一種用于軟X 射線激光去相干的單玻璃管光學透鏡設計*

袁天語 邵尚坤 孫學鵬 李惠泉 華陸 孫天希?

1)(北京師范大學核科學與技術學院,射線束技術教育部重點實驗室,北京 100875)

2)(北京市科學技術研究院輻射技術研究所,北京 100875)

激光具有亮度高、單色性好、高相干性及方向性好的優勢,然而在激光成像、激光加工等場景只想利用其高亮度或高單色性,高相干性導致的干涉效應會影響和限制其應用效果.通過模擬計算的方法,設計了一種針對軟X 射線激光去相干的新型單玻璃管光學透鏡.模擬結果顯示,針對波長為10 nm、束腰半徑為1.25 mm的軟X 射線激光光束,透鏡入口端內直徑5 mm、出口端內直徑0.6 mm、長度15 cm 的單玻璃管光學透鏡在有效降低軟X 射線激光光束相干度的同時,在出口處獲得了發散度為30—50 mrad 的出射光束,相應的傳輸效率為78%,光強增益為52.74.針對波長不低于1 nm 的激光光束,該型號的單玻璃管光學透鏡能夠將光束的傳輸效率保持在30%以上.本文還探討了入射光能量和透鏡長度對器件傳輸結果的影響.結果表明,根據全反射原理設計的單玻璃管光學透鏡能夠滿足極紫外到X 射線波長范圍內激光去相干的應用需求,在X 射線激光成像、激光加工等方面具有廣泛的應用前景.

1 引言

自1916 年愛因斯坦提出受激輻射的基本理論后,激光在亮度、相干性、超快時間等方面取得了巨大的發展[1?4],廣泛應用于激光加熱、激光同位素分離[5]、激光材料加工[6]等方面.而極紫外到軟X 射線波段的激光光源由于能實現材料高對比成像[7]、對活體生物樣本進行成像[8,9]、等離子體診斷[10]等而備受關注.在軟X 射線激光的實際應用中,激光的去相干化具有重要意義.例如,激光較高的相干性會導致X 射線激光顯微鏡成像過程中產生激光散斑,進而導致成像質量的下降[11].在軟X 射線激光成像的具體應用中,干涉效應會影響分辨率[12,13].在進行激光打孔、激光焊接時需要均勻的光強分布,而激光的高度相干性帶來的多光束干涉效應使光斑強度呈點陣化分布,導致焊接效果不理想[14?16].因此研制適配于軟X 射線波段激光的調控器件對進一步拓展激光的應用有著十分重要的價值.

目前激光去相干的主要研究工作集中在可見光波段,從空間相干性上考慮,去相干的方法主要有增大光源角譜和采用旋轉散射器,Hsiao等[17]設計了一個一維反射式擴散器降低激光光源的相干性,該方案得到了均勻度高達92%的線束,然而這種方式會降低激光光強.從時間相干性上考慮,通常采用衍射光柵[18]、隨機相位板技術[19]、微透鏡陣列法[20]等方式.然而此類方法所適配的激光波長通常在幾百納米,當需要調制的光線的波長下降至軟X 射線波段時,相應光學元件的設計與制造難度會隨著目標光源波長的縮短而加大.

基于全反射原理的玻璃管光學器件具有工作能量范圍寬和傳輸效率高等特點.玻璃管透鏡可以設計成非成像型的光學器件,一定范圍內的光源位置變化不影響焦斑位置及大小,同時還具有加工制造難度低、價格低廉等優勢.本文設計的去相干玻璃管光學透鏡(SGTDL)能夠在滿足去相干需求的同時,按需調整軟X 射線激光的束斑大小、增大光強增益.在X 射線激光成像、激光加工等方面具有廣泛的應用前景.

2 SGTDL 設計

2.1 原理簡介

2.1.1 X 射線的全反射理論

作為一種電磁波,X 射線在兩種介質交界面上的反射與折射強度遵循菲涅耳公式,即:

其中,Erp為電場平行于反射面的反射光振幅,Ers為電場垂直于反射面的反射光振幅;Eis為電場垂直于反射面的入射光振幅,Eip為電場平行于反射面的入射光振幅;n1為第一種介質的折射率,n2為第二種介質的折射;θ1為入射角,θ2為折射角.當X 射線在真空與介質的界面上發生反射和折射時,(1)式和(2)式可表示為

其中,θ是掠射角;ε為介電常數,

由此可推出,X 射線的折射率n為

其中α和δ是描述介質的極化特性的參數,γ和β是描述介質的吸收特性的參數.定義X 射線的反射系數為

其中Rs是電場垂直于反射面的反射系數,Rp是電場平行于反射面的反射系數.在X 射線掠入射時,Rs≈Rp.因此定義反射系數RRsRp,這可以根據(7)式得出.當反射系數R=1 時,入射的X 射線就不會穿過物質,而是在物質表面上發生反射,這種反射能量損失很小,可近似視為沒有能量損失.此時對應的掠入射角度就是臨界角,通常用θc表示,θc不是定值,其與入射X 射線的能量E、反射界面的性質等因素有關.基于硼硅酸玻璃的玻璃管臨界角θc(單位:mrad)通常可近似通過如下經驗公式計算:

其中,E的單位是keV.

2.1.2 光線追跡原理

通過數學推導可知入射光與反射界面的夾角(掠入射角)大小為θsin-1(n·r),若θ＞θc,則X 射線被管壁吸收.若θ≤θc,則發生全反射,反射光的方向向量為

在發生全反射的情況下,求得反射光方向向量后,將其作為下一次入射光線的方向向量,循環往復即可得到光線的傳播路徑.光線追跡示意圖見圖1.

圖1 光線追跡示意圖Fig.1.Schematic diagram of ray tracing.

2.2 SGTDL 的數學模型

以往的單玻璃管光學元件一般都是以豎直中心線作為旋轉對稱中心,如圓柱形單管和圓錐型單管等.但這類單管在出口光線相位是沿離心距離線性變化的,無法滿足去相干的需求.因此專門應用于去相干條件下的單管采取彎管設計,彎管的中心線可視為二次曲線:

在任意z處,透鏡的橫截面中心坐標在xf(z)處,且同一橫截面處管徑相等,可得透鏡管徑R(z)為

其中,k為變化系數,由透鏡入口、出口及長度尺寸決定.如圖2 所示建立坐標系,可得管內壁方程為

圖2 光線在SGTDL 中傳輸過程示意圖Fig.2.Schematic diagram of light transmission process in SGTDL.

值得注意的是,相比于以往的圓錐管和橢球管等擁有前后焦距的光學聚焦器件,SGTDL 無“真焦點”,焦斑位置為透鏡出口、焦斑大小即出口大小.

3 光束調控性能模擬研究

3.1 去相干性能模擬

3.1.1 SGTDL 去相干原理

模擬采用MATLAB 軟件,表1 列出了SGTDL輸入參數.由于激光具有較好的單色性和方向性,將激光器發出的光視為理想單色平行光,其振動函數表達式為

表1 模擬參數Table 1.Simulation parameters.

其中,a是光振幅;ω為激光頻率;φ0為初始相位,對于從激光光源中發出的光子而言,其初相位相等,即φ10=φ20=φ30···.

如圖3 所示,從激光器發出的激光光束在通過一對并排小孔S1和S2后分成兩個波列.由于這兩個波列在S1和S2處的初相位相同,那么這一對波列在空間中的某一點P處的合強度為

圖3 一對波列通過空間中某點PFig.3.A pair of wave trains passing through a pointP in space.

式中,a是兩列波的振幅;ΔΦ為二者的相位差,

其中,r1和r2為兩小孔到P點的空間距離,λ為激光波長.對于未調控的激光光束而言,其初始相位相同.在觀測時間τ內,兩波列在P點處的相位差固定不變.在疊加區域內,不同點的光強不同,會產生干涉效應.如果在時間τ內,空間中某點P的波列的相位差ΔΦ無規則地變化,那么ΔΦ將多次經歷 0與 2 π的一切數值,在P點觀察到的平均光強度均為疊加光波的強度之和.因為P點是任意的,所以疊加區域內處處光強相等,將不發生干涉現象.

如圖4 所示,激光光束進入SGTDL 后將會在器件內部發生多次全反射,不同位置入射的光束在透鏡中傳輸的路徑不同,導致到達透鏡出口截面處時彼此之間相位差發生變化,原本任意兩點間的光場振動其完全確定的相位關系被破壞.在時間τ內,通過并排小孔S1和S2的光波相位隨機變化,空間中疊加區域的平均光強度均為疊加光波的強度之和,將不會發生干涉現象.

圖4 SGTDL 去相干原理示意圖Fig.4.Schematic diagram of SGTDL decoherence principle.

3.1.2 SGTDL 出口處光線相位分布模擬

設透鏡入口處的相位為零相位,那么可計算出各光子在透鏡出口處的相位Φ,模擬結果如圖5 所示.可以看出,由于入射光子在玻璃管內進行了多次反射,導致在透鏡出口處各光子的相位變得雜亂無序,激光光束的相干條件被破壞,空間中任意點處所疊加光波的相位差隨機變化,在透鏡出口端獲得了非相干光.結果表明,在采用SGTDL 后相干光束轉變為非相干光束.

圖5 出口處相位分布模擬結果Fig.5.Simulation results of the phase distribution at the outlet.

3.2 傳輸效率

3.2.1 理論基礎

X 射線的反常散射和色散理論給出了描述介質對X 射線的極化與散射特性及吸收特性的相關關系:

式中,re為經典電子半徑;N為原子密度;e為電子電量;m為電子靜質量;λ為X 射線波長;f(ω)為原子散射因子,可表示為

這里,f1(ω)為原子散射因子的實部,f2(ω)為原子散射因子的虛部.在遠離共振的區域,有

式中,ρ為介質密度,單位為 g·cm-3;A為原子量.通過網上數據庫可查得硼硅酸鹽玻璃管材料中每種元素在一定能量范圍內的f1和f2的值[21].

由于軟X 射線激光通常應用于真空環境下,因此只考慮由于反射過程導致的能量損失.在玻璃管入口范圍內均勻取T個點,確定出T條入射光線,光線光強按照高斯光源的分布取值,則進入彎管的總光強為

Ii為單入射光子光強,

式中,ri為距中心距離,w(z)為高斯光束的束腰半徑.在得出各入射光子的光強和入射向量后即可根據下式獲得出射光強,

其中,M是第i條光線的反射次數,RM(θM)是該光線在管壁上發生第M次反射的反射系數.X 射線在SGTDL 中的傳輸效率為出射光強與入射光強之比,可表示為

3.2.2 SGTDL 長度對傳輸效率的影響

由于SGTDL 采取的是彎管設計,對于確定的出入口徑參數,器件長度L實際上影響了光線在管內的全反射次數及反射角.隨著彎管長度的降低,透鏡內部曲率隨之增大,發生反射的臨界角就越大,全反射系數相應降低,最終該玻璃管透鏡的傳輸效率也相應降低,如圖6 所示.如果要追求較高的傳輸效率,應當將透鏡設計得盡可能長.但在實際的透鏡加工過程中,由于加工工藝的原因,隨著玻璃管尺寸的增加,加工難度也會持續的增大,因此需要根據實際需求選取SGTDL 的長度.

圖6 透鏡長度對傳輸效率的影響Fig.6.Effect of lens length on transmission efficiency.

3.2.3 入射光線波長對傳輸效率的影響

入射X 射線的能量不同,其在玻璃介質界面的反射臨界角就不一樣,反射系數也不一樣,因此對于不同能量的X 射線激光光源,透鏡的傳輸效率會有所不同.由圖7 可以看出,雖然透鏡的傳輸效率在特定的波長附近有所波動,但從趨勢上可以看出透鏡的傳輸效率隨著激光波長的降低而減小.譬如,當X 射線波長下降至1 nm 時,SGTDL 的傳輸效率為33%;而當X 射線波長進一步下降至0.1 nm 時,傳輸效率為0.16%.產生這種現象的原因是因為光波波長越短,全反射臨界角越小,從而導致傳輸效率就越低.

圖7 入射軟X 射線激光波長對傳輸效率的影響Fig.7.Effect of incident laser wavelength on transmission efficiency.

雖然經過多年的發展,X 射線玻璃管光學器件的制備工藝已經比較成熟[22],但不可避免的是與理論設計相比,實際制備的器件依然存在一定的粗糙度和面型誤差.和理想情況相比,由于實際拉制的SGTDL 內表面不是絕對光滑,存在一定的面型誤差和粗糙度.這會導致在各個波長參數下,實際加工出來的透鏡傳輸效率小于理論模擬值.

3.3 發散度

在X 射線衍射及光刻等領域,對X 射線束的發散度有嚴格的要求,同時,在一些特殊的領域對于出射光束的圓度也有要求.將SGTDL 的發散度張角定義為出射光束方向與中心軸線的夾角,本文選取四個方向的張角φy+,φy-,φx+,φx-來定量描述SGTDL 的發散度.光束的豎直發散度張角分別為φy+與φy-,φy-是與φy+關于中心軸線對稱的反方向張角.光束的水平發散度張角分別為φx+與φx-,φx-是與φx+關于中心軸線對稱的反方向張角.如圖8 所示.

圖8 透鏡發散度張角示意圖Fig.8.Diagram of lens divergence tensor angle.

表2 列出了不同長度透鏡的不同發散度張角,根據模擬結果可以發現,隨著SGTDL 長度的增加,出口處各個方向的發散度張角會隨之增加,光束發散度不斷增大.同時從水平方向及豎直方向的發散度變化可以發現,透鏡的光斑并不是標準的圓形,而是圓度隨傳播距離不斷變化的類橢圓形.

表2 不同長度透鏡的發散度Table 2.Divergence of lenses with different lengths.

3.4 光強增益

光強增益也稱功率密度增益,定義為

其中,j1(E)是無透鏡時由X 射線光源發射到某一距離時單位面積的X 射線光強,j2(E)是有透鏡時到達同樣距離處時單位面積的X 射線光強.本次模擬中,選取入口端和出口端的截面作為基準進行計算.表3 整理了不同長度SGTDL 的光強增益,結果顯示,隨著設計透鏡的長度不斷增加,光子在透鏡內部傳輸時所損失的比例不斷降低,光強增益不斷增高.

表3 不同長度SGTDL 的光強增益Table 3.Light intensity gain of SGTDL with the different lengths.

3.5 光斑形貌

圖9 為SGTDL 出口處光斑形貌.平行入射的軟X 射線激光經過彎管傳輸后,在出口處的光強分布呈雙心的類高斯分布,如圖9(a)所示,圖中縱軸與顏色條均代表相對強度的大小.SGTDL 出口處的光斑與以往設計的透鏡有很大不同,以往透鏡焦斑處的光強分布通常為圓環或者斑點狀,而SGTDL 的光斑更接近蘑菇狀,如圖9(b)所示.與圖9(a)一樣,圖9(b)中顏色代表相對強度的大小.形成這種光斑的原因主要是由于光線在玻璃管內處于旋轉反射的狀態,光子所處的運動路徑是扭曲的,所以原本入射時在一個圓周上的光子,出射時會呈“8”字分布.

圖9 SGTDL 出口處光斑形貌(a)光斑三維形貌圖;(b)光斑二維形貌圖Fig.9.Shape of light spot at the exit of SGTDL:(a)Spot 3D morphology;(b)spot 2D morphology.

4 結論

本文設計了一種針對軟X 射線激光去相干的單玻璃管透鏡,并針對此類非軸對稱非成像類光學元件的各項性能進行了模擬與仿真.去相干單玻璃管軟X 射線激光透鏡在保證傳輸效率的前提下,有效調控降低激光的相干度,同時元件還能顯著提升光強增益到一個數量級以上,調控后的光束發散度能夠保持在30—50 mrad 之間,可以滿足不同應用場景下的需求.本文還探究了入射光能量、透鏡長度與透鏡各項性能的關系,結果表明:隨著入射光線能量的降低,傳輸效率隨之上升;透鏡尺寸越長、光線反射臨界角越小,越能保證傳輸效率和發散度在較優的范圍中.下一步將會根據具體的應用場景設計基于玻璃管透鏡的光學系統,以滿足不同條件下的應用需求.