離散數(shù)學(xué)全過程反饋混合式教學(xué)研究

馬 慧，曲海鵬，洪 鋒，盛艷秀

（中國海洋大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)部，山東 青島 266100）

0 引言

面對科技革命與產(chǎn)業(yè)變革的快速發(fā)展，《中國教育現(xiàn)代化2035》提出構(gòu)建學(xué)習(xí)型社會，滿足因材施教與知行合一的需求。智能化環(huán)境和信息技術(shù)成為教學(xué)支撐，教育信息化對教學(xué)形式起到重塑的作用，對建構(gòu)式學(xué)習(xí)思維培養(yǎng)起到推動作用［1-2］。目前已有教育信息化相關(guān)研究，對我國教育發(fā)展歷程和將來發(fā)展形式進(jìn)行探討，研究影響學(xué)生問題解決能力培養(yǎng)和主動學(xué)習(xí)的因素［3-4］；發(fā)現(xiàn)線上線下結(jié)合的教學(xué)方式能同時(shí)發(fā)揮信息技術(shù)與面對面教學(xué)的優(yōu)勢，有助于提升學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)水平，成為重要的教學(xué)發(fā)展方向［5-6］；分析翻轉(zhuǎn)課堂以及在線學(xué)習(xí)對學(xué)生主動學(xué)習(xí)意愿的影響和提升策略等。研究表明，教師采用線上線下相結(jié)合的教學(xué)方式以及討論與實(shí)踐等教學(xué)方法能夠有效提升工科生的學(xué)習(xí)水平和主動性。

1 混合教學(xué)中全過程數(shù)據(jù)反饋現(xiàn)狀分析

對于線上線下相結(jié)合的混合式教學(xué)方式而言，及時(shí)、有效的教學(xué)反饋是保障教學(xué)目標(biāo)順利實(shí)施的關(guān)鍵［7］。通過師生反饋互動構(gòu)建“過程式+沉浸式”的雙重路徑，有助于實(shí)現(xiàn)線上與線下教學(xué)的實(shí)質(zhì)等效。姚佳佳等［8］研究同伴對話反饋對大學(xué)生課堂深度學(xué)習(xí)的影響；李怡然等［9］根據(jù)對學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的評估反饋，提出基于云控制的閉環(huán)OBE 模式。然而，如何實(shí)現(xiàn)及時(shí)、有效的線上線下全過程反饋是實(shí)際教學(xué)亟需提升的短板，目前尚缺少對具體反饋機(jī)制的深入研究和過程描述。

新工科建設(shè)和雙一流建設(shè)要求在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)學(xué)生高階學(xué)習(xí)與實(shí)踐能力培養(yǎng)，強(qiáng)化學(xué)生批判性學(xué)習(xí)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)融入，提升知識遷移、分析和解決問題的能力。因此，需要對新工科建設(shè)進(jìn)行深入分析，以推進(jìn)學(xué)生的深層次、高層次學(xué)習(xí)［10］。離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、人工智能、大數(shù)據(jù)、網(wǎng)絡(luò)安全等眾多新工科專業(yè)的核心基礎(chǔ)課或必修課，側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的表述方式，提升分析、解決問題的能力及抽象思維。馬慧等［11］分析了離散數(shù)學(xué)的實(shí)例化概念教學(xué)法；王曉華等［12］研究了離散數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)體系；蘇慶等［13］進(jìn)行了新工科形式下的離散數(shù)學(xué)課程改革探索；徐德智等［14］基于CASE 和探索式教學(xué)手段，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對離散數(shù)學(xué)的主動學(xué)習(xí)。此外，在教學(xué)中融入科研訓(xùn)練［15］、研究翻轉(zhuǎn)課堂實(shí)踐［16］、側(cè)重離散數(shù)學(xué)的計(jì)算思維培養(yǎng)［17］，都是當(dāng)前涌現(xiàn)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革方式。

為了推進(jìn)學(xué)生深入學(xué)習(xí)，需要注重學(xué)生的主動學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展。在混合教學(xué)中，通過線上線下相結(jié)合的方式，充分發(fā)揮教師與學(xué)生的積極性和主動性。目前已有研究分析了混合教學(xué)環(huán)境中學(xué)習(xí)投入影響機(jī)制和教學(xué)系統(tǒng)化設(shè)計(jì)模式構(gòu)建［18-19］。為保障教學(xué)質(zhì)量，李海東等［20］構(gòu)建了線上線下質(zhì)量評價(jià)流程模型和指標(biāo)體系；孫傳猛等［21］基于目標(biāo)導(dǎo)向的教育理念（OBE），將工程教育認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)貫穿始終，助力學(xué)生主動學(xué)習(xí)。線上線下混合式教學(xué)需要發(fā)揮學(xué)生的主動性，但目前教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施過程缺少對于離散數(shù)學(xué)以及抽象課程學(xué)習(xí)的針對性。如何結(jié)合課程的抽象特點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)的具體困難，設(shè)計(jì)全過程的高效反饋強(qiáng)化機(jī)制，目前還沒有深入的研究成果與系統(tǒng)論述。

本文基于教學(xué)數(shù)據(jù)和全過程反饋實(shí)現(xiàn)混合式學(xué)習(xí)策略設(shè)計(jì)，橫跨課程內(nèi)外與校內(nèi)外，圍繞離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)反饋難點(diǎn)、教學(xué)全過程數(shù)據(jù)構(gòu)成與反饋、基于問題解決的深入討論3 個(gè)方面展開論述，并通過實(shí)施效果和課程數(shù)據(jù)分析進(jìn)行驗(yàn)證。

2 離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)反饋難點(diǎn)

以學(xué)生為中心的教學(xué)過程需要實(shí)現(xiàn)學(xué)生價(jià)值觀、知識、能力等核心素養(yǎng)的提升，通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生在課程結(jié)束時(shí)可以掌握數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等知識體系，建立該課程與后續(xù)課程的聯(lián)系，提升計(jì)算思維。

離散數(shù)學(xué)課程具有概念定理多、證明要求高、抽象性強(qiáng)的特點(diǎn)。面對抽象的離散數(shù)學(xué)，學(xué)生會遇到各類困難與困惑。通過抽樣調(diào)查和學(xué)習(xí)過程情況分析，可將學(xué)生面臨的學(xué)習(xí)困難總結(jié)如下：①看著會做，一做就錯(cuò)；②懼怕復(fù)雜符號和抽象理論；③難以掌握證明技巧；④抽象理論無法聯(lián)系實(shí)際問題。

當(dāng)前教學(xué)反饋的難點(diǎn)包括學(xué)生和教師兩個(gè)方面。在離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生與教師的聯(lián)系不夠緊密，閉環(huán)控制效果不夠顯著；教師多基于主觀判斷進(jìn)行教學(xué)決策，教學(xué)數(shù)據(jù)對教學(xué)的促進(jìn)作用不夠精確。

對學(xué)生而言，由于理論的抽象性和強(qiáng)關(guān)聯(lián)性，很難說清哪些概念和環(huán)節(jié)理解不夠深入或存在偏差，課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、課外拓展的效果不清晰，難以有針對性地進(jìn)行提升。學(xué)生缺少對課程整體情況的把握，多限于教師布置的課后作業(yè)，難以深入?yún)⑴c課程。對任課教師而言，很多課程教學(xué)多側(cè)重于一次或一章節(jié)作業(yè)的批改與講評，對學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的整體發(fā)展缺少分析，教學(xué)決策缺少數(shù)據(jù)支持。因此，如何構(gòu)建全面的教學(xué)數(shù)據(jù)采集分析方法，通過全過程數(shù)據(jù)反饋促進(jìn)師生閉環(huán)，是當(dāng)前離散數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。

3 教學(xué)全過程數(shù)據(jù)構(gòu)成與反饋

根據(jù)教育學(xué)理論，學(xué)生深度參與教學(xué)過程可以有效調(diào)動學(xué)習(xí)的主動性。教學(xué)內(nèi)容、頻次、強(qiáng)度的連接能夠影響學(xué)習(xí)感受，創(chuàng)造有信任感和精神安全感的學(xué)習(xí)氛圍，提高學(xué)生對教學(xué)過程的參與度和掌控感等，以此提升學(xué)習(xí)效果。離散數(shù)學(xué)課程全過程反饋形式如圖1 所示，全過程數(shù)據(jù)采集、分析和反饋流程如圖2 所示。采用線上線下結(jié)合、教材內(nèi)外結(jié)合、校內(nèi)外結(jié)合的方式，可促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)，有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。

此時(shí)期是小麥病蟲害防治的關(guān)鍵期，主要病害以小麥銹病和小麥紋枯病為主，蟲害有螻蛄、金針蟲等。該時(shí)期病蟲害較多，需加強(qiáng)對麥田的監(jiān)測，防治措施以物理和化學(xué)防治相結(jié)合，如及時(shí)拔除雜草、針對性的噴灑農(nóng)藥等。

如表1 所示，離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中設(shè)置了涵蓋形成性評價(jià)和總結(jié)性評價(jià)的綜合評價(jià)方式，全過程與全方位地反饋學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，有效促進(jìn)學(xué)生線上線下主動學(xué)習(xí)。

如表2 所示，對離散數(shù)學(xué)全過程練習(xí)和活動進(jìn)行分析，通過設(shè)置參與形式，引導(dǎo)學(xué)生參與習(xí)題庫建設(shè)、課程討論、小組報(bào)告等主動學(xué)習(xí)活動。通過綜合練習(xí)、學(xué)生出題、師生討論、生生討論等混合式教學(xué)方法，倡導(dǎo)學(xué)生動手—動腦—動口相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)主動學(xué)習(xí)。

Fig.1 Teaching feedback of discrete mathematics based on the whole process data圖1 基于學(xué)習(xí)全過程數(shù)據(jù)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)反饋

Fig.2 Components of teaching feedback based on the whole learning process圖2 基于學(xué)習(xí)全過程的教學(xué)反饋構(gòu)成

4 基于問題解決的深入討論

不斷挖掘課程脈絡(luò)與知識點(diǎn)，通過問題解決的方式進(jìn)行課程設(shè)計(jì)。學(xué)生思考需要解決哪些問題，怎么解決這些問題？以問題驅(qū)動教學(xué)，學(xué)生自發(fā)思考課程的知識體系結(jié)構(gòu)，不斷激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。鼓勵(lì)學(xué)生成為主動的建設(shè)者，而不僅僅是被動的學(xué)習(xí)者。

對于科研和工程而言，解決問題的開端是問題建模，對于一個(gè)具體實(shí)際問題給出合適的模型是有難度的，復(fù)雜問題更是對理論與實(shí)際的結(jié)合提出更高要求。在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中讓學(xué)生轉(zhuǎn)換角色，增強(qiáng)學(xué)生提出問題的主動性，進(jìn)而可以提升學(xué)生解決問題的能力。

Table 1 Form，content，and assessments of whole-process feedback表1 學(xué)習(xí)全過程反饋形式、內(nèi)容與考核方法

Table 2 Comparison of different exercises and teaching activities表2 不同練習(xí)與活動特點(diǎn)對比

練習(xí)、講解、討論的混合式學(xué)習(xí)過程，有利于學(xué)生及時(shí)掌握重難點(diǎn)問題，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，積極的課堂討論是水到渠成的結(jié)果。本課程設(shè)置如下3 類討論問題：①課前預(yù)設(shè)。分析課程重難點(diǎn)，針對易錯(cuò)點(diǎn)設(shè)置討論問題；②課堂反饋。通過練習(xí)及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對疑難問題及時(shí)討論；③課后拓展。提供與課程相關(guān)的課后拓展材料，并結(jié)合課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，通過在線學(xué)習(xí)平臺進(jìn)行討論，學(xué)生自己分析如何將理論與實(shí)踐相結(jié)合。

創(chuàng)造充滿信任感和精神安全的學(xué)習(xí)環(huán)境，能夠促使學(xué)生主動表達(dá)觀點(diǎn)。既表揚(yáng)回答精彩的學(xué)生，也鼓勵(lì)回答錯(cuò)誤的學(xué)生。錯(cuò)誤的答案通常反映出學(xué)生的共同問題，教師作出及時(shí)反饋與分析，從而促進(jìn)學(xué)生的共同進(jìn)步。

實(shí)例1 哥尼斯堡七橋問題的模型化方式討論。

作為圖論和拓?fù)鋵W(xué)的起源，歐拉對哥尼斯堡七橋問題給出了圖模型，如圖3 所示，并給出最終解決方案。在引言部分，如果直接給出該問題的圖模型，那么學(xué)生只是被動接收，對模型感受并不深。因此，提出討論問題：能用什么數(shù)學(xué)工具來描述七橋問題？學(xué)生進(jìn)行思考和討論后，會發(fā)現(xiàn)用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)函數(shù)來描述七橋問題是很難實(shí)現(xiàn)的，如果借用已經(jīng)學(xué)過的二元關(guān)系中的關(guān)系圖，可以直觀地表述此問題。與學(xué)生共同分析之后，給出歐拉的圖模型作為對照，使學(xué)生對結(jié)點(diǎn)和邊的概念有更深刻的理解，也理解了具體問題的數(shù)學(xué)建模需要通過分析問題的實(shí)際特點(diǎn)得到。

Fig.3 K?nigsberg seven bridge problem圖 3 格尼斯堡七橋問題

實(shí)例2 n元關(guān)系的延展思考。

（1）課前預(yù)設(shè)問題：之前的課程學(xué)習(xí)和生活中有哪些n元關(guān)系？什么是n 元關(guān)系？通過什么方式表達(dá)n 元關(guān)系？關(guān)系數(shù)據(jù)庫與n元關(guān)系有什么關(guān)聯(lián)？

（2）課堂反饋問題：n 元關(guān)系運(yùn)算與集合運(yùn)算有什么區(qū)別？n 元關(guān)系運(yùn)算和關(guān)系數(shù)據(jù)庫操作有什么區(qū)別與聯(lián)系？n元關(guān)系與函數(shù)存在哪些異同？

（3）課后拓展問題：當(dāng)前國產(chǎn)數(shù)據(jù)庫中，華為Gauss DB與螞蟻金服的Ocean DB 是典型代表，查詢相關(guān)產(chǎn)業(yè)需求與發(fā)展趨勢，以及大數(shù)據(jù)中是否用到關(guān)系概念？

5 實(shí)施效果及數(shù)據(jù)分析

5.1 學(xué)生評教結(jié)果

中國海洋大學(xué)每學(xué)期均組織全體學(xué)生對課程進(jìn)行評教，根據(jù)近3 年學(xué)校教學(xué)質(zhì)量管理平臺的評價(jià)結(jié)果，離散數(shù)學(xué)課程團(tuán)隊(duì)的平均分為96.92 分，高于學(xué)校的平均分（93.99 分）和同類型課程平均分（93.52 分）。教學(xué)質(zhì)量評價(jià)的主要調(diào)查問題及支持比例如表3 所示，評教結(jié)果顯示了基于全過程反饋的混合式課程教學(xué)的有效性。通過基于問題解決的啟發(fā)式互動教學(xué)，師生實(shí)現(xiàn)有效反饋，學(xué)生能夠積極面對離散數(shù)學(xué)的高挑戰(zhàn)性，并極大地激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。

5.2 基于專業(yè)認(rèn)證的課程目標(biāo)達(dá)成度分析

設(shè)置4 個(gè)課程目標(biāo)，基于工程認(rèn)證的需求，對課程進(jìn)行持續(xù)改進(jìn)。①課程目標(biāo)1。掌握離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力與創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生科技報(bào)國的愛國熱情；②課程目標(biāo)2。掌握數(shù)理邏輯、集合論與代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等理論知識和證明方法及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，構(gòu)建相對完整的離散數(shù)學(xué)理論框架；③課程目標(biāo)3。掌握對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的理論化描述方法，培養(yǎng)學(xué)生在理論研究和工程應(yīng)用中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯推理與分析解決問題的能力；④課程目標(biāo)4。培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和表達(dá)能力，通過自行查找資料并分析，提升科技文檔的整理能力與語言表達(dá)能力。

Table 3 Mainly investigated problems of teaching quality evaluation and support proportion表3 教學(xué)質(zhì)量評價(jià)主要調(diào)查問題及支持比例

如表4 所示，根據(jù)工程認(rèn)證進(jìn)行指標(biāo)點(diǎn)對應(yīng)，考察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和課程考核結(jié)果，獲得4 個(gè)課程目標(biāo)的達(dá)成度分析。其中，A5，1、A5，2、A5，3為期末考試成績，分別對應(yīng)課程目標(biāo)1、課程目標(biāo)2 和課程目標(biāo)3 的得分，A5，1+A5，2+A5，3=60。2021 年離散數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)達(dá)成度如圖4所示。

Table 4 Complementation degree of course goals based on the learning process and test results表4 基于學(xué)習(xí)過程與考核結(jié)果的課程目標(biāo)達(dá)成度

Fig.4 Analysis of course objective achievement degree圖 4 課程目標(biāo)達(dá)成度分析

設(shè)置各課程目標(biāo)達(dá)成度為0.7，所有課程目標(biāo)均達(dá)到評價(jià)要求。其中，課程目標(biāo)1 達(dá)成度為0.83，課程目標(biāo)2 達(dá)成度為0.77，課程目標(biāo)3 達(dá)成度為0.80，課程目標(biāo)4 達(dá)成度為0.94。學(xué)生在科技報(bào)國責(zé)任感、創(chuàng)新精神和小組合作方面的目標(biāo)達(dá)成度較高，從而進(jìn)一步帶動了在課程實(shí)驗(yàn)、競賽、認(rèn)證考試等其他方面的學(xué)習(xí)與表現(xiàn)。

5.3 小組報(bào)告和課程實(shí)驗(yàn)帶動CSP認(rèn)證及課外競賽成績

在抽象理論學(xué)習(xí)中設(shè)置靈活的課程實(shí)驗(yàn)，為學(xué)生參加CCF-CSP 認(rèn)證、算法編程類競賽、數(shù)學(xué)競賽等打下良好的算法與程序基礎(chǔ)。近年來中國海洋大學(xué)計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生參加CCF-CSP 認(rèn)證的成績逐年提高，以150 分為認(rèn)證通過線，每年超過200分的考生人數(shù)占比從17%提升到58%。

通過基于全過程數(shù)據(jù)反饋的課程改革，有效提升了學(xué)生的算法分析和實(shí)現(xiàn)能力以及信息安全的數(shù)理基礎(chǔ)與遷移拓展能力。近5 年來，學(xué)生成績優(yōu)異，在國內(nèi)外競賽中多次獲得“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽一等獎、全國大學(xué)生信息安全競賽一等獎、ACM-ICPC 國際大學(xué)生程序設(shè)計(jì)競賽亞洲區(qū)域賽金牌等。

6 結(jié)語

本文基于線上線下教學(xué)和全過程考核反饋，提升學(xué)生的課程參與程度，實(shí)現(xiàn)對離散數(shù)學(xué)的主動學(xué)習(xí)。針對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的學(xué)習(xí)動力問題和目標(biāo)疑問、學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)難點(diǎn)等，從全過程化管理與反饋強(qiáng)化入手，整合校內(nèi)校外、課內(nèi)課外、本課程和后續(xù)發(fā)展的關(guān)系，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。教學(xué)實(shí)踐證明了該教學(xué)方法的有效性，可契合專業(yè)認(rèn)證目標(biāo)，符合目標(biāo)導(dǎo)向的教學(xué)理念。后續(xù)研究將進(jìn)一步深化對課程數(shù)據(jù)的自適應(yīng)管理。