021年GDP 進行預(yù)測。

北京市作為我國首都，經(jīng)濟發(fā)展迅速，GDP 的總量始終居于全國前列。本文將利用R 軟件，選取北京市1978-2020年的GDP年度數(shù)據(jù)，構(gòu)建ARIMA 模型對北京市2021-2025年未來5年GDP 進行預(yù)測，為北京市未來GDP 的發(fā)展提供一個科學的參考和依據(jù)。

2 ARIMA 模型的基本原理

差分自回歸移動平均（Auto Regressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型是由自回歸模型（Auto Regression，AR）、移動平均模型（Moving Average，MA）和差分法結(jié)合而來的時間序列預(yù)測模型，常用于非平穩(wěn)時間序列的分析和預(yù)測[10]。對于時間序列數(shù)據(jù)可以使用ARIMA 模型進行分析，模型表達式為ARIMA（p，d，q），其中p 是自回歸項數(shù)，q 是移動平均項數(shù)，d 是差分次數(shù)。ARIMA 模型的數(shù)學通式為：Φ（B）（1-B）dXt=θ（B）εt；模型的自回歸系數(shù)多項式為：Φ（B）=1-Φ1B-Φ2B2-…-ΦpBp；模型的移動平均系數(shù)多項式為：θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq；Xt表示需要預(yù)測的時間序列，εt表示白噪聲序列[11]。ARIMA 模型主要用于平穩(wěn)時間序列的預(yù)測，步驟包括繪制時間序列圖、數(shù)據(jù)預(yù)處理（包括平穩(wěn)性和白噪聲檢驗）、模型識別與定階和模型預(yù)測。

3 基于ARIMA 模型的實證分析

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理與初步分析

1978-2020年北京市GDP年度統(tǒng)計數(shù)據(jù)來源于《北京市統(tǒng)計年鑒》，通過Excel 2019 軟件建立GDP 的時間序列數(shù)據(jù)庫，使用R 軟件（version 4.0.5，the R Foundation for Statistical Computing，Vienna，Austria）對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理、建模、診斷、預(yù)測等。從時間序列圖（圖1）可以看到，1978-2020年北京市GDP 呈現(xiàn)指數(shù)增長趨勢，2020年GDP 值為36102.6 億元，是1978年的332 倍左右。

圖1 1978-2020年北京市GDP 時間序列圖

3.2 平穩(wěn)性檢驗

從時序圖（圖1）可以發(fā)現(xiàn)北京市GDP 隨時間呈指數(shù)增長趨勢，為非平穩(wěn)時間序列。因此，首先利用R 軟件中l(wèi)og 函數(shù)對原始數(shù)據(jù)進行對數(shù)處理，再進行差分。隨后利用R 軟件中diff 函數(shù)對其進行一階差分，單位根檢驗結(jié)果顯示P=0.413 3＞0.05，表明對數(shù)一階差分后的序列還不是一個平穩(wěn)序列。故對其進行二階差分，單位根檢驗結(jié)果顯示P＜0.05，表明其符合平穩(wěn)時間序列特征。

3.3 ARIMA（p，d，q）的識別

原始序列數(shù)據(jù)通過取對數(shù)和二階差分處理后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，因此d=2，初步確定ARIMA 模型為ARIMA（p，2，q）。利用R 軟件中acf 和pacf 函數(shù)繪制出上述平穩(wěn)化序列的自相關(guān)圖（圖2）和偏自相關(guān)圖（圖3），通過觀察圖形的自相關(guān)系數(shù)變化趨勢可初步判斷p、q 的取值。從序列的自相關(guān)圖可以看到序列在零階截尾，初步判斷q=0；從序列的偏自相關(guān)圖可以看到序列在二階截尾，初步判斷p=2。

圖2 自相關(guān)圖

圖3 偏自相關(guān)圖

為保證p、q 值的選擇更加準確合適，利用R 軟件中ARIMA 函數(shù)進行模型擬合，AIC 值 在ARIMA（2，2，0）、ARIMA（2，2，1）、ARIMA（1，2，0）、ARIMA（1，2，1）等不同參數(shù)下，分別為-127.83、-128.89、-122.14、-126.32。根據(jù)AIC 準則（該值越低越好）選擇最優(yōu)模型為ARIMA（2，2，1）。

3.4 殘差白噪聲檢驗

通過繪制殘差序列的Q-Q 圖（圖4）可以看到殘差近似落在一條直線，可以初步判斷該序列是隨機正態(tài)分布。利用R 軟件中Box.test 函數(shù)開展進一步白噪聲檢驗，結(jié)果顯示Ljung-Box 統(tǒng)計量的P 值大于0.05，說明該序列屬于白噪聲序列。因此，可判定模型ARIMA（2，2，1）合理。

圖4 殘差序列Q-Q 圖

3.5 模型預(yù)測

通過繪制北京市1978-2020年GDP 預(yù)測值與實際值的時間序列圖（圖5）可以看出預(yù)測值與實際值的變化趨勢基本保持一致，反映出模型擬合程度較好。

圖5 真實值與預(yù)測值比較

選取北京市2010-2020年GDP 真實值與預(yù)測值數(shù)據(jù)進行比較，對比結(jié)果發(fā)現(xiàn)真實值與預(yù)測值的相對誤差較低，其中2020年的相對誤差最高，為0.062（表1）?？傮w上，真實值與預(yù)測值的相對誤差較低，反映出模型預(yù)測效果良好，可以應(yīng)用ARIMA（2，2，1）模型對北京市2021-2025年GDP 進行預(yù)測。

表1 北京市2010-2020年GDP 真實值與預(yù)測值數(shù)據(jù)比較

利用R 軟件中forecast 函數(shù)對北京市2021-2025年GDP 進行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)北京市未來5年的GDP 依次為37 094.89 億元（95%CI：34 027.35～40 439.00 億元）、38 831.57億元（95%CI：32 056.01～47 039.36 億元）、39 714.03 億元（95%CI：29 877.77～52 788.57 億元）、41 144.21 億元（95%CI：27 295.85 ～62 018.62 億 元）和42 623.04 億 元（95%CI：24 690.65～73 579.37 億元），可以看出對北京市未來5年GDP 仍然保持較高的增長速度（見表2）。

表2 北京市2021-2025年GDP 預(yù)測值及其95%CI

4 結(jié)論與建議

本研究選取1978-2020年北京市GDP年度數(shù)據(jù)，利用R軟件構(gòu)建出ARIMA（2，2，1）模型，并預(yù)測北京市未來5年的GDP 值。該模型顯示真實值與預(yù)測值的相對誤差在7%以下，可較好預(yù)測北京市GDP 未來趨勢。2020年北京市GDP 預(yù)測值出現(xiàn)了超過5%的相對誤差，這可能與新冠肺炎疫情有關(guān)。通過ARIMA（2，2，1）模型預(yù)測北京市未來5年的GDP 值，結(jié)果顯示北京市2021年GDP 值為37 094.89 億元，有望在2024年突破40 000 億元大關(guān)。預(yù)測模型發(fā)現(xiàn)未來5年北京市GDP 呈現(xiàn)出穩(wěn)步增長的趨勢，可為北京市“十四五”發(fā)展規(guī)劃提供決策建議。

一是建設(shè)國際科技創(chuàng)新中心，構(gòu)建首都特色經(jīng)濟體系。通過支持國家級高新技術(shù)企業(yè)、專精特新小巨人企業(yè)和獨角獸企業(yè)，實現(xiàn)創(chuàng)新驅(qū)動和長線發(fā)展。繼續(xù)聚焦高精尖產(chǎn)業(yè)，將創(chuàng)新因子融入先進制造業(yè)，追求現(xiàn)代服務(wù)業(yè)頂層價值，吸引國際一流創(chuàng)新人才，打造世界一流人才高地。

二是發(fā)揮數(shù)字經(jīng)濟核心優(yōu)勢，加強新型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)。加快北京數(shù)字貿(mào)易港建設(shè)，開展區(qū)塊鏈、人工智能、5G 等算力平臺先行示范，擴大智慧城市試點區(qū)域，更加突出數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展重要地位。

三是建設(shè)國際消費中心城市，不斷探索消費新模式。針對新時代消費群體的變化，可將北京特色文化融于消費新場景中，加強構(gòu)建特色商圈、專題品牌等消費活動。將擴大內(nèi)需作為重要抓手，與傳統(tǒng)工商業(yè)改造升級進行有機結(jié)合，把恢復(fù)和刺激消費放到突出位置。

四是鼓勵發(fā)展民營經(jīng)濟，實現(xiàn)提就業(yè)穩(wěn)稅收。民營經(jīng)濟不僅是經(jīng)濟增長、GDP 健康穩(wěn)定發(fā)展的重要力量，也是市場機制有效運行的關(guān)鍵因素。面對新冠肺炎疫情的沖擊，經(jīng)濟不斷面臨挑戰(zhàn)，民營經(jīng)濟發(fā)展對推動社會主義市場經(jīng)濟建設(shè)具有重要意義。構(gòu)建良好的營商環(huán)境，解決企業(yè)發(fā)展問題更加有助于北京經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展。