一類常微分方程的解法研究與推廣

史周晰 趙臨龍

安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 陜西安康 725000

1 問題背景

微分方程是伴隨著微積分創(chuàng)立而誕生的，牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)數(shù)學(xué)家歐拉、克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

微分方程的起源可追溯到17世紀(jì)末，為了解決物理問題、天文學(xué)問題，出現(xiàn)了微分方程。數(shù)學(xué)家曾借助于微分方程從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而驗(yàn)證了德國(guó)天文學(xué)家開普勒由實(shí)驗(yàn)而得到的推想。后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯也曾借助微分方程，在海王星被觀測(cè)到之前推算出它的方位。微分方程成為研究自然規(guī)律的強(qiáng)有力的工具。

同時(shí)，隨著今天數(shù)學(xué)建模的興起，微分方程解決實(shí)際問題的作用更加凸顯出來(lái)。1798年，馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型成為利用微分方程研究社會(huì)問題的先例。盡管馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型較粗糙地研究人口增長(zhǎng)(較實(shí)際增長(zhǎng)過快)，但推動(dòng)了數(shù)學(xué)建模的興起，使常微分方程成為研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的有利工具。

2 解法研究

在《常微分方程》學(xué)習(xí)檢測(cè)中，對(duì)于一階微分方程

(xy+1)ydx-xdy=0

(1)

如何求其解，是非常有趣的問題。

通過初等變換，將微分方程(1)化為可以求的微分方程。

2.1 解法1：積分因子公式法

2.2 解法2：積分因子觀察法

2.3 解法3：化為變量可分離方程求解

(2)

(3)

2.4 解法4：化為伯努利方程求解

2.5 解法5：一階線性方程解法

2.6 解法6：常數(shù)變易法

(4)

(5)

由此猜想，方程的解的形式為y=xc(x)

xc′(x)+c(x)=c(x)+x2c2(x)

3 推廣探析

將微分方程(2)推廣為：

(6)

代回z=y1-r，t=x1-s

4 解法小結(jié)

對(duì)于微分方程的解法研究，是一個(gè)有趣的問題。首先，它不僅能給出問題的求解，而且還可以將結(jié)論進(jìn)行推廣，獲得新的結(jié)果，豐富微分方程的理論。更重要的是，通過一題多解給出不同的解法，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，提升解決微分方程的能力。

我們?cè)谖⒎址匠虒W(xué)習(xí)與研究中，一直提倡“學(xué)習(xí)+研究”的方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)表一系列論文[1-28]，不僅提高學(xué)生學(xué)習(xí)微分方程的積極性，而且成為參考文獻(xiàn)[29]的補(bǔ)充內(nèi)容，以及參考文獻(xiàn)[30]展示的亮點(diǎn)。

5 成果亮點(diǎn)

學(xué)生能力得到極大提升，發(fā)表微分方程論文60余篇(核心期刊2篇)，考取的60名碩士研究生多數(shù)發(fā)表論文，成為考研的亮點(diǎn)。

在實(shí)踐活動(dòng)中，針對(duì)大學(xué)生承擔(dān)的國(guó)家、省級(jí)等創(chuàng)新項(xiàng)目(共12項(xiàng))完成的微分方程模型論文發(fā)表在核心期刊中，將微分方程融入競(jìng)賽答題中，在國(guó)際和全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽獲得獎(jiǎng)項(xiàng)60余項(xiàng)、陜西省“挑戰(zhàn)杯”競(jìng)賽獎(jiǎng)9項(xiàng)，成為學(xué)校學(xué)風(fēng)建設(shè)的試點(diǎn)學(xué)院。

本課程先后被學(xué)校評(píng)為精品課、示范課、混合改革課等，課程考試改革評(píng)為優(yōu)秀等次；2016年《常微分方程》確定為學(xué)校考試改革課程；2017年確立為校級(jí)教學(xué)示范課程建設(shè)項(xiàng)目；2017年確立為校級(jí)混合改革課程；2017年《基于常微分方程課程的“學(xué)習(xí)+研究”教學(xué)模式的構(gòu)建與實(shí)踐》獲得學(xué)校教學(xué)成果一等獎(jiǎng)；2018年該成果入選2018年全國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)課程論壇論(論文集：高等教育出版社)；2019年該成果在全國(guó)“新工科背景下大學(xué)數(shù)學(xué)及教材建設(shè)研討會(huì)”報(bào)告，并到相關(guān)高校做交流報(bào)告。2019年《興趣驅(qū)動(dòng)、案例融入、學(xué)研結(jié)合的常微分方程課程教學(xué)改革與實(shí)踐》獲得學(xué)校教學(xué)成果特等獎(jiǎng)。2020年《常微分方程》成為省級(jí)一流課程。

2001年，輔助教材《常微分方程研究新論》[30]憑借豐富的教學(xué)研究成果獲得陜西省教學(xué)成果二等獎(jiǎng)。同時(shí)，以專題講授的方式，通過學(xué)習(xí)群傳遞老師的發(fā)表論文，引導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)研究，提升學(xué)習(xí)和研究能力。

2014年，教材《常微分方程》[29]第三次印刷，教學(xué)改革促進(jìn)教師發(fā)展：2名青年教師晉升副教授，教授成為陜西省級(jí)特支人才(教學(xué)名師)。