“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)中的“變教為學(xué)”

江蘇南京市雙塘小學(xué)（210001）張 瑩

“三角形的內(nèi)角和”這一知識點在小學(xué)教材和初中教材里均有編排。這一定理的完整表述應(yīng)當是“平面上任意三角形的內(nèi)角和都是180°”，“平面上”這個大前提非常必要，且凸顯出數(shù)學(xué)的嚴謹性，一旦這個前提條件有變，那么結(jié)論將會不同，比如球面上的三角形的內(nèi)角和大于180°。

一、追尋數(shù)學(xué)歷史的腳印

科學(xué)史籍上最早關(guān)于“三角形的內(nèi)角和”的記載出現(xiàn)在古希臘歐幾里德著述的《原本》第三十二個命題中。這個命題主要包括兩個結(jié)論，第一個結(jié)論是“任意三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和”，第二個結(jié)論是“三角形三個內(nèi)角之和可以換算成兩個直角”。原文之所以這樣晦澀，是因為當時還沒有“度”這個計量單位，數(shù)學(xué)界通行的辦法是用直角和平角作為度量標準，來測量一切幾何角度，角的兩條邊張開程度小于直角的角一律稱為銳角，角的兩條邊張開程度大于直角的角一律稱為鈍角，比平角小的角一律稱為劣角，比平角大的角一律稱為優(yōu)角。

17世紀法國數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡12歲時，在用小棒拼擺出各種幾何圖形的過程中，無意間證明了《原本》中的命題結(jié)論之一：三角形三個內(nèi)角之和可以換算成兩個直角。他的父親知道后非常驚訝，于是將《原本》推薦給他閱讀，帕斯卡很快就無師自通。

在我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時會提到這個經(jīng)典故事，目的就是為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史文化性。但是有些學(xué)生會誤將帕斯卡當作“三角形的內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論的首創(chuàng)者。這一內(nèi)容一般出現(xiàn)在四年級或五年級教材中，學(xué)生的年紀與當時證明出“三角形三個內(nèi)角之和可以換算成兩個直角”的帕斯卡相當，因此教師一般會順水推舟，借此故事激勵學(xué)生上進。其實，帕斯卡的過人之處不僅在于能證實這個結(jié)論，更在于他對數(shù)學(xué)的癡迷和熱愛，他即使在擺弄小棒，也不忘思考問題，這樣的精神值得學(xué)生學(xué)習。

“變教為學(xué)”的前提是要激發(fā)學(xué)生的興趣。當學(xué)生對一件事漠不關(guān)心或者對某個知識態(tài)度冷淡時，是不可能“變教為學(xué)”的，教師一個勁地教，而學(xué)生則是勉勉強強地學(xué)。對于三角形內(nèi)角和定理，通過設(shè)置懸念，是可以在一定程度上激起學(xué)生的學(xué)習興趣的，但這個定理沒什么趣味性，也很難據(jù)此設(shè)計出好玩的情境，因此，學(xué)生對此的態(tài)度還是不冷不熱。而通過對三角形內(nèi)角和定理歷史故事的追溯，可以極大激發(fā)學(xué)生的興趣，尤其是帕斯卡的故事，更是能激起學(xué)生的斗志，他們會按捺不住內(nèi)心的敬佩和沖動，試圖去看看這個定理到底有多簡單，才能被一個12歲的孩子破解，說不定自己也能做到。再加上對歷史進行考究，發(fā)現(xiàn)由于當時沒有“度”這個單位，最早的三角形內(nèi)角和定理與當今教材的表述不太一樣，學(xué)生就會急于想知道那時的內(nèi)角和定理的真面貌。

二、用任務(wù)驅(qū)動激發(fā)學(xué)生的主動性

人教版教材中設(shè)計了兩個學(xué)習任務(wù)（如圖1）。

圖1

任務(wù)一：畫出幾個不同的三角形，算出各個三角形的內(nèi)角和。

任務(wù)二：先將一個三角形的三個內(nèi)角剪下來，再拼到一起，觀察拼成了什么角。

這兩個任務(wù)有一個共同點：直接告知操作流程和步驟。各環(huán)節(jié)都已經(jīng)設(shè)計好了規(guī)定動作，這樣牽著學(xué)生走，會使學(xué)生喪失創(chuàng)造力和獨立思考精神。另外，這兩個任務(wù)都是直接將探究目標和盤托出，結(jié)論“三角形的內(nèi)角和是180°”會一直縈繞在學(xué)生腦海，學(xué)生不能在運動與變化中發(fā)現(xiàn)不變因素，“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論的科學(xué)性和可靠性就會被淡化。實際上，“平面上任意三角形的內(nèi)角和是180°”中的“任意”二字已經(jīng)暗含了這一結(jié)論的客觀性、科學(xué)性和普遍性。客觀性指結(jié)論是真真切切存在的；科學(xué)性指結(jié)論是基于邏輯推理得出的，蘊含著某種事物的內(nèi)部規(guī)律；普遍性指結(jié)論沒有例外，強化了這一結(jié)論的本質(zhì)屬性。

這一結(jié)論從本質(zhì)上應(yīng)該一分為二。

結(jié)論一：平面上任意三角形的內(nèi)角和為定值。這樣的描述給三角形內(nèi)角和定性，無論什么樣的三角形，其內(nèi)角和都是一個定量。然后，追問這個定量是多少就順理成章了，可以順水推舟得出定量描述。

結(jié)論二：這個定值是180°。這屬于板上釘釘?shù)亩ɡ恚@是對客觀規(guī)律的描述。

對于已經(jīng)客觀存在的規(guī)律，得出結(jié)論本質(zhì)上是發(fā)現(xiàn)的過程，而不是發(fā)明。發(fā)現(xiàn)過程的關(guān)鍵思路是觀察、對比、歸納。觀察之前需要確定對象與動機，也就是思考“觀察什么”和“為什么觀察”等問題。根據(jù)觀察到的現(xiàn)象初步得出的結(jié)論可以稱為猜想，猜想往往是憑借直覺得出的，有時是錯誤的，后續(xù)要對猜想進行反復(fù)驗證，直到得出科學(xué)合理而且經(jīng)得起質(zhì)疑和考驗的結(jié)論，最后就是對結(jié)論的拓展與應(yīng)用。

例如，在構(gòu)建“對象與動機”一環(huán)中，教師設(shè)計了一個活動：隨意畫一個三角形，盡量放大其中一個內(nèi)角，觀察這個三角形的內(nèi)角是怎么樣的；再畫一個三角形，盡量縮小其中兩個內(nèi)角，觀察這個三角形的內(nèi)角是怎么樣的。

學(xué)生經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，如果三角形中的一個內(nèi)角非常大，另外兩個內(nèi)角就非常小；一個內(nèi)角再大也不會等于或大于180°。學(xué)生通過操作獲得神奇有趣的發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生強烈的好奇心和探究欲，這種好奇心和探秘欲望會使學(xué)生一步步深入鉆研知識。當學(xué)生感受到三個內(nèi)角“此消彼長”的現(xiàn)象時，可能會將其遷移到加法運算中的和不變定律。與此同時，學(xué)生也可能猜到，三角形的內(nèi)角和為定值，是固定不變的，這樣就確立了下一步探究的目標。

“變教為學(xué)”主要強調(diào)學(xué)生的主動性，如果教師過多干涉，或者一開始就將結(jié)論和盤托出，學(xué)生再按照教師提供的操作步驟一步步求證結(jié)論，那么學(xué)生即使出錯了，或者有了自己的想法，也不敢吱聲，因為他們不敢反駁教師，這就談不上“變教為學(xué)”了。要想做到“變教為學(xué)”，教師就要最大限度地放權(quán)，所有的提示和指導(dǎo)都要極盡模糊抽象，比如讓學(xué)生比較多個三角形內(nèi)角和的大小，但學(xué)生發(fā)現(xiàn)比不出大小，因為所有三角形的內(nèi)角和都一樣，既然一樣，必為定值，接著就要確定這個定值是多少。這樣一步步下來，三角形內(nèi)角和定理就是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，而不是教師傳授的。

三、驗證方法多樣化

規(guī)律性知識的特點是結(jié)論是唯一確定的，但是探究的方法和途徑卻是多種多樣的。對三角形內(nèi)角和定理的驗證，在小學(xué)階段，通常采用測算、剪接、拼貼的方法。這些方法直觀形象，易操作，適合形象思維較強的小學(xué)生。到了初中一般采用兩種方法證明。第一種類似《原本》中的方法，即應(yīng)用同位角相等和內(nèi)錯角相等的結(jié)論，將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一塊，組成一個平角（如圖2）。

圖2

第二種是利用“任意多邊形的外角和是360°”的定律來推導(dǎo)。三角形三個外角之和是360°，而每個內(nèi)角與相應(yīng)外角組成平角180°，可推算三角形的內(nèi)角和為180°×3-360°=180°。

2011年4月，一本名為《MathHorizons》的雜志發(fā)表了一篇文章，其中給出了“三角形的內(nèi)角和是180°”的操作性解釋。

如圖3所示，在一個三角形的左下頂點處放置一根與底邊重合的火柴，然后不斷旋轉(zhuǎn)、平移這根火柴。

圖3

第一次：將火柴沿著內(nèi)角頂點旋轉(zhuǎn)，與另一邊重合。

第二次：將火柴沿著重合的邊平移至另一個頂點。

第三次：將火柴沿著頂點旋轉(zhuǎn)至第三條邊。

第四次：將火柴沿著這一邊平移至第三個頂點處。

第五次：將火柴沿著頂點旋轉(zhuǎn)至底部的邊。

第六次：將火柴沿著底部的邊平移至出發(fā)點。

此時，火柴回到原點。火柴的整個運動過程一共包含三次旋轉(zhuǎn)和三次平移，旋轉(zhuǎn)和平移交替進行。平移時火柴保持方向不變，引起火柴轉(zhuǎn)向的主要是旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)的角度之和恰好就是三角形三個內(nèi)角的和，最后火柴水平調(diào)頭轉(zhuǎn)向說明它整體旋轉(zhuǎn)的角度是180°，這也就證明三角形的內(nèi)角和是180°。

這一方法的優(yōu)勢在于運用動態(tài)變化證明了靜態(tài)的幾何規(guī)律。同時，用“角”這一概念來度量方向的變化，將平移與旋轉(zhuǎn)的差別揭示出來，即平移運動是位置改變，方向不變，旋轉(zhuǎn)運動則是位置和方向改變。

驗證方法雖多樣，但不是所有方法都適合小學(xué)生使用，比如利用內(nèi)錯角來證明對小學(xué)生來說是超綱的，利用外角和來證明也不合時宜，利用直觀的裁剪拼湊法來證明也無法令人信服，因為直觀操作的例子畢竟是有限的，屬于不完全歸納，學(xué)生目前的聯(lián)想能力和推理能力還不足以理解這種證明方法，也無法腦補出三角形三個內(nèi)角湊到一起形成平角的景象。而利用火柴的旋轉(zhuǎn)和平移來證明，則能輕松理解，因為平移和旋轉(zhuǎn)是小學(xué)階段必備的基本幾何技能，學(xué)生通過平移和旋轉(zhuǎn)的特性來理解火柴在三個內(nèi)角處旋轉(zhuǎn)三次，每次旋轉(zhuǎn)的角度恰好就是所跨越的內(nèi)角度數(shù)，一共旋轉(zhuǎn)了三個內(nèi)角度數(shù)之和，火柴最后回到初始位置，但是兩端調(diào)頭，說明三個內(nèi)角和為180°。

“變教為學(xué)”倡導(dǎo)將教師的教學(xué)活動轉(zhuǎn)化為學(xué)生的主動探究活動，師生的主體地位發(fā)生扭轉(zhuǎn)。這種轉(zhuǎn)變要想獲得成功，必須有科學(xué)的學(xué)習任務(wù)和學(xué)習活動做支撐。“變教為學(xué)”中的操作活動，其實就是訓(xùn)練學(xué)生綜合技能的機會。學(xué)習動機和學(xué)習方法是學(xué)習者保持學(xué)習熱情的原動力。因此，教師在設(shè)計學(xué)習任務(wù)時，要設(shè)身處地為學(xué)生著想，讓學(xué)生自覺學(xué)習，而不是被迫執(zhí)行教師的指令，同時，在驗證環(huán)節(jié)，要為學(xué)生創(chuàng)造自主探究的機會，讓學(xué)生學(xué)會自主學(xué)習，牢牢掌握學(xué)習的主動權(quán)。