“雙減”背景下小學數學“應教盡教”的思考

■錢中華，羊琴，錢陳俐

減輕學生過重學業負擔一直受到黨和國家的高度重視。2021年7月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發的“雙減”意見，明確提出減輕學生過重學業負擔的根本之策在于大力提升課堂教學質量，嚴格按課程標準零起點教學，做到應教盡教，確保學生學足學好，達到國家規定的學業質量標準。那么，課堂教學應教盡教與減輕學生過重學業負擔之間的內在關聯是什么？聚焦小學數學，課堂上應教什么？怎樣才能實現盡教？本文擬對這些問題進行探討。

一、應教盡教是減輕學生過重學業負擔的突破口

學校教育落實“雙減”政策減負提質的要求，第一要務是準確把握減輕學生過重學業負擔的突破口，為設計具有針對性的破解方案提供可靠依據。

從認識論視角看，學業負擔是學校、家庭及自我要求下所承擔的所有學習任務，它是客觀性與主觀性的統一[1]。所以，學業負擔不能僅等同于學習時長，還應考慮學習任務的量和對于學生來說的難度，可以看作單位時間內學習任務的量和難度。當單位時間內學習任務的量過大或難度過高，造成學生需要更長時間完成學習任務，生活時間得不到保障，處于壓力過大的狀態，就是學業負擔過重。從這個意義說，學校教育影響學生學業負擔的因素包括教師課堂教學質量及學生學習任務量、任務難度、時長及時間分配策略等。在這些影響因素中，教師課堂教學質量制約并決定著學生的學習任務量、學習任務難度、學習時間長短等，是影響學生學業負擔的核心因素。

從教學論視角看，課堂教學質量是學生“學得如何”的表現，而決定“學得如何”的核心要素是“教”“學”。在教學活動中，“教”“學”辯證統一，“教”因“學”而存在，服務于“學”，沒有“學”的“教”是不存在的；沒有“教”的“學”只能是自學，而不是課堂意義下的“學”。“教”是教師“通過信號或符號向某人說明某事，用信號或符號引起別人對事件、人物、觀察或研究的結果等作出反應”[2]。也就是說“教”有特定的內容，用于呈現并引起學生作出相關反應。“學”是教師根據教材內容、學生認知基礎，圍繞教學目標，在教學活動中有目的地引起學生學習?？梢?，“教”“學”存在的根基是教學內容，缺失了特定內容的“教”“學”根本不存在。由此，教師課堂教學教什么決定學生學什么；教師應教盡教，學生才能應學盡學。課堂上應教盡教，該教的教完、教活、教透，學生就會將該學的學足、學懂、學會，學業負擔必然減輕；反之，沒有應教盡教，學業負擔必然加重。因此，提高課堂教學質量，減輕學生過重學業負擔，突破口是課堂上應教盡教。

二、小學數學應教的基本內容

小學數學應教什么似乎不需另作思考，因為已在課程標準和教材之內了。但實際上，作為標準一般是最低或者是平均要求，還要給以標準為依據的人們留有空間。正因此，現行不同版本教材各有優勢，極力表現出非?？粗氐囊?；同時，由于內容、課時等也難免有顧及不夠的地方，并且教師的數學觀對應教什么也會產生嚴重影響和制約。那么，小學數學到底應教什么？從動態的、經驗的、擬經驗的數學觀，以及數學課程目標和學生數學學習來分析，小學數學應教數學知識本質、數學基本結構、數學思維等內容。

（一）應教數學知識本質

數學知識是構成數學大廈的“硬料”，數學知識本質是數學知識的靈魂。學生的數學學習不僅要記住數學知識，認識表示的數學符號，更為重要的是真正理解掌握知識本質。只有深刻理解知識本質，在了解其產生、發展的過程中結合自己的已知和思維理解，才能深入淺出地表達其形成過程、內在聯系等，在實際應用中才能根據不同情境找到適合、可用的部分。這就意味著，小學數學教學應該關注和強調知識本質，幫助學生深刻理解知識的本源意義。

譬如北師版五年級下冊“折紙”，內容是異分母分數加減法，本質屬性是分數單位相同才能實施加減法運算。教學應突出異分母分數加減法運算通分的必要性，幫助學生深刻理解異分母分數加減法只有在分數單位相同時才能運算的本源意義。

（二）應教數學基本結構

數學學習的深刻理解包含“深度、寬度和貫通度”。“‘深刻地理解一個專題’就是將這個專題與該學科的更多的概念上很強大的思想聯系起來……‘廣泛地理解一個專題’就是與那些相似的或概念性較弱的專題相聯系……然而，深度和寬度依賴于完整度——貫穿某一領域所有部分的能力——把它們編織起來。”[3]也就是說學生的數學學習要理解內容的基本結構，即數學知識結構和邏輯結構。學生受認知程度的影響，接受材料能力必定有限。要在有限的接受中產生對以后思考的價值，必然選擇是使之在接受所學材料的過程中理解學科基本結構?？梢姡瑪祵W基本結構對學生數學學習發展的重要價值。從這個意義上講，小學數學應教基本結構包括邏輯結構和數學知識結構。

教師應以課程標準、教材為依據，具體、明確地確立應教課時或單元的基本結構。如“折紙”應教邏輯結構：同分母分數加減法則→異分母分數加減法則；應教課時知識結構（圖1），即教師應該引導學生學習的相應數學內容或學習路徑。該課所在單元“分數加減法”應教邏輯結構：同分母分數加減法則→異分母分數加減法則→分數加減四則混合運算順序→分數加減運算性質和加法運算律。應教知識結構（圖2），也就是教師應該引導學生學習的相應數學內容或學習路徑，為學生數學學習建立知識體系，實現觸類旁通、舉一反三提供可靠保障。

圖1

圖2

（三）應教數學思維

數學是“思維的科學”[4]，“在形成人的理性思維、科學精神和促進人智力發展中發揮著不可替代的作用”[5]。數學表達人類的思想，反映人們的意志、縝密的推理、對完美的追求，其基本要素是邏輯和直覺、分析和構造、一般性和個性?！半S著社會進步，人類思想、對完美的追求等也隨之改變，所以作為反映形式的數學也不是靜態的、絕對的，而是動態的、經驗的與擬經驗的；是人類的一種創造性活動，即是一種包含有猜測、錯誤和嘗試、證明與反駁、檢驗和改進的復雜過程”[6]。基于以上立場，數學不等同于具體的數學知識（包括概念、命題、法則等），不是無可懷疑的真理，而是人類的一種思維方式[7]。

數學課程要培養學生的核心素養，即通過義務教育階段的數學學習，學生逐步養成“三會”。在此過程中能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的“四基”；體會數學內部知識之間、數學與外部世界的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中發展“四能”[5]?！八幕薄八哪堋笔恰叭龝钡挠行лd體，“三會”是“四基”“四能”的更高要求。因此，從根本上說，數學教學中培養學生的“四基”“四能”就是在培養學生的數學核心素養。在學生的數學核心素養形成過程中，學生應當從數學學習中學會數學思維，并逐步學會思考得更清晰、更全面、更深、更合理。從這個意義上說，學生通過數學學習獲得“四基”、發展“四能”，形成和發展數學核心素養，本質是發展數學思維。

學生學習數學，以數學知識為載體，以數學問題為對象，按照一定形式和方法進行數學思考的過程中，理解把握不同數學思維形式和方法發生的機理、應用的范圍及遵守的規則，改進、完善、發展數學思維，提升靈活性、深刻性、批判性、創造性、辯證性等數學思維品質[8]。

因此，數學教學應是一種創造性的數學思維活動，根本目的是改變、發展學生的數學思維；小學數學不僅應教數學思維形式、方法，還應培養、發展學生的數學思維品質。

總之，小學數學應教數學知識本質、基本結構和數學思維；這樣，學生才有可能實現富有深度的學習，想得透、學得多、學得足，聞一知十，從而減輕學業負擔。

三、小學數學盡教的基本思路

那么，小學數學如何才能實現該教的教盡、教活、教懂呢？下面結合北師版三上“什么是周長”的教學進行闡釋。

（一）提供數學變式，學生通過比較、判斷、推理、解釋，深度理解知識本質

數學變式是在保持知識本質特征不變的前提下，從多角度、多側面呈現數學對象或數學問題。在教學中，教師設計的教學材料應提供水平變式、垂直變式，推動學生的數學學習在比較與辨別中對其情況、類別、事理進行分析、推理、判斷，發現數學變式中的變化與差異，分類、評估、解釋“變”與“不變”，深度理解數學知識本質。

在“什么是周長”教學中，教師提供如下教學材料：

第一組教學材料：

（1）請用彩筆描出你桌上那片樹葉的邊線。

（2）誰來演示一下是怎樣描的？要用筆指著，說清楚描的過程和需要注意的地方。

（3）三只螞蟻急不可待地想表演應怎樣描，請看。

（4）動畫展示。三只螞蟻表演爬樹葉的路線如圖3所示，哪只螞蟻是沿著邊線爬的？理由是什么？

圖3

（5）像螞蟻A這樣，爬過一周的長度就是樹葉表面的周長。同學們描的樹葉邊線的長度是樹葉表面的周長。

（6）除了樹葉表面有周長外，我們身邊還有許多物體表面也有周長，請找一找；同桌交流時指著說“一周的邊線”“起點、終點及其關系”“方向”。

第二組教學材料：

（1）用彩筆在A4紙上描出教科書封面的邊線，將書拿走得到什么圖形？它有周長嗎？為什么？

（2）下面這些圖形有周長嗎？為什么？

圖4

第三組教學材料：

（1）既然周長有長度，你有哪些方法得到樹葉表面的周長？

（2）如何測量樹葉表面的周長？

（3）如何測量在A4紙上描出的長方形的周長？

（4）測量樹葉表面周長和測量長方形周長有哪些相同和不同？

第四組教學材料：

（1）不用測量，你能求出下面各圖形的周長分別是多少厘米嗎？需要注意什么？

圖5

（2）兩只蝸牛賽跑，他們的跑道一樣長嗎？

圖6

（3）一片長方形草地被分成A、B兩部分，鼴鼠和大象分別繞A、B邊線跑一圈，跑的路一樣長嗎？

圖7

分析上述教學材料，水平變式有四組：一是物體表面周長。學生在學習過程中，通過描樹葉邊線、說描的過程及注意事項和對三只螞蟻的判斷，發現螞蟻想要通過爬行得到樹葉表面周長，“變”的是起點和終點，“不變”的是起點與終點重合、物體表面“一周的長度”，了解了周長能“度量”；后通過列舉身邊實例，在相互交流中加深理解“周長”。二是規則與不規則圖形的周長。從描教科書邊線得到長方形入手，經分析、比較、類比、概括出長方形一周的長度是長方形周長；在對六個規則及不規則圖形的觀察、分析、比較、分類、概括、解釋中，發現圖形（1）（3）（4）（5）都有周長，與形狀無關。三是測量周長。通過測量樹葉表面、長方形的周長，體會根據物體表面或圖形的形狀，選擇適合的方法測量，理解周長可“度量”。四是解決與周長相關的問題。通過解決數圖形的周長、蝸牛賽跑跑道長、鼴鼠和大象跑路長，加深理解周長的意義和度量的可能性。四組水平變式構成垂直變式，即物體表面→圖形→測量周長→求周長，學生通過學習不僅分析發現“變”與“不變”，理解周長概念“物體表面或圖形一周的長度”的描述性表述，更為重要的是逐步深入、層層遞進，深刻理解周長的本質“度量”。

（二）提供根植知識演進的教學材料，學生學習簡約地經歷人類認識過程，建立數學基本結構

教學材料是學生數學學習的對象，既是思維的載體，也是知識的載體，還是數學基本結構的載體。在教學中，教師提供的教學材料，根植數學知識演進的歷史流變。學生學習典型地、簡約地經歷數學知識產生、形成、發展的人類認識過程，深刻地“去理解知識最初發現時人們面臨的問題、解決問題的思路，采用的思維方式、思考過程，理解知識發現者可能有的情感，判斷評價知識的價值”[6]，建立起包括邏輯結構、數學知識結構在內的基本結構，感悟蘊含在知識背后的數學基本思想。

“周長”起源于古代人們發現樹葉、獸皮等物體表面的邊線有長度，人們所畫的長方形、平行四邊形等圖形一圈有長度；先賢們不斷努力發現“周長”；后探索測量周長的方法及運用。教師以此為依據，結合教材設計提供了以上四組教學材料：第一組描樹葉邊線，旨在通過學生“描、指、說、判斷、舉例”等，理解“物體表面一周的長度就是物體表面的周長”，把握周長的特征。第二組材料旨在通過學習，理解“圖形一周的長度就是圖形的周長”，把握圖形周長的特征。第三組材料通過探索測量周長的方法，理解“一周的長度”，把握周長本質。第四組材料應用拓展，意圖通過數圖形的周長、賽跑跑道、跑草地一圈等三個問題，進一步理解周長是“一周的長度”，可“度量”，與形狀無關，為后續學習“長方形的周長”做好鋪墊。由此幫助學生建立起“周長”的基本結構，邏輯結構是：前概念（邊線）→物體表面的周長→封閉圖形的周長→測量周長→求周長→銜接長方形的周長。本課知識結構如圖8所示。在這個過程中，感悟抽象（分類、概括、數形結合、變中不變、符號化等）、推理（歸納、演繹、化歸、特殊與一般等）、模型（簡化、量化、優化）等基本思想[6]；幫助學生形成發展量感、空間觀念、幾何直觀等核心素養。

圖8

（三）提供引發深度思考的問題，學生在解決問題過程中，改進、完善、發展數學思維

問題是思維的靈魂和起點，是學生數學思維發展的關鍵。在小學數學教學中，教師根據教學任務、教學目標，設計提供引發深度思考的問題。學生在教師的指導下，運用概念、判斷、推理等基本思維形式和觀察、比較、分類、分析、綜合、歸納、概括等思維操作方法，展開對問題的全面、細致、深刻探索。在這個過程中，學生不僅運用數學思維基本形式、方法進行數學思考，解決數學問題；更為重要的是通過解決問題，理解把握不同數學思維形式、方法遵守的規則及適用范圍，改進、完善、發展數學思維，提升數學思維品質[6]。

本課教學教師提供的四組教學材料，實質是四組問題，旨在開啟學生的思維操作。學生在解決問題過程中，根據問題指向，基于客觀事實和數學理性，對思維材料嚴格評估；調動并運用已有生活、認知經驗進行數學思考，采用操作、觀察、分析、比較、分類、判斷、推理、歸納、概括等思維方法，對問題進行解釋或說明，在深刻理解“什么是周長”的同時，把握周長的本質“度量”，改進、完善已有思維形式、方法，從而使思維活動更有廣度、深度，數學思維和思維品質獲得發展。

總之，學校教育減輕學生過重學業負擔的突破口是課堂上應教盡教。小學數學應教數學知識本質、數學基本結構、數學思維。教師通過提供數學變式、根植數學知識演進的教學材料、開啟學生思維操作的問題，將該教的教活、教透、教深，學生將該學的學足、學深，掌握數學知識本質，建立數學基本結構，發展數學思維，從而實現課堂教學“減負提質”。