基于大直徑三軸試驗的鈣質砂相對破碎率公式修正?

王 曉，馮秀麗，王 棟，裴會敏

(1.中國海洋大學海洋地球科學學院，山東 青島 266100；2.中國海洋大學海洋環境與生態教育部重點實驗室，山東 青島 266100；3.中國海洋大學海洋巖土工程研究所，山東 青島 266100)

1 引言

鈣質砂由珊瑚、貝殼、有孔蟲等海洋生物殘骸通過物理與生物化學作用形成，富含碳酸鈣等難溶碳酸鹽類物質，在中國南海廣泛分布。由于特殊的生物成因，鈣質砂顆粒保留了原生生物骨架，內部孔隙發育[1]，形狀多為紡錘狀、片狀、棒狀和枝狀且不規則，因此顆粒易破碎。不同于普通陸源石英砂，顆粒破碎的程度可能顯著影響鈣質砂的強度與變形。

三軸排水剪切試驗結果表明當圍壓達到一定值后，鈣質砂才開始呈現明顯的顆粒破碎現象[2]。對于相對密實度大于50%的鈣質砂，圍壓小于200 kPa時，試樣整體表現為剪脹；圍壓增大，試樣剪縮并表現為應變軟化，此時顆粒破碎對體變的影響成為主導因素，且影響程度隨圍壓的增大而增大[3]；當圍壓達到一定值后，顆粒破碎達到極限，破碎對體變的影響趨于穩定。鈣質砂的單向壓縮試驗也觀察到類似的現象：松砂和密砂的壓縮曲線均表現為前段坡度小，后段坡度大；當施加的上覆壓力超過某一值后，鈣質砂的變形以不可恢復的塑性變形為主，顆粒破碎占主導作用[4]。

為定量描述顆粒破碎，Hardin[5]假設小于0.074 mm的顆粒不再破碎，并提出定量表征顆粒破碎的相對破碎率Br。相對破碎率定義如圖1所示，其中Bt為初始級配曲線、剪切后級配曲線和粒徑 0.074 mm直線所圍面積，Bp為初始級配曲線和粒徑 0.074 mm直線所圍面積，定義Br=Bt/Bp。

圖1 相對破碎率Br的定義

基于Hardin提出的相對破碎率Br，國內外提出了多種考慮顆粒破碎的本構模型，其中比較有代表性的一個模型是Yin等[6]和Wu等[7]在臨界狀態土力學框架內構建的SIMSAND模型。他們建議了Br隨塑性功Wp的變化[8]：

(1)

(2)

(3)

式中：pat為參考大氣壓，取為101 kPa；eref0是參考臨界孔隙比，由Br影響和決定。該模型還通過控制屈服面尺寸的硬化參量pm和峰值應力比Mp，將Br引入壓縮和剪切屈服面方程中。pm和Mp的表達式分別為[10]：

(4)

Mp=(6sinφp)/(3-sinφp)。

(5)

本文針對鈣質砂的顆粒破碎現象，對南海鈣質砂開展圍壓為100～1 000 kPa的三軸排水試驗，研究顆粒破碎發展演化及其對土體強度和變形的影響。同時采用SIMSAND模型對三軸試驗結果進行預測和分析，提出一套能夠預測南海鈣質砂力學性質的參數，并修正預測Br的公式，優化該模型對南海鈣質砂力學行為預測的準確度。

2 試驗材料與方案

2.1 試驗材料與儀器

試驗所用鈣質砂取自中國南海某島礁，膠結不顯著，顆粒具有條狀、紡錘狀和枝狀等不規則形狀，表面粗糙，存在孔隙，如圖2試樣的掃描電鏡(SEM)結果所示。利用比重瓶法測得顆粒比重為2.74，大于石英砂的常規比重2.65。根據《土工試驗方法標準(GB/T 50123—2019)》[11]，采用漏斗法和振動錘擊法分別測得最大孔隙比emax=1.24、最小孔隙比emin=0.61。采用標準篩及激光粒度分析儀分別獲得粒徑大于和小于0.075 mm的顆粒分布，級配曲線如圖3所示，d10、d30、d60分別為0.051、0.132和0.306 mm。計算得到不均勻系數Cu=6，曲率系數Cc=1.12。

圖2 南海鈣質砂掃描電鏡照片

圖3 南海鈣質砂初始級配曲線

常規三軸試樣的直徑為38或50 mm，為防尺寸效應，以往鈣質砂試驗中[12]往往需要篩除直徑大于2 mm的顆粒。但直徑大于2 mm的鈣質砂顆粒更易在剪切過程中發生破碎[13]。為準確獲取顆粒破碎程度，本文采用英國GDS大直徑三軸儀進行鈣質砂試驗，該三軸儀容許試樣直徑100 mm、高200 mm，可進行粒徑10 mm以內砂土的三軸試驗[11]，圍壓量程為4 MPa。準備試樣時，篩除粒徑超過10 mm的顆粒。該南海鈣質砂中直徑大于2 mm的顆粒約占試樣總質量的15.5%。

2.2 試驗方案

量測相對破碎率Br需要拆卸并篩分試樣，以獲取級配曲線，拆樣后不能再重復使用。為獲得整個剪切過程中Br的變化，對于某一圍壓下的三軸剪切過程，我們進行一組四個不同終止應變的平行試驗：制備相同初始孔隙比的試樣并施加相同的圍壓，在軸向應變εa分別為3%、7%、15%和25%時停止試驗，篩分并繪制相應的級配曲線，根據Hardin的定義計算不同軸向應變對應的Br，以動態監測顆粒破碎情況。根據Hardin對Br的定義，認為粒徑小于0.074 mm的顆粒不再繼續破碎(見圖1)，因此在量測試樣相對破碎率時，采用的最小篩網孔徑為0.075 mm，即默認該層篩網下的顆粒在破碎過程中不發生變化，不做考慮。

鈣質砂顆粒孔隙較多，為避免試驗前的顆粒破碎，制樣過程中不進行夯實，而是通過輕敲振動使試樣初始相對密實度達到60%左右。隨后用CO2飽和試樣，排出試樣中的空氣，再利用無氣水進行水頭飽和，當 B值大于0.95，認為試樣達到飽和，隨后固結和排水剪切。剪切速率取為0.08 mm/min。試驗圍壓分別為100、200、500、700和1 000 kPa。所有試樣固結前的孔隙比為0.866。試驗條件、試樣固結后的孔隙比與相對密實度如表1所示。

表1 試驗條件及顆粒破碎結果

3 排水三軸試驗結果分析

3.1 量測的偏應力與體變

圖4展示了不同圍壓下的應力-應變關系及體變-應變關系。由圖4可知，對于相同圍壓的每組四個試驗，不同終止應變對應的曲線接近，說明試驗結果具備可重復性，因此能用于定量討論顆粒破碎。圖4(a)中所有試樣都表現出應變軟化。在圖4(b)中，圍壓為100和200 kPa的試樣先剪縮后剪脹，與密實石英砂性質相似；當圍壓增加到500～1 000 kPa時，鈣質砂始終表現為剪縮，主要原因是高圍壓限制了試樣剪脹，同時鈣質砂顆粒發生了破碎。

圖4 排水三軸試驗結果

3.2 顆粒破碎分析

根據量測的粒徑分析結果，分別繪制試驗前和不同終止軸向應變對應的級配曲線。以圍壓為100和1 000 kPa試驗為例，圖5展示了剪切前后的顆粒級配曲線。隨著軸向應變的增加，試樣級配曲線發生上移，即出現了顆粒破碎，且顆粒破碎程度隨軸向應變的增加逐漸增強，即使是偏應力達到峰值后的下降過程中(終止應變為15%和25%時)，顆粒仍在繼續破碎。圍壓越大，級配曲線上移程度越大，表明顆粒破碎程度隨圍壓的增大而越來越顯著。

圖5 試樣剪切前后級配曲線

Guyon等[14]認為鈣質砂破碎的主要形式為破裂、尖角破碎和表面研磨等，如圖6所示。顆粒破裂造成細顆粒含量的增多和粗顆粒的減少；如果剪切后試樣的粒徑級配中細顆粒數量增多、粗顆粒數量基本不變，則說明破碎以尖角破碎和表面磨損為主，因為這二者僅造成粗顆粒粒徑的輕微減小及細顆粒的增加[14]。分析圖5的級配曲線，與圍壓和終止應變無關，剪切后試樣中5～10 mm的粗顆粒質量總是減小，而0.5～0.1 mm的細顆粒質量增多，表明剪切中顆粒破碎形式以破裂為主，尖角破碎和表面研磨相對次要。這是因為所用試樣的粗顆粒形狀不規則、表面粗糙且孔隙豐富(見圖2 所示的試樣SEM照片)。此外，顆粒的形狀特征也會對破碎產生影響，不規則形狀的顆粒(如棒狀、枝狀)更易發生破裂。

圖6 幾種典型顆粒破碎類型

基于Hardin提出的相對破碎率Br及試驗前后的級配曲線，計算每個終止軸向應變下的Br，并根據式(1)計算相應的塑性功Wp，見表1。結果表明：相同圍壓下，Br隨軸向應變的增加而增加，當εa達到15%后顆粒破碎現象更顯著。當圍壓小于等于200 kPa及εa小于15%時，顆粒破碎幾乎可以忽略，但隨著圍壓的增大，即使應變較小，顆粒破碎也變得顯著，當圍壓為1 000 kPa、軸向應變為25%時，Br達到14.7%。Wp的計算結果表明，當εa小于15%時，Wp的發展較緩慢，隨著剪切的持續進行，Wp迅速增加，且Wp的變化趨勢隨圍壓的增加而增大，證明圍壓越大，剪切時產生的塑性功越大。

依據計算得到的不同圍壓和終止軸向應變對應的Wp和Br，按照式(2)的形式進行擬合，確定式(2)中的參數α=1 488.7，見圖7。

圖7 相對破碎率與塑性功的關系

4 SIMSAND模型模擬精度分析

采用通用有限元軟件Abaqus模擬三軸試驗，通過用戶子程序VUMAT定義SIMSAND模型。SIMSAND模型共包含24個參數，依據參數確定方式，可分為三類：

(1)G0、K0和n為彈性參數，pc0和λ'為壓縮參數，均通過等向壓縮試驗獲得。圖8比較了等向壓縮試驗與數值模擬結果，二者基本吻合。

圖8 等向壓縮試驗結果與模擬對比

(2)eref0、λ、ξ和φ為臨界狀態參數，通過高終止應變(此處取25%)的三軸試驗對應的臨界狀態結果獲得。

(3)kp、Ad、np和nd為剪切-滑動參數，a、ecuf和ρ為顆粒破碎參數，通過擬合三軸試驗數據獲得[6]。

最終標定的本構模型參數見表2，圖9對比了試驗結果與有限元預測。在圖9(a)中，偏應力隨軸向應變的變化趨勢基本一致，預測與試驗結果相差較小。圍壓為100和200 kPa時，模型能夠較好地預測峰值偏應力大小及其對應的軸向應變。圍壓為500～1 000 kPa時，雖然預測的偏應力峰值與試驗結果很接近，但預測其對應的軸向應變明顯小于試驗值。以1 000 kPa圍壓為例，預測和試驗的峰值應變分別為7.7%和12.1%。

表2 SIMSAND模型參數

圖9 排水條件下模型預測結果與試驗結果的對比

由圖10(b)可得，SIMSAND模型對于體應變的預測精度較低。即使不考慮顆粒破碎的砂土本構模型，很多時候也是對強度的模擬精度高、對體變的模擬精度差[15]。

圖10為部分圍壓下相對破碎率Br的試驗與預測值，可以看出按照式(2)擬合得到的破碎參數a并不能準確預測Br。當軸向應變εa大于等于15%時，Br被高估，且圍壓越大，高估越明顯。當圍壓為1 000 kPa，εa為25%時，高估約105%。當εa不超過7%時，預測的Br低于試驗值；以1 000 kPa為例，試驗中εa為7%時產生的Br比3%的高4.46%，但式(2)預測Br的變化僅有3.8%。這說明式(2)并不能合理描述Br發展的全過程。而Br又是量化顆粒破碎程度的關鍵參數，因此以下將提出新的Br表達式，以優化強度和變形預測。

圖10 試驗、預測與修正后Br

5 相對破碎率Br公式的修正

為更好地預測Br的發展規律，根據三軸試驗結果，將式(2)修正為：

(7)

參數β擬合為3 800，模型預測與試驗結果對比如圖11所示。圖11(a)顯示修正Br對圍壓為100～700 kPa時的應力-應變關系影響不大，但圍壓為1 000 kPa時，數值模擬獲得的偏應力更接近試驗結果，且土體的應變軟化與峰值的提前現象有所改善，以1 000 kPa為例，預測的峰值應變為8.5%，與試驗結果的差值由修正前的4.4%變為3.6%。圖11(b)顯示修正Br對體變的趨勢基本無影響。

圖11 修正后模型預測結果與試驗結果對比

參數Ad可以改變峰值應力和軟化出現時的軸向應變，增大Ad的取值，當偏應力達到峰值時，對應的軸向應變會增大，但是Ad同時影響體變的趨勢，如果企圖進一步縮小預測和試驗的峰值應變差距，體變預測將出現定性錯誤。總體來說，上述參數取值已是相對最優選擇。

利用式(7)預測的Br見圖10，以100、500和1 000 kPa為例：軸向應變不超過7%時，式(7)略低估Br的值，但軸向應變大于15%后，預測與試驗結果接近，說明式(7)能更好地預測Br的發展規律。式(2)的物理意義為：當Wp趨近于無窮大時，Br接近1，這符合顆粒破碎的定義，當圍壓和軸向應變足夠大時，剪切過程中產生的塑性功趨近無限大，顆粒會完全破碎。但Yin等構造的式(2)針對石英砂，且三軸試驗圍壓在2.1～42 MPa的寬廣范圍內[6]，難以準確捕捉圍壓較小時的破碎情況。式(7)更適合低圍壓下就發生顆粒破碎的鈣質砂。

6 結論

通過三軸排水試驗和有限元模擬，探索了南海鈣質砂顆粒破碎對土體強度和變形的影響，得到如下結論：

(1)初始相對密實度約為60%的鈣質砂，在圍壓為100～1 000 kPa的三軸排水剪切中總是表現為應變軟化，峰值偏應力隨圍壓增大；當圍壓為100和200 kPa時，試樣先剪縮后剪脹，當圍壓不小于500 kPa時，試樣始終表現為剪縮。

(2)相同圍壓下，顆粒破碎程度隨軸向應變增加，且圍壓越大顆粒破碎越明顯。當軸向應變小于7%時，顆粒破碎不明顯，且顆粒破碎隨軸向應變增長較慢；當軸向應變大于等于15%后，顆粒破碎逐漸顯著，且顆粒破碎隨軸向應變增長的速度增加。

(3)提出了南海鈣質砂相對破碎率表達式，適用范圍為圍壓100～1 000 kPa。提出的表達式能更好地預測偏應力峰值出現時的應變，隨著圍壓越高，預測效果越好。