多組分塵埃等離子體中非線性塵埃聲孤波的傳播特征

林麥麥 王明月 蔣蕾

(西北師范大學物理與電子工程學院,蘭州 730070)

采用Sagdeev 勢方法研究了多組分塵埃等離子體中的非線性塵埃聲孤波的傳播特征.推導得到了在含有塵埃顆粒、電子流、質子流及Kappa 電子和離子的多組分塵埃等離子體中的非線性塵埃聲波所對應的Sagdeev 勢函數.并利用定性分析方法,確定該系統同時存在線性周期波解軌道、非線性周期波解軌道和孤立波解軌道.與此同時,借助數值模擬方法發現:該多組分塵埃等離子體系統中僅存在振幅小于零的稀疏型孤立波,且非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度及波形等傳播特征均與馬赫數M、多種粒子數密度、溫度、電荷量、質量及Kappa 電子數、離子數等各種系統參數存在緊密關聯.

1 引言

目前,關于多組分塵埃等離子體中多種非線性波動過程的研究已成為等離子體物理的重要前沿研究領域,其研究內容廣泛,包括天體物理學、半導體制造、聚變反應堆等[1?8].實際條件下塵埃顆粒廣泛存在于實驗室等離子體和星際空間、太陽系、地球電離層,以及暫星尾和行星環空間等離子體環境中[9?14].1990 年Rao等[15]首次從理論上預測了未磁化塵埃等離子體中的非線性塵埃聲波的存在性;1995 年,Barkan等[16]在實驗室中觀測到了非線性塵埃聲波.現在,非線性塵埃聲波的相關研究課題已成為了等離子體物理學的熱門課題之一,眾多科研工作者對該課題進行了深入探討,Tiwari等[17]研究了塵埃等離子體中大振幅的非線性離子聲孤波的傳播特點;Adhikary等[18]利用約化攝動法研究了有正、負離子的塵埃等離子體中小振幅的非線性塵埃聲孤波和沖擊波的傳播特征;Mamun[19]依靠贗勢方法研究了絕熱條件下熱塵埃等離子體中非線性塵埃聲孤立波的特點;Sinha 和Sahu[20]研究了非磁化四分量等離子體中的塵埃離子聲波.

研究塵埃等離子體中非線性波動過程的方法比較多樣,常見的約化攝動法可以用于研究小振幅的非線性波;如果考慮邊界效應,則可利用贗勢法進行非線性波動過程的討論;除此之外,Sagdeev勢方法可以研究等離子體中大振幅的非線性波動過程,已廣泛應用于多種課題的理論研究中.例如,Mamun 和Shukla[21]利用Sagdeev 勢方法研究了強耦合塵埃等離子體中任意振幅的塵埃聲孤波;Hatami 和Nikknam[22]則使用Sagdeev 勢方法研究了雙溫非廣延電子對離子雙層結構的影響;El-Hanbaly等[23]利用Sagdeev 勢方法研究了具有超熱電子和非廣延離子的塵埃等離子體中非線性塵埃聲波的傳播特征;Sebastian等[24]則通過Sagdeev勢方法研究了五分量等離子體中壓縮孤立波和稀疏孤立波的存在及孤立波的傳播特征.由此不難看出,Sagdeev 勢方法是等離子體中非線性波研究的重要方法.

本文利用Sagdeev 勢方法研究了非線性塵埃聲波在含有帶正電的塵埃顆粒、電子流、質子流、呈Kappa 分布的電子和離子多組分塵埃等離子體中的基本傳播特征.第2 節給出原始方程并利用Sagdeev 勢方法推導得到二維自治動力系統的具體表達式.第3 節對系統相圖進行分析討論,確定該系統同時存在線性波解、非線性波解和孤立波解,且多種波動行為的存在與多種系統因素存在緊密關聯.第4 節求得Sagdeev 勢函數和孤立波解表達式,并借助數值模擬的方法獲得Sagdeev 勢的基本演化特征及孤立波的振幅、寬度和波形隨系統參數的基本變化規律.從而得出結論:多組分塵埃等離子體中的多種系統參數,諸如塵埃顆粒、電子、質子、離子等多種粒子的質量、數密度、溫度、電荷量等均對該系統中的非線性塵埃聲孤波的傳播特征存在重要影響.

2 原始方程及其求解

為了研究多組分塵埃等離子體中非線性塵埃聲波的傳播特征,假設多組分塵埃等離子體是由太陽風中帶正電的塵埃顆粒、電子流、質子流,以及呈現Kappa 分布的電子和離子共同組成.以磁流體力學中理想磁流體力學(magneto hydro dynamic,MHD)模型為理論基礎,忽略粒子間的相互碰撞,對塵埃等離子體受到的庫侖力、重力、拖曳力等作用力暫時忽略不計,可以得到如下形式的無量綱化方程組[25]:

其中,Kappa 分布的離子和電子的數密度形式如下[25]:

在這里Kappa 分布表達式僅適用于κe(i)＞3/2 和極限κe(i)→∞的條件[25],其中κe和κi分別為Kappa分布電子數和離子數.

接下來,利用Sagdeev 勢方法研究非線性塵埃聲波的傳播特征.首先,對(1)式—(6)式中的自變量進行行波變換:令ξx-Mt,M為馬赫數.(1)式—(6)式可以化為

考慮邊界條件:當ξ→∞時,Nd→1,Nc→1,Nb→1,ud→0,uc→0,ub→0,φ→0,則通過化簡(10)式—(15)式可得Nd,Nc和Nb的表達式:

將其代入(7)式后可得

其中

將(16)式轉化為二維自治動力系統如下:

其中,φ表示靜電勢,ψ表示靜電勢φ對ξ的一階導數.

3 系統相圖分析

為了研究多組分塵埃等離子體系統的動力學特征,利用數值模擬方法研究不同系統參數對非線性二維自治動力系統(17)相圖的具體影響.

圖1 給出了二維自治動力系統(17)的相圖隨著系統參數馬赫數M的變化規律,其他系統參數取值分別為[25,26]:Hb0.8,Hc0.5,μb0.7,μc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0 .圖1(a)顯示:當馬赫數M=1.2 時,多組分塵埃等離子體系統中同時存在線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道.這表明該系統同時存在線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解.與此同時,圖1(b)和圖1(c)顯示:隨著馬赫數M的逐步增大,系統的不同軌道特征不會改變,但多種不同軌道的存在范圍會依次增大.

圖1 系統相圖隨馬赫數的變化(a)M=1.2;(b)M=1.3;(c)M=1.4Fig.1.Variations of system phase diagram with Mach number:(a)M=1.2;(b)M=1.3;(c)M=1.4.

二維自治動力系統(17)的相圖隨著系統參數Hb的變化規律見圖2,其中,Hc0.5,M1.2,μb0.7,μc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0.結果顯示:當Hb變化時,系統中始終同時存在線性周期軌道、非線性周期軌道和同宿軌道,但各種軌道存在的范圍有所變化.與此同時,考 慮到Hb,而μbmd/(Zd0mb),γb(nb0Zd0)/nd0,σbTb/Teff,這表明多組分塵埃等離子體中的各種系統參數,諸如塵埃顆粒和質子流的質量、數密度、電荷量和溫度等,均對自治系統的相軌線存在一定的影響.

圖2 系統相圖隨Hb 的變化(a)Hb=0.4;(b)Hb=0.6;(c)Hb=0.8Fig.2.Variations of system phase diagram withHb:(a)Hb=0.4;(b)Hb=0.6;(c)Hb=0.8.

圖3 給出了二維自治動力系統(17)的相圖隨著系統參數Hc的變化規律,其中Hb0.8,M1.2,μb0.7,μc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0.圖3(a)顯示:當Hc0.4 時,多組分塵埃等離子體系統中仍然同時存在線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道.通過對圖3(a)—(c)進行對比,系統相圖顯示:隨著Hc逐步增大,系統的不同軌道特征不會改變,但多種不同軌道的存在范圍會依次增大.在這里Hc,而μcmd/(Zd0me),γc(nd0Zd0)/nc0,σcTc/Teff,這意味著對于含有Kappa 電子和離子的多組分塵埃等離子體而言,系統平衡狀態時的塵埃顆粒和電子的質量、數密度、電荷量和溫度的不同,只會使系統相圖中不同類型的塵埃聲波解的存在范圍發生改變,而不會改變系統相圖中不同類型塵埃聲波解共同存在的基本屬性.

圖3 系統相圖隨Hc 的變化(a)Hc=0.4;(b)Hc=0.6;(c)Hc=0.8Fig.3.Variations of system phase diagram withHc:(a)Hc=0.4;(b)Hc=0.6;(c)Hc=0.8.

圖4 給出了系統相圖隨著系統參數μb的變化規律,其他系統參數取值分別為:μc0.6,M1.2,Hb0.8,Hc0.5,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0 .圖4 顯示:當系統參數μb取值不同時,多組分塵埃等離子體系統中仍然同時存在線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道,而且隨著μb的逐步增大,系統的多種軌道的存在范圍會發生改變,而μbmd/(Zd0mb),這說明當多組分塵埃等離子體中所含的塵埃顆粒質量較大而質子流的質量較小、且平衡狀態下塵埃顆粒的電荷量較小時,該自治系統的線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解的存在范圍將減小.

圖5 給出了系統相圖隨著參數μc的變化規律,其中μb0.7,M=1.2,Hb0.8,Hc0.5,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0 .可以看出,當系統參數μc從0.3 增加到0.6 再增加到0.9 時,系統相圖中不同類型的塵埃聲波解的存在范圍隨著系統參數μc的增大而增大,這與圖4 系統相圖隨著系統參數μb的變化有所不同,但系統相圖中的線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解三種不同類型的波解結構不會發生改變.

圖4 系統相圖隨μb 的變化(a)μb=0.3;(b)μb=0.6;(c)μb=0.9Fig.4.Variations of system phase diagram withμb :(a)μb=0.3;(b)μb=0.6;(c)μb=0.9.

圖5 系統相圖隨μc 的變化(a)μc=0.3;(b)μc=0.6;(c)μc=0.9Fig.5.Variations of system phase diagram withμc:(a)μc=0.3;(b)μc=0.6;(c)μc=0.9.

圖6 給出了自治動力系統(17)的相圖隨著系統參數σd的變化規律,其他系統參數取值分別為:M1.2,Hb0.8,Hc0.5,μb0.7,μc0.6,δe0.08,δi0.1,κiκe2.0 .不難看出,當其他參數取定值時,而多組分塵埃等離子體中所含的塵埃顆粒的溫度與有效溫度的比值σd取值不同時,系統相圖中各種軌道的存在范圍發生變化,由于σdTd/Teff,也就是說塵埃顆粒的溫度越高,系統相圖中線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道的存在范圍越小.

圖6 系統相圖隨σd 的變化(a)σd=0.0004;(b)σd=0.0006;(c)σd=0.0008Fig.6.Variations of system phase diagram withσd:(a)σd=0.0004;(b)σd=0.0006;(c)σd=0.0008.

圖7 給出了系統參數κi對自治動力系統相圖的影響,其中M1.2,Hb0.8,Hc0.5,μb0.7,μc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κe2.0 .從圖7 可以看到,當Kappa 分布離子數κi分別為2.0,2.5,3.0 時,該自治系統同時存在線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道,但多種不同軌道的存在范圍會依次減小.二維自治動力系統的相圖隨系統參數κe的變化規律由圖8 給出,其他系統參數分別為:M1.2,Hb0.8,Hc0.5,μb0.7,μc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κi2.0.結果表明:當系統參數κe取值不同時,該系統同時存在線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解,不難看出,當Kappa 分布電子數κe從2.0 增加到2.5 時,系統相圖中不同類型的塵埃聲波解的存在范圍增大,但當系統參數κe從2.5 增加到3.0 時,系統相圖中塵埃聲波解的存在范圍變化不大.

圖7 系統相圖隨κi 的變化(a)κi=2.0;(b)κi=2.5;(c)κi=3.0Fig.7.Variations of system phase diagram withκi:(a)κi=2.0;(b)κi=2.5;(c)κi=3.0.

圖8 系統相圖隨κe 的變化(a)κe=2.0;(b)κe=2.5;(c)κe=3.0Fig.8.Variations of system phase diagram withκe:(a)κe=2.0;(b)κe=2.5;(c)κe=3.0.

4 Sagdeev 勢函數及孤立波解

為了研究多組分塵埃等離子體中的非線性塵埃聲孤波的傳播特征,將(16)式等式兩邊同乘以dφ/dξ,并對ξ積分一次可得Sagdeev 勢方程:

其中Sagdeev 勢函數為

接下來,通過數值模擬對Sagdeev 勢進行分析討論,從而進一步明確多組分塵埃等離子體的多種系統參數對非線性塵埃聲波的具體影響.圖9 給出了Sagdeev 勢函數隨不同系統參數的變化規律.可以看出存在φm＜0,使得0且,這意味著該系統僅存在振幅小于0的稀疏型孤立波.

圖9(a)給出了系統參數Hb對Sagdeev勢V(φ)的具體影響,結果表明孤立波的振幅φm隨著系統參數Hb的增加而減小.考慮到Hb,而μbmd/(Zd0mb),γb(nb0Zd0)/nd0,σbTb/Teff,這說明多組分塵埃等離子體中的各種系統參數,諸如塵埃顆粒和質子流的質量、數密度、電荷量和溫度等系統因素,均對稀疏孤立波的振幅存在顯著影響.圖9(b)顯示隨著參數Hc的逐步增加,孤立波的振幅φm將依次增大.而考慮到Hc,其中μcmd/(Zd0me),γc(nd0Zd0)/nc0,σcTc/Teff,這表明當多組分塵埃等離子體中所含的塵埃顆粒質量大、數密度高且電荷量低時,該系統中的非線性塵埃聲孤波的振幅就較大;而當電子質量大、電子流數密度高且溫度高時,該系統中的非線性塵埃聲孤波則振幅較小.圖9(c)—(f)給出了系統參數μb,μc,M和σd取不同值時,Sagdeev 勢函數的變化規律,由圖9(c)和圖9(f)可知,孤立波的振幅φm隨著系統參數μb和σd的增大而減小,這與圖9(a)中的結果相同.而圖9(f)說明σdTd/Teff越大孤波振幅越小,即塵埃顆粒的溫度越高孤立波的振幅φm越小.同理從圖9(d)和圖9(e)可知,孤立波振幅φm的變化情況與圖9(b)類似,即隨著系統參數μc和馬赫數M的增大,孤立波的振幅φm也隨之增大.

圖9 Sagdeev勢V(φ)隨不同參數的變化規律Fig.9.Variations of Sagdeev potentialV(φ)with different parameters.

圖10 給出了Sagdeev勢V(φ)隨Kappa 分布電子數κe和離子數κi的變化規律,表明多組分塵埃等離子體系統中所含的Kappa 電子分布數κe的增加和Kappa 離子分布數κi的減少,將使孤立波的振幅φm增大.這說明多組分塵埃等離子體系統中電子和離子的Kappa 分布形式對Sagdeev 勢函數及稀疏型孤立波的傳播特征均存在重要影響.接下來對Sagdeev 勢方程(18)進行求解,可得到非線性塵埃聲孤波的形式如下:

其中θkξ-ω0τ,k為ξ方向的波數,ω0為波速;φm-2A1/(3A2)和D(2/A1)-1/2分別為孤立波的振幅和寬度.

圖11 給出了多組分塵埃等離子體系統中非線性塵埃聲孤波的波形隨著系統參數的變化趨勢.結果顯示:當參數Hb,Hc,μb,μc,M和σd取值不同時,該系統僅存在振幅小于0 的稀疏型孤立波.該結論與Sagdeev 勢函數的數值模擬結果保持一致.圖11(a),(c),(f)表示,當系統參數Hb,μb和σd增加時,孤立波振幅減小而寬度增大;而當系統參數Hc,μc和M增加時,孤立波的振幅增大且寬度減小.這些結論與圖10 中Sagdeev 勢函數所反映的結論相一致.

圖10 Sagdeev勢V(φ)隨κe和κi 的變化規律Fig.10.Variations of Sagdeev potentialV(φ)withκeandκi .

圖11 孤立波φ 的波形隨不同參數的變化規律Fig.11.Waveform variation law of the solitary wavesφ with different parameters.

非線性塵埃聲孤波的波形φ隨電子和離子Kappa 分布數κe和κi的變化規律如圖12 所示,孤立波的振幅φm隨著κe的增大而增大、隨著κi的增大而減小.這表明當多組分塵埃等離子體系統中含有較多的Kappa 分布電子和較少的Kappa 分布離子時,非線性塵埃聲孤波將具有更大的振幅.

圖12 孤立波φ 的波形變化規律Fig.12.Waveform variation law of the solitary wavesφ .

5 結論

本文研究了由塵埃顆粒、電子流、質子流、Kappa 電子和離子所組成的多組分塵埃等離子體中非線性塵埃聲孤波的傳播特征.利用Sagdeev 勢方法求解得到二維自治動力系統具體表示形式,并通過數值模擬方法得到相圖,結果顯示:多組分塵埃等離子體系統中同時存在線性波解軌道、非線性波解軌道和同宿軌道;而Sagdeev 勢函數的變化規律則顯示該系統僅存在振幅小于0 的稀疏型孤立波.通過進一步孤立波波形特征的討論,不難發現含有Kappa 電子和離子分布的多組分塵埃等離子體系統中的多種系統參數對非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度和波形等傳播特征均存在不可忽視的重要影響.