在超強(qiáng)磁場(chǎng)中修正的相對(duì)論電子壓強(qiáng)*

董愛軍 高志福 楊曉峰 王娜 劉暢 彭秋和

1)(貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴陽 550001)

2)(中國科學(xué)院新疆天文臺(tái),烏魯木齊 830011)

3)(南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院,南京 210000)

4)(貴州省射電天文數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,貴陽 550001)

當(dāng)前脈沖星領(lǐng)域一個(gè)重要的研究熱點(diǎn)是磁星.本文在朱翠等(Zhu C,Gao Z F,Li X D,Wang N,Yuan J P,Peng Q H 2016Mod.Phys.Lett.A 31 1650070)工作的基礎(chǔ)上,重新研究了磁星超強(qiáng)磁場(chǎng)下(B?Bcr,Bcr 是電子的量子臨界磁場(chǎng))電子朗道能級(jí)的穩(wěn)定性及其對(duì)電子壓強(qiáng)的影響.首先,對(duì)弱磁場(chǎng)極限下(B?Bcr)中子星內(nèi)部電子壓強(qiáng)進(jìn)行必要的回顧;然后,通過引入電子朗道能級(jí)穩(wěn)定性系數(shù)gν 和Dirac-δ 函數(shù),推導(dǎo)出在超強(qiáng)磁場(chǎng)下修正的相對(duì)論電子壓強(qiáng)Pe 的表達(dá)式,給出表達(dá)式適用條件:物質(zhì)密度ρ≥107 g·cm—3和Bcr ≤B <1017 G(1 G=10—4 T).超強(qiáng)磁場(chǎng)通過修正相對(duì)論電子的相空間,提高了電子數(shù)密度ne,而ne 的增加意味著Pe 的增加.利用修正的電子壓強(qiáng)表達(dá)式,討論了超強(qiáng)磁場(chǎng)下費(fèi)米子自旋極化現(xiàn)象、電子磁化現(xiàn)象以及超強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)物態(tài)方程的修正.最后,本文的結(jié)果與其他類似工作進(jìn)行對(duì)比,并對(duì)未來的工作進(jìn)行展望.本文的研究將為磁星以及強(qiáng)磁化白矮星的物態(tài)方程和熱演化的探索提供極有價(jià)值的參考,將為普通射電脈沖星等離子磁層數(shù)值模擬、高磁場(chǎng)脈沖星輻射機(jī)制等相關(guān)研究提供有用的信息.

1 引言

磁星是主要由磁場(chǎng)提供輻射能量的一類脈沖星,屬于近些年來被關(guān)注的特殊類的致密天體[1,2],其表面磁場(chǎng)超過電子的臨界磁場(chǎng)Bcr(Bcr=4.41×1013G(1 G=10—4T)),在這樣強(qiáng)的磁場(chǎng)下,電子朗道能級(jí)被強(qiáng)烈地量子化[3,4].磁星的典型特征之一是X 射線波段和軟γ射線波段有著超過愛丁頓光度的短期爆發(fā);部分磁星會(huì)發(fā)射出中等或巨型閃耀,后者在不到0.5 s 內(nèi)能釋放出高達(dá)1046erg(1 erg=10—7J)的能量.軟γ射線重復(fù)暴和反常X射線脈沖星被認(rèn)為是磁星候選者.磁星和太陽耀發(fā)常被解釋為由劇烈磁重聯(lián)引起,但是磁星在寧靜狀態(tài)下X 射線輻射常被歸因于超強(qiáng)磁場(chǎng)的衰減[3-7].

中子星內(nèi)部處于β平衡中的完全簡并的相對(duì)論電子氣體,其分布函數(shù)f(Ee)服從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì).當(dāng)溫度T→ 0 時(shí),電子化學(xué)勢(shì)μe稱為電子費(fèi)米能.電子費(fèi)米能是致密星物態(tài)方程中一個(gè)非常重要的物理量.近年來,國內(nèi)外不少作者對(duì)致密星環(huán)境下的物態(tài)方程、中微子輻射和相對(duì)論電子進(jìn)行關(guān)注和研究[8-14].其中,劉晶晶等[15-19]對(duì)包括修正的Urca 過程、β衰變、電子俘獲以及中微子吸收等進(jìn)行長期的研究,并取得了豐碩的成果.高志福等[20]通過引入超強(qiáng)磁場(chǎng)下的Dirac-δ函數(shù),給出了超強(qiáng)磁場(chǎng)下簡并的相對(duì)論電子壓強(qiáng)Pe(若無特殊強(qiáng)調(diào),本文Pe單位均為dyns·cm—2)的一個(gè)特解:

其中Ye是電子豐度,B是磁場(chǎng)強(qiáng)度,ρ是物質(zhì)密度,飽和核密度ρ0=2.8×1014g·cm—3.方程(1)的適用范圍為ρ≥107g·cm—3和Bcr≤B<1017G.文獻(xiàn)[20]的主要結(jié)論有:磁場(chǎng)強(qiáng)度越大,電子壓強(qiáng)越大,磁星的總壓強(qiáng)總是各向異性的,與普通射電脈沖星相比,磁星可能是密度更大的中子星;若考慮磁能對(duì)物態(tài)方程的貢獻(xiàn),磁星的質(zhì)量可能更大.

朱翠等[21]通過引入電子朗道能級(jí)穩(wěn)定性系數(shù),研究了磁星內(nèi)部電子朗道能級(jí)的穩(wěn)定性,推導(dǎo)出超強(qiáng)磁場(chǎng)下相對(duì)論的特解,并討論了特解的適用范圍.1965 年,Kubo[22]給出關(guān)于強(qiáng)磁化電子氣體的微觀狀態(tài)數(shù)Npha的計(jì)算,得出在超強(qiáng)磁場(chǎng)中隨B的增加而減低的結(jié)論,彭秋和等[23]對(duì)這種計(jì)算方法有所質(zhì)疑.我們發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[22]人為地引入了一個(gè)錯(cuò)誤的假設(shè),即將非相對(duì)論電子回旋運(yùn)動(dòng)方程的解應(yīng)用到相對(duì)論電子運(yùn)動(dòng)中,給出超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子氣體在z軸方向pz→pz+dpz的動(dòng)量區(qū)間能態(tài)密度,得出∝1/B的結(jié)論,其中 ? 表示被約化的普朗克常數(shù).在過去的50 年中,其他作者反復(fù)地引用文獻(xiàn)[22],這可能導(dǎo)致人們錯(cuò)誤地理解強(qiáng)磁化中子星的物理.當(dāng)然,由于地球上缺乏中子星量級(jí)的強(qiáng)磁場(chǎng),人們無法在實(shí)驗(yàn)室中直接驗(yàn)證與B的關(guān)系.我們認(rèn)為在超強(qiáng)磁場(chǎng)下處理量子化的電子朗道能級(jí)應(yīng)該引入Dirac-δ函數(shù),如果B≥1017G,窄長的朗道柱面將會(huì)簡化為一維或二維的線性鏈,文獻(xiàn)[20,21]中的結(jié)論將不再適用.

由于篇幅的局限性,朱翠等[21]沒有對(duì)超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子壓強(qiáng)Pe和磁場(chǎng)強(qiáng)度B、物質(zhì)密度ρ及電子豐度Ye之間關(guān)系進(jìn)行研究,因此沒有給出關(guān)于Pe與B的表達(dá)式,而這樣的表達(dá)式無疑對(duì)于修正中子星的物態(tài)方程至關(guān)重要.第2 節(jié)對(duì)中子星內(nèi)部弱磁場(chǎng)近似下的電子壓強(qiáng)進(jìn)行回顧;第3 節(jié)推導(dǎo)出超強(qiáng)磁場(chǎng)中修正的電子壓強(qiáng)表達(dá)式,并與其他工作進(jìn)行對(duì)比;第4 節(jié)討論超強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)電子相空間的修正、超強(qiáng)磁場(chǎng)下費(fèi)米子極化和磁化問題;第5 節(jié)在相對(duì)論平均場(chǎng)模型下給出超強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)物態(tài)方程影響的相關(guān)估算,討論中子星內(nèi)部壓強(qiáng)的各向異性;第6 節(jié)進(jìn)行總結(jié)與展望.

2 中子星弱磁場(chǎng)極限下的電子壓強(qiáng)

如果中子星內(nèi)部磁場(chǎng)太弱,磁場(chǎng)對(duì)的影響可以忽略.在弱磁場(chǎng)極限下B?Bcr,和Pe均由ρ和Ye共同決定,Pe可寫成多方形式:Pe=KρΓ,其中K和Γ為常數(shù),在以下兩種情況下取值不同.

1)對(duì)于非相對(duì)論性電子,ρ?107g·cm—3,

2)對(duì)于相對(duì)論性電子,ρ≥107g·cm—3,

這里,A和Z分別表示核子數(shù)和質(zhì)子數(shù).對(duì)于Z和A都給定的原子核,電子與質(zhì)子的豐度相等:Ye=Yp=Z/A;對(duì)于理想的中子-質(zhì)子-電子(n-p-e)氣體,Ye=Yp=ne/(np+nn)≈ne/nN,其中np,nn和nN分別表示質(zhì)子數(shù)密度、中子數(shù)密度和核子數(shù)密度.將電子數(shù)密度ne=NAρYe(NA為阿伏伽德羅常數(shù))代入方程(2)和方程(3)中,得到中子星殼層中Pe隨ne的關(guān)系Pe2.45×,該式由李新虎等[24]文章中的方程(14)可以很容易算出.

圖1 給出了弱磁場(chǎng)極限下中子星內(nèi)部相對(duì)論電子的Pe隨ne的變化.可以看出,Pe隨ne的增加而增大,點(diǎn)-虛線(dM/dρ＞ 0)表示星體的質(zhì)量隨著物質(zhì)密度的增加而增大,具有這樣質(zhì)量的中子星是穩(wěn)定的;實(shí)線(dM/dρ<0)表示星體質(zhì)量隨密度的增加而減小,dM/dρ<0 這樣的中子星不穩(wěn)定.

圖1 中子星內(nèi)部弱磁場(chǎng)極限下相對(duì)論電子壓強(qiáng)Pe 隨電子數(shù)密度ne 的變化Fig.1.Relativistic electron pressurePe with electron number densityne in the limit of weak magnetic field inside a neutron star.

3 超強(qiáng)磁場(chǎng)中相對(duì)論電子的壓強(qiáng)

3.1 超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子朗道能級(jí)穩(wěn)定性

為了得到超強(qiáng)磁場(chǎng)中修正的電子壓強(qiáng)表達(dá)式,需要回顧朱翠等[21]的工作.他們首次引入超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子的朗道能級(jí)穩(wěn)定系數(shù)gν,并假定gν具有冪率指數(shù)的形式:

式中ν=n+1/2+σ是電子占據(jù)的朗道能級(jí)數(shù),n是主量子數(shù),σ=±1/2 是電子自旋值,自旋向下(↓)的電子占據(jù)的能級(jí)數(shù)ν=0,1,2,3,···,自旋向上(↑)的電子占據(jù)的能級(jí)數(shù)ν=1,2,3,···;g0和α分別表示電子的基態(tài)能級(jí)穩(wěn)定性系數(shù)和能級(jí)穩(wěn)定性指數(shù).當(dāng)ν=1 時(shí),g0=g1,即基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能級(jí)具有相同的穩(wěn)定性.為簡化起見,假定g0=g1=1.由量子力學(xué)可知,占據(jù)能級(jí)數(shù)n較大的電子具有較高的能量,容易發(fā)生激發(fā)躍遷,從而占據(jù)ν較低的能級(jí),并且ν越大能級(jí)穩(wěn)定性越低,即gν＜gν-1＜gν-2,因此α為負(fù)數(shù).在超強(qiáng)磁場(chǎng)中,電子的費(fèi)米面變成了狹長的朗道柱面.定義無量綱磁場(chǎng)B*B/Bcr,電子最大的朗道能級(jí)數(shù)為[21]

其中Int[·]表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的值取最大整數(shù),σ=±1/2 是電子自旋,pz為電子在z軸方向的動(dòng)量,me是電子的質(zhì)量,c是光速.不難看出,νmax隨磁場(chǎng)增強(qiáng)而減小.

3.2 超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子能態(tài)密度

將電子磁矩假定在一個(gè)沿著z軸方向的強(qiáng)磁場(chǎng)B*中,電子的費(fèi)米能為

其中,δ[p⊥/mec-(2B*)1/2] 為Dirac-δ函數(shù),物理意義是:由于朗道能級(jí)強(qiáng)量子化,在第n個(gè)和第n+1 朗道環(huán)面之間不存在任何微觀量子態(tài).Dν表示自旋簡并度,當(dāng)ν=0 時(shí),Dν=1,ν≥1,Dν=2,則方程(8)寫為

由方程(5)和方程(6)可知,當(dāng)pz=0 時(shí),則有

于是方程(9)被化簡為

將方程(10)代入方程(11)后,則有

引入比率qI2/I1,其中

當(dāng)νmax≥6 時(shí),比率q≈ 1,方程(11)中的求和用積分來代替,具體為

引入變量t=pzc/,于是方程(12)被簡化為

式中λe=h/(mec)表示電子的康普頓波長.

3.3 超強(qiáng)磁場(chǎng)中相對(duì)論電子的壓強(qiáng)

根據(jù)泡利不相容原理的要求,電子能態(tài)密度等于電子數(shù)密度,于是得到

其中,

求解方程(16)給出

即始終是由ne確定,而后者由B,ρ和Ye共同決定.高志福等[20]已經(jīng)證明:在平行和垂直于磁場(chǎng)方向電子的最大動(dòng)量都等于電子的費(fèi)米動(dòng)量,

將電子動(dòng)量進(jìn)行體積分,得到電子壓強(qiáng):

式中φ(xe)是多項(xiàng)式,

方程(23)適用于ρ≥107g·cm—3和Bcr

圖2 不同磁場(chǎng)下中子星內(nèi)部電子壓強(qiáng)Pe隨物質(zhì)密度ρ 的變化Fig.2.Relation between electron pressurePe and matter densityρ in neutron stars with different magnetic fields.

中子星殼層以電子簡并壓為主導(dǎo),特別是在年輕的強(qiáng)磁化中子星(如磁星),星體殼層中磁化率、熱導(dǎo)率、比熱等物理量振蕩行為可能與費(fèi)米面附近的電子在強(qiáng)磁場(chǎng)中的活動(dòng)性有關(guān),這些行為本質(zhì)上體現(xiàn)了電子朗道能級(jí)的不穩(wěn)定性,未來我們將深入地討論上述問題.近30 年來,強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)電子朗道能級(jí)的影響早已引起人們廣泛的廣注,研究結(jié)果已成功地應(yīng)用于依靠電子簡并壓來抵抗引力的白矮星研究之中[25-31].下面將以三篇典型性的工作[25-27]為例,對(duì)強(qiáng)磁場(chǎng)中電子氣體的壓強(qiáng)的計(jì)算方法進(jìn)行簡介,將前人的工作及與本文的工作進(jìn)行對(duì)比.

比較發(fā)現(xiàn)方程(24)與方程(7)一致.超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子數(shù)密度ne為

方程(27)和方程(23)是Pe在強(qiáng)磁場(chǎng)中兩種不同的表達(dá)式.兩者存在相同點(diǎn)和差異性,相同點(diǎn)包括:1)電子看成理想的氣體,并且忽略了電子反常磁矩;2)電子壓強(qiáng)都與磁場(chǎng)強(qiáng)度B*、電子數(shù)密度ne和電子費(fèi)米能有關(guān),并且ne和都是包含B*的復(fù)雜函數(shù);3)給定ne和,Pe隨B*的增加而增大;4)隨著磁場(chǎng)的增加,由方程(27)擬合的壓強(qiáng)隨密度變化曲線會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的突起或波動(dòng),這是因?yàn)樵诘讦蛡€(gè)能級(jí)電子能態(tài)由部分填充到完全填充轉(zhuǎn)變,或電子由第ν個(gè)到第ν+1 個(gè)能級(jí)躍遷引起,這種現(xiàn)象被認(rèn)為與費(fèi)米面附近的電子在強(qiáng)磁場(chǎng)中行為有關(guān)[25,26],其本質(zhì)上體現(xiàn)了朗道能級(jí)不穩(wěn)定性.

兩者的差異性在于:1)方程(27)是一個(gè)包含能級(jí)數(shù)ν、復(fù)雜的求和公式,并且νmax取值非常小,通常情況下0 ≤νmax≤ 3[26-28];費(fèi)米面附近的電子主要集中在基態(tài)ν=0 和第一激發(fā)態(tài)ν=1,有意思的是在給定電子費(fèi)米能和物質(zhì)密度時(shí),B*越強(qiáng),νmax越小,并且ν值小的能級(jí)所對(duì)應(yīng)的電子壓強(qiáng)較大;在強(qiáng)磁場(chǎng)下,隨著電子能量值的增加,電子態(tài)密度下降到非常小的值,使得壓強(qiáng)梯度變得非常陡峭,增加了電子的向外簡并壓,從而解釋了超錢德拉塞卡質(zhì)量極限的強(qiáng)磁化白矮星;2)本文給出的方程(23)是一個(gè)沒有包含能級(jí)數(shù)ν、簡潔的積分表達(dá)式,但在推導(dǎo)過程中要求νmax取值較大,通常情況下νmax≥6,使得求和變?yōu)榉e分,在超強(qiáng)磁場(chǎng)下,電子態(tài)密度和電子能量值同時(shí)增加,電子向外簡并壓也隨之增加,不需要考慮電子壓強(qiáng)的梯度,同樣支持強(qiáng)磁化白矮星模型.產(chǎn)生上述差異性的原因是:在以往的工作中沒有引入電子朗道能級(jí)穩(wěn)定性系數(shù)和Dirac-δ函數(shù).

圖3 是本文工作與強(qiáng)磁場(chǎng)中電子數(shù)密度和電子壓強(qiáng)其他研究的對(duì)比.圖3(a)顯示強(qiáng)磁化白矮星中電子壓強(qiáng)Pe隨ρ的變化[28].白矮星由碳元素12C 組成,壓強(qiáng)P=Pe+PL,這里Pe是按照方程(27)計(jì)算的電子壓強(qiáng),PL是晶格壓強(qiáng)(受磁場(chǎng)影響忽略不計(jì));此外實(shí)線、長虛線、短虛線和點(diǎn)線分別表示星體中心磁場(chǎng)B*=0,10,100 和200 時(shí)的擬合曲線.比較發(fā)現(xiàn):當(dāng)0 ≤B*≤ 10 時(shí),磁場(chǎng)對(duì)白矮星的狀態(tài)方程和星體結(jié)構(gòu)的影響非常小;當(dāng)B*?1 時(shí)(如B*≥100),強(qiáng)磁場(chǎng)的效應(yīng)則不能忽略.圖3(a)中,由于PL?Pe,因此不需要考慮PL.圖3(a)還表明在相同的物質(zhì)密度下,Pe隨B*的增加而增大,且曲線出現(xiàn)多處突起,說明電子的朗道能級(jí)不穩(wěn)定.

圖3 本文與其他強(qiáng)磁場(chǎng)中電子數(shù)密度和電子壓強(qiáng)研究的對(duì)比(a)強(qiáng)磁化白矮星中電子壓強(qiáng)Pe隨ρ 變化關(guān)系;(b)中子星殼層電子數(shù)密度ne隨ρ 變化關(guān)系;(c)磁化白矮星中(最大電子費(fèi)米能量EFmax=20mec2)電子壓強(qiáng)Pe隨ρ 變化關(guān)系;(d)兩種不同的理論模型下白矮星中電子壓強(qiáng)Pe隨ρ 變化關(guān)系Fig.3.Study of electron number density and electron pressure in strong magnetic fields by other authors and their comparison with this work:(a)Relationship between electron pressurePe andρ in a strongly magnetized white dwarf(WD);(b)relationship between the electron number densityne andρ in the crust of a neutron star;(c)electron pressurePe as a function ofρ in a magnetized WD with maximum electron Fermi energyEFmax=20mec2;(d)electron pressurePe as a function ofρ in a magnetized WD under two different theoretical models.

與強(qiáng)磁化白矮星對(duì)比,圖3(b)給出了中子星內(nèi)殼層ne在不同磁場(chǎng)下隨ρ的變化[29],點(diǎn)線、虛線和實(shí)線分別表示殼層磁場(chǎng)強(qiáng)度B*=0,103和104時(shí)的擬合曲線,后兩條曲線由方程(23)擬合得到.對(duì)于B*=103或更小的場(chǎng)強(qiáng),大量的朗道能級(jí)被電子填充,電子數(shù)密度與零磁場(chǎng)的結(jié)果幾乎沒有區(qū)別.對(duì)于較強(qiáng)磁場(chǎng),例如B*=104,電子分布在第0 個(gè)(ν=0)朗道能級(jí)或某個(gè)質(zhì)量密度范圍內(nèi)的幾個(gè)能級(jí),在這種情況下與零磁場(chǎng)情況相比,電子數(shù)密度顯著增強(qiáng).而本文的計(jì)算給出關(guān)系式:(B*)1/6ne,其中和ne分別為超強(qiáng)磁場(chǎng)下和零磁場(chǎng)下的電子數(shù)密度.這個(gè)關(guān)系式應(yīng)用到中子星殼層,給出的電子數(shù)密度變化趨勢(shì)與圖3(b)給出的變化趨勢(shì)基本一致,因?yàn)閺?qiáng)磁場(chǎng)通過對(duì)晶格能的修正會(huì)改變?cè)雍说男蛄?提高質(zhì)子豐度和核子平衡密度,電子的化學(xué)勢(shì)也得到提升,相關(guān)的工作可以參考作者在2013 年的工作[20].然而在密度較高時(shí),在圖3(b)中沒有看到電子豐度的增加,反而是電子數(shù)密度變化隨磁場(chǎng)的增加而減低,這與本文給出的結(jié)論相反.文獻(xiàn)[29]給出有意思的解釋:在強(qiáng)磁場(chǎng)下,在密度較高區(qū)域從原子核中流出的中子減少.在中子星高密度區(qū)域,如外核與內(nèi)核區(qū),由于中子簡并壓主導(dǎo)中子星的物態(tài)方程,文獻(xiàn)[29]對(duì)電子壓強(qiáng)不再討論.需要強(qiáng)調(diào)的是,文獻(xiàn)[29]給出B*=104這樣的強(qiáng)磁場(chǎng)超出本文電子壓強(qiáng)表達(dá)式的適用范圍,給出的低磁場(chǎng)B*≤ 103與本文給出的低磁場(chǎng)B*≤ 1 相差較大.

為了和文獻(xiàn)[27]的結(jié)果進(jìn)行比較,圖3(d)給出兩種不同的理論模型下白矮星中電子壓強(qiáng)Pe隨物質(zhì)密度ρ的變化,密度范圍為ρ=1.2×109—1.17×1010g·cm—3.黑色實(shí)線表示B*=0時(shí)Pe隨ρ的變化,根據(jù)Pe=2.45×10—17ne4/3=2.45×10—17(NAρYe)4/3得到Pe的變化范圍為6.31×1026—1.35×1028dyns·cm—2,紅色點(diǎn)-虛線表示在EFmax=20mec2和B*=199.5 情況下Pe隨ρ的變化.為了簡化計(jì)算,取νmax=1,由方程(27)得到Pe的變化范圍為8.46×1027—3.27×1028dyns·cm—2;藍(lán)色點(diǎn)-虛線表示在B*=199.5時(shí)Pe隨ρ的變化,由方程(23)得到Pe的變化范圍為1.24×1028—2.56×1029dyns·cm—2.對(duì)比DM2012 模型[27],發(fā)現(xiàn)在相同的磁場(chǎng)下電子壓強(qiáng)隨密度增加較快,所對(duì)應(yīng)的最大電子費(fèi)米能遠(yuǎn)大于20mec2,這是因?yàn)閮煞N不同的理論模型給出電子數(shù)密度、電子費(fèi)米能和電子壓強(qiáng)的計(jì)算方法存在著一定的差異.

4 超強(qiáng)磁場(chǎng)下量子電動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象

4.1 超強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)電子相空間的修正

超強(qiáng)磁場(chǎng)通過修正相對(duì)論電子的相空間,會(huì)導(dǎo)致簡并的相對(duì)論電子重新分布.根據(jù)泡利不相容原理,電子將從朗道能級(jí)的最低量子能態(tài)填充到最高能態(tài).隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度B的增加,越來越多的電子占據(jù)更高的朗道能級(jí),但隨著電子朗道能級(jí)數(shù)的增加,電子朗道能級(jí)穩(wěn)定性系數(shù)會(huì)減小.在超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子數(shù)密度的增加意味著電子簡并壓強(qiáng)的增加.

在中子星內(nèi)部,簡單的中子衰變和連續(xù)的電子俘獲同發(fā)生,然而超強(qiáng)磁場(chǎng)可能會(huì)使前者的速率大于后者.由于更多的中子轉(zhuǎn)化為質(zhì)子,質(zhì)子的豐度增加,根據(jù)電中性要求,電子豐度相應(yīng)增加,因此ne也會(huì)增加;另外,由核物理知識(shí)可知,質(zhì)子的豐度反映核物質(zhì)的非對(duì)稱性,質(zhì)子豐度的值與核物質(zhì)的對(duì)稱能、體積束縛能等參量密切相關(guān)[30-35];超強(qiáng)磁場(chǎng)可能會(huì)增加核物質(zhì)的非對(duì)稱性,提高質(zhì)子的豐度,因此核物質(zhì)的平均電子數(shù)密度也相應(yīng)地增加.當(dāng)然,這些理論上的可能性有待于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

Table 1.Partial c alculations ofnN,,Pe,PandMina relativisticmeanfieldmodel withtheTMA parameter set.表1 在相對(duì)論平均場(chǎng)TMA 參數(shù)模型下nN,,Pe,P和M 的部分計(jì)算值

Table 1.Partial c alculations ofnN,,Pe,PandMina relativisticmeanfieldmodel withtheTMA parameter set.表1 在相對(duì)論平均場(chǎng)TMA 參數(shù)模型下nN,,Pe,P和M 的部分計(jì)算值

4.2 超強(qiáng)磁場(chǎng)下費(fèi)米子自旋極化現(xiàn)象

最近,不少工作[35-39]對(duì)中子星內(nèi)部零溫(T=0)和強(qiáng)磁場(chǎng)下費(fèi)米子系統(tǒng)自旋極化現(xiàn)象進(jìn)行研究.本節(jié)考慮自然單位制,費(fèi)米子數(shù)密度為[36]

式中,無量綱變量(ε(B)是單粒子的能量)γf的表達(dá)式為

從方程(32)可以看出,當(dāng)γf→ ∞時(shí),對(duì)應(yīng)零磁場(chǎng)下粒子自旋完全非極化場(chǎng)景,有n↑=n↓=n/2;對(duì)于γf→ 1,對(duì)應(yīng)超強(qiáng)磁場(chǎng)下費(fèi)米子自旋完全極化場(chǎng)景,有n↑=n和n↓=0.由于當(dāng)γf<1 時(shí),n↓的值變?yōu)樨?fù)值,因此γf的最小值為1.對(duì)應(yīng)粒子自旋完全極化場(chǎng)景,中子星物質(zhì)所能維持的最大磁場(chǎng)強(qiáng)度即磁場(chǎng)強(qiáng)度飽和值Bs為

圖4 中子星內(nèi)部費(fèi)米子完全極化場(chǎng)景下飽和磁場(chǎng)強(qiáng)度Bs 隨粒子數(shù)密度n 的變化關(guān)系(a)質(zhì)子/電子完全極化下Bs vs.ne/np;(b)中子完全極化下Bs vs.nB(nB 為重子數(shù)密度)Fig.4.Relationship between the saturated magnetic field strengthBs and the particle number densityn in a fully polarized neutron star fermion matter:(a)Bs vs.ne/np in a fully polarized scenario for proton/electron matter system;(b)Bs vs.nB in a fully polarized scenario for the neutron matter system(nB is the baryon number density).

4.3 超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子磁化現(xiàn)象

由4.2 節(jié)可知,當(dāng)中子星內(nèi)部出現(xiàn)電子自旋極化現(xiàn)象時(shí),自旋平行于和反平行于磁場(chǎng)方向的電子數(shù)密度不再相等,電子系統(tǒng)被磁化,中子星內(nèi)部出現(xiàn)一個(gè)宏觀上的感應(yīng)磁矩,感應(yīng)磁矩就會(huì)導(dǎo)致一個(gè)感應(yīng)磁場(chǎng),后者的大小取決于電子系統(tǒng)的磁化率χ或磁化強(qiáng)度M.根據(jù)最新研究[39],磁星內(nèi)部可能包括化石起源的原始磁場(chǎng)和順磁磁化產(chǎn)生的感應(yīng)磁場(chǎng)[38].后者為磁星提供制動(dòng)力矩,影響磁星輻射特性和內(nèi)部熱演化.電子磁化由兩種成分構(gòu)成:一是電子內(nèi)稟磁矩在外磁場(chǎng)中的順向分布引起的泡利順磁部分;二是在外場(chǎng)中電子軌道運(yùn)動(dòng)量子化引起的朗道抗磁部分.高志福等[40]采用霍爾斯坦-普里馬可夫變換等方法,對(duì)外磁場(chǎng)中的鐵磁體、反鐵磁及亞鐵磁體的自旋波譜討論并計(jì)算了臨界磁場(chǎng).由電動(dòng)力學(xué)可知,磁化強(qiáng)度M=χB及相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1/(1—μ0χ),μ0為真空磁導(dǎo)率,當(dāng)μ0χ→ 1時(shí),磁場(chǎng)變得越強(qiáng),出現(xiàn)臨界磁化現(xiàn)象.強(qiáng)磁場(chǎng)中相對(duì)論電子的磁化系數(shù)為[41]

對(duì)于生鮮類冷凍冷藏產(chǎn)品，采用全程冷鏈關(guān)鍵。從供應(yīng)商的出庫到電商的冷庫，中間不能離開冷藏，倉庫在驗(yàn)收入庫時(shí)要檢查送貨車輛以及溫度是否達(dá)標(biāo)。水果的新鮮度和成熟度也是驗(yàn)收時(shí)的重點(diǎn)關(guān)注內(nèi)容，如果擬入庫商品在短期內(nèi)要出庫或者銷售狀況好、市場(chǎng)需求大，就適合選擇成熟度比較高的商品，但是如果擬入庫商品有較長的銷售期，就適合選擇成熟度比較低的商品，這樣才能避免配送到消費(fèi)者手上的時(shí)候出現(xiàn)腐爛變質(zhì)的情況。不過成熟度偏低的產(chǎn)品在口感和品質(zhì)上會(huì)有一定程度的欠缺，所以在采購入庫時(shí)要盡量避免這一類。

利用方程(35),圖5 給出不同強(qiáng)磁場(chǎng)下相對(duì)論電子的磁化率χ隨ne的變化,水平的點(diǎn)-虛線表示臨界磁化率(在高斯單位制下μ0=1).當(dāng)ne一定時(shí),χ隨B的增加而增大,當(dāng)B一定時(shí),χ隨ne的增加而增大.在中子星高密度區(qū)域會(huì)出現(xiàn)臨界磁化現(xiàn)象,甚至磁化系數(shù)大于1.本文不考慮質(zhì)子和中子磁化現(xiàn)象,因?yàn)楹俗哟呕枰拇艌?chǎng)更高(B≥5×1018G),在這樣高的磁場(chǎng)下本文得到的電子壓強(qiáng)修正表達(dá)式不再成立.在中子星內(nèi)部簡并電子系統(tǒng)的磁化將扮演重要角色.對(duì)于原生中子星,在以中微子輻射主導(dǎo)的冷卻過程中,隨著溫度的降低,一方面物質(zhì)分布的層次性使得中子星內(nèi)部磁化不均勻,導(dǎo)致新的磁場(chǎng)誘導(dǎo)項(xiàng)產(chǎn)生;另一方面順磁化的電子系統(tǒng)相當(dāng)于減弱了磁場(chǎng)的擴(kuò)散,從而出現(xiàn)等效擴(kuò)散系數(shù)等于零的臨界情況,在中子星磁場(chǎng)演化過程中增加了相變可能性.隨著擴(kuò)散的減弱,磁化強(qiáng)度會(huì)隨著磁場(chǎng)的增加發(fā)生振蕩,出現(xiàn)De Haasvan Alphen 不穩(wěn)定性,中子星表現(xiàn)出磁星的活動(dòng)性,如耀斑和外暴[1-5].

圖5 不同磁場(chǎng)下中子星內(nèi)部相對(duì)論電子的磁化率χ 與電子數(shù)密度ne 的變化關(guān)系Fig.5.Relation between the magnetic susceptibilityχ and number density of relativistic electronsne in neutron stars with different magnetic field strengths.

5 超強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)物態(tài)方程的修正

5.1 超強(qiáng)磁場(chǎng)下相對(duì)論平均場(chǎng)理論模型

相對(duì)論平均場(chǎng)理論(relativistic mean field theory,RMFT)已成為研究有限核物質(zhì)性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)方法.TMA 參數(shù)組與相對(duì)論Brueckner-Hartree-Fock 理論預(yù)測(cè)相一致,能很好地描述中子星狀態(tài)方程[42-48].將結(jié)合RMFT 框架下的TMA 參數(shù)組及本文所得到的超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子壓強(qiáng)的表達(dá)式,求解廣義相對(duì)論流體靜力學(xué)平衡方程(TOV 方程),研究超強(qiáng)磁場(chǎng)如何影響中子星的物態(tài)方程.主要討論由核子(n,p)、輕子(e,μ)組成的傳統(tǒng)中子星,記作npeμ物質(zhì).強(qiáng)子之間的相互作用是由介子(σ,ω,ρ)來傳遞.核子數(shù)密度nN為中子數(shù)密度nn和質(zhì)子數(shù)密度np之和.強(qiáng)磁場(chǎng)環(huán)境下,總的相互作用拉格朗日密度為[46,47]

其中ψN和ψl分別為核子和輕子的Dirac 旋量場(chǎng);σμν=i/2[γμ,γν];κN和κl分別為核子和輕子的反常磁矩系數(shù),κp=1.7928μN(yùn),κn=—1.9130μN(yùn),κe=1.15965×10—3μB,κμ=1.16952×10—3μB[48,49];τ是核子同位旋,τ0是τ的第三分量;σ,ω和ρ分別表示標(biāo)量介子、矢量介子、等矢量-矢量介子場(chǎng),ωμν=?μων—?νωμ和Rμν=?μRν—?νRμ分別表示ω和ρ介子的場(chǎng)張量;U(σ)=(1/3)g2σ3+(1/4)g3σ4是σ介子非線性自相互作用項(xiàng);電磁場(chǎng)張量Fμν=?μAν—?νAμ,Aμ=(0,0,Bx,0);m和ml核子分別表示核子和輕子的質(zhì)量;mσ,mω和mρ分別表示σ,ω 和ρ 介子的質(zhì)量;gσ,gω和gρ分別是σ,ω 和ρ 介子與核子之間的耦合常數(shù);有關(guān)TMA 參數(shù)組核物質(zhì)飽和特性和耦合常數(shù),請(qǐng)參考文獻(xiàn)[45]中表4.本文采用一種廣泛應(yīng)用的、從表層到中心隨密度變化的中子星磁場(chǎng)模型[44],具體形式如下:

其中,β=0.001,γ=3,Bsurf和Bcent分別表示中子星表面和中心磁場(chǎng).根據(jù)電子極化限制和磁星表面磁場(chǎng)觀測(cè),選取Bcent=1.0×1016G及Bsurf=1.0×1014G.在如此強(qiáng)度的變化磁場(chǎng)下反常磁矩對(duì)中子星物態(tài)方程影響較小,故而暫不考慮核子和輕子的反常磁矩.圖6 表示中子星內(nèi)部磁場(chǎng)B隨密度ρ的變化關(guān)系.

圖6 中子星內(nèi)部磁場(chǎng)B 隨物質(zhì)密度ρ 的變化關(guān)系Fig.6.Relation of the magnetic fieldB and matter densityρ in a neutron star.

把(36)式代入Euler-Lagrange 方程,得到核子、輕子和介子在強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程:

每個(gè)組分的費(fèi)米能與它們的費(fèi)米動(dòng)量之間關(guān)系為

其中m*=mN—gσσ是核子有效質(zhì)量,量子數(shù)s=+1 和—1 分別表示粒子自旋向上和自旋向下.核子標(biāo)量密度ρS分別為

物質(zhì)系統(tǒng)中的中子、質(zhì)子、繆子與電子的粒子數(shù)密度與費(fèi)米動(dòng)量的關(guān)系分別為

其中εp,εn,εe和εμ分別為質(zhì)子、中子和電子和繆子的能量密度,具體形式為

考慮電磁場(chǎng)對(duì)能量密度的貢獻(xiàn),總的能量密度ε和熱力學(xué)壓強(qiáng)P分別為

利用中子星結(jié)構(gòu)的TOV 方程來研究星體的宏觀性質(zhì),具體形式為[50,51]

其中M(r),ε(r)和P(r)分別為以半徑為r的球面內(nèi)中子星的質(zhì)量、能量密度和壓強(qiáng).以物態(tài)方程(51)作為輸入量,在邊界條件P(R)=0和M(R)=0情況下可以獲得TOV 方程的解.由于中子星中心的重子數(shù)密度由nN=(M/mN)/(4πr3/3)來決定,得到中子星質(zhì)量M與nN的變化關(guān)系.表1 中的第2—5 列表示在零磁場(chǎng)中的計(jì)算值;第6—9 列表示在密度依賴的中子星強(qiáng)磁場(chǎng)模型下的計(jì)算值.由表1 可以看出,在TMA 參數(shù)模型下,電子費(fèi)米能、電子壓強(qiáng)Pe和壓強(qiáng)P都隨星體中心的nN的增加而增大,在相同nN的情況下,、Pe和壓強(qiáng)P都隨著磁場(chǎng)的增加而增大.當(dāng)重子數(shù)密度nN=0.9156 fm—3時(shí),中子星質(zhì)量達(dá)到最大值,當(dāng)B?B*時(shí),M的最大值為1.9916M⊙(M⊙為太陽質(zhì)量),當(dāng)B＞B*時(shí),M的最大值為2.034M⊙,增加的質(zhì)量來源于磁場(chǎng)能的貢獻(xiàn).本文模型能夠解釋兩倍太陽質(zhì)量的中子星[52],這表明本文選擇的TMA 參數(shù)組比較可靠.

5.2 超強(qiáng)磁場(chǎng)下壓強(qiáng)的各向異性

5.1 節(jié)在球?qū)ΨQ空間下求解了TOV 方程,忽略了壓強(qiáng)的各向異性.在實(shí)際的中子星環(huán)境下,超強(qiáng)磁場(chǎng)會(huì)改變空間的球?qū)ΨQ性,在平行于磁場(chǎng)的方向的壓強(qiáng)P//與垂直于磁場(chǎng)方向的壓強(qiáng)P⊥存在著一定的差異.在本文所選擇的密度依賴的強(qiáng)磁場(chǎng)模型下(B≤ 1016G),核子的反常磁矩忽略不計(jì).系統(tǒng)總的能量-動(dòng)量張量Tμν 由物質(zhì)部分和電磁場(chǎng)部分所組成,分別表示為

其中磁化張量由M=—?εm/?B來決定,磁場(chǎng)張量BμBμ-B2.方程(52)改寫為

垂直于磁場(chǎng)方向的壓強(qiáng)和平行于磁場(chǎng)方向的壓強(qiáng)由下列方程決定:

將方程(51)代入方程(54)中,得到

為了討論壓強(qiáng)的各向異性,定義兩個(gè)方向上的壓強(qiáng)之差:

2013 年我們對(duì)磁星內(nèi)部壓強(qiáng)的各向異性進(jìn)行詳細(xì)地討論[20],當(dāng)B?1020G 時(shí),星體內(nèi)部磁化方向與外磁場(chǎng)方向相反,即M<0,ΔP=P⊥—P//＞ 0,或P⊥＞P//,沿磁場(chǎng)方向磁張壓使中子星發(fā)生形變,變成類似地球的旋轉(zhuǎn)橢球星;若B≥1020G 時(shí),會(huì)出現(xiàn)中子磁矩順磁磁化,則M＞ 0,故P⊥

表2 相對(duì)論平均場(chǎng)模型下nN,ρ,B,ne,|MB|,ΔP和P//的部分計(jì)算值,這里選擇TMA 參數(shù)組和密度依賴的中子星強(qiáng)磁場(chǎng)模型Table 2.Partial calculations ofnN,ρ,B,ne,|MB|,ΔP和P//in a relativistic mean field model.TMA parameter set and a density-dependent magnetic field model for a neutron star are selected.

6 總結(jié)與展望

在我們以往的工作基礎(chǔ)上,通過引入電子朗道能級(jí)穩(wěn)定性系數(shù)和Dirac-δ函數(shù),本文推導(dǎo)出在超強(qiáng)磁場(chǎng)下修正的相對(duì)論電子壓強(qiáng)的表達(dá)式;討論了超強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)電子相空間的修正、超強(qiáng)磁場(chǎng)下費(fèi)米子自旋極化現(xiàn)象、超強(qiáng)磁場(chǎng)中電子系統(tǒng)磁化現(xiàn)象以及超強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)物態(tài)方程的修正.磁星內(nèi)部可能包括化石起源的原始磁場(chǎng)和順磁磁化產(chǎn)生的超強(qiáng)感應(yīng)磁場(chǎng).后者提供制動(dòng)力矩,影響磁星輻射特性和內(nèi)部熱演化.彭秋和等[53]認(rèn)為:磁星的超強(qiáng)磁場(chǎng)可能起源于各向異性的3P2中子超流在低溫下順磁所產(chǎn)生的感應(yīng)磁場(chǎng),最大的偶極磁場(chǎng)強(qiáng)度為Bd為3×1015—4×1015G.本文所得的結(jié)論適用于文獻(xiàn)[53]的磁星模型.方仁洪等[54]從均勻磁場(chǎng)中單個(gè)大質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的朗道能級(jí)出發(fā),構(gòu)造了系統(tǒng)的配分函數(shù),通過配分函數(shù)可以導(dǎo)出包括壓強(qiáng)在內(nèi)的所有的熱力學(xué)量(如矢量流、能量-動(dòng)量-張量等);與本文不同的是,方仁洪等[54]是在有限溫度下的狄拉克費(fèi)米子系統(tǒng)的熱力學(xué)(也可得到溫度趨近零時(shí)情形);文獻(xiàn)[54]與本文的結(jié)果大致相同,但處理問題的方法和側(cè)重點(diǎn)不同,前者為強(qiáng)磁場(chǎng),后者為一般磁場(chǎng),得到熱力學(xué)壓強(qiáng)后,同樣可求出狄拉克費(fèi)米子的物態(tài)方程.

由于篇幅有限,只選擇傳統(tǒng)的中子星內(nèi)部的npeμ物質(zhì)系統(tǒng)為代表,討論了超強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)物態(tài)方程的影響,沒有討論量子電動(dòng)力學(xué)效應(yīng)對(duì)弱相互作用過程和輻射機(jī)制的影響,也無法對(duì)超強(qiáng)磁場(chǎng)在中子星其他物質(zhì)區(qū)域的量子電動(dòng)力學(xué)效應(yīng)逐個(gè)進(jìn)行討論,這些將是我們未來研究工作的方向之一.本文研究為磁星及依靠電子簡并壓來抵抗引力的強(qiáng)磁化白矮星的物態(tài)方程和熱演化的研究提供了參考,可為射電脈沖星等離子磁層數(shù)值模擬[55-57]、高磁場(chǎng)脈沖星及磁星的輻射機(jī)制、限制中子星引力波的上限[58,59]等相關(guān)研究提供有用的信息.