新課程背景下高中數學建模教學實踐研究

□甘肅省張掖市山丹縣第一中學 周相年

在高中數學教學中滲透建模素養，對提高教學效率和加深學生對數學理論知識的理解具有重要意義，且符合新課程改革的要求。本文以新課程背景下高中數學建模教學實踐策略為研究主題，分析了在高中數學開展建模教學的意義，得出對提升學生數學素養和促進學生綜合能力發展具有積極意義的結論，然后分析了高中建模教學需要遵循的基本原則，并探索了在新課教學中滲透建模知識、在習題講解中開展建模教學、為學生提供建模訓練機會、在教學評價環節開展建模反思的教學策略，以期為高中數學教師群體提供參考。

一、數學建模教學概述

數學模型是利用數學理論得到與研究對象相符合的數學結構，建立該數學結構的過程被稱為數學建模。數學建模具有以下本質特點：

第一，數學建模是一個過程或者一種思考方式，并非一種題型或者解決方法，但是在數學建模思想的指導下，學生可以得出某一類題型的具有廣泛適用性的解題方法，這一過程可看作一個狹義的數學建模過程。第二，利用數學建模來解決的問題，一般具備較強的開放性，學生可以在求解過程中積極主動地做出決策，最終得到的數學模型也不盡相同。第三，數學建模并不是一個直線型的過程，其中可能存在建模錯誤的情況，所以學生應該在建成數學模型后對數學模型進行驗證修改。第四，數學建模的核心工具是數學模型，數學模型的選擇和合理利用對建模過程具有重要影響。

二、高中數學開展建模教學的意義

（一）減輕學生解題負擔

高中數學內容的難度和復雜程度都遠高于初中數學內容，所以高中學生的學習壓力比較大，且由于高中學生面臨升學壓力，再加上部分教師利用“題海戰術”，為學生提供大量數學練習，力求讓學生在解題過程中實現能力提升，但實際效果相反。高中數學建模教學能夠幫助學生找到一種解決同類問題的解題方法，從而在遇到同類題目時可以直接利用解題模型完成解答過程，學生的解題難度降低，有助于緩解學生的焦慮情緒。

（二）培養學生協作能力

為了幫助學生更好地理解建模思想和形成建模素養，教師通常會安排學生以學習小組為單位，利用建模思想解決實際問題。在此過程中，學生一方面能對數學理論知識產生更清晰、深刻的認識，提升利用所學知識解決實際問題的能力，將數學學習與實際生活相聯系，真正認識到高中數學學習對未來生活和發展的意義；另一方面，在小組協作建模的過程中認識到團體協作的力量，重視開發集體智慧，從而形成更加良好的協作能力。這不僅對學生的各學科學習具有很大幫助，還有利于提升學生的學習自信心。

（三）提升學生數學素養

數學建模是數學研究的重要方式，教師在實際教學中滲透數學建模思想，能夠提升學生的數學素養，使其掌握基本的數學研究方法。首先，數學建模是一個由具體到抽象的認知過程，有利于提升學生的邏輯思維能力。其次，數學建模是一個開放性的過程，學生不僅要挑選用于建模的知識，還要學習新知識完成建模過程，所以數學建模教學有利于提升學生的數學研究能力。最后，數學建模過程本身是一個創新過程，所以數學建模教學有利于提升學生的數學創新能力。

三、高中建模教學需要遵循的基本原則

（一）循序漸進原則

高中數學建模教學需要遵循循序漸進的基本原則，即在設計教學方案的過程中，教師應該保證數學建模教學內容由易到難、由簡至繁、由相對具體到比較抽象。若沒有遵循循序漸進原則，隨機選擇數學建模教學內容，則教學過程不符合學生的認知發展過程，不僅不利于提高數學建模教學效率，還有可能挫傷學生的建模信心。

（二）問題挑選原則

高中數學建模教學需要遵循問題挑選原則，要求教師選擇適用數學建模思想的數學問題開展教學，即規律性強、與實際生活聯系強、可操作性強的數學問題。例如，人教版高中數學教材中有助于數學建模的數學結構有函數、方程組、不等式、統計、概率、數列、導數等。合適的數學問題和數學建模教學能夠取得“相得益彰”的效果，有利于降低學生的理解難度，從而提高教學效率。

（三）學生主體原則

高中數學建模教學需要遵循學生主體原則。數學建模教學屬于策略性教學內容，很難通過提問、默寫等方式判斷學生的學習質量，所以教師應該秉承學生主體原則，為學生設計數學建模項目，鼓勵學生利用數學建模思想解決數學問題，虛心聽取學生對建模教學過程的意見和建議，設計滿足學生學習需求、激發學生學習興趣的數學建模教學方案。

（四）適應性原則

高中數學建模教學需要遵循適應性原則，即教師設計的數學建模教學內容應該與課堂教學內容相匹配。其中，課內數學建模教學以加深學生對教材知識的理解并提升理論聯系實際能力為重要目標，課外數學建模教學以拓寬學生的學習視野和提升學生舉一反三能力為重要目標，避免任意拓寬數學知識和增加數學難度，避免加重學生的學習負擔。

四、高中數學建模教學實踐策略

（一）在日常教學中滲透建模知識

高中數學建模教學實踐包括建模知識滲透、建模方式教學、開展建模訓練和建模能力評價四個過程。其中，建模知識滲透不僅是高中數學建模教學實踐的首要過程，還是高中數學建模實踐教學的開展基礎，所以教師應該在日常教學中滲透建模知識，包括什么是數學模型、什么是數學建模過程、數學建模思想的重點是什么、數學建模素養對學生的學習有什么積極影響、什么場景適用數學建模思想解題等。

教師應該在日常教學中為學生講解數學建模思想的具體含義，幫助學生對數學建模思想形成基本的知識，了解數學建模過程的概念和數學建模思想的本質。教師可以為學生創設與教學內容相關的教學情境，使學生感受到所學數學知識在實際生活中的應用，從而為數學學習與實際生活建立聯系，進而了解“數學建模是將現實問題轉化為數學問題再轉化為模型問題”的概念。

例如，在“函數的概念及其表示”教學時，教師為學生提出這樣一個問題，即當一杯100℃的水和一杯50℃的水兌在一起，則水溫變化情況是怎樣的。為解決這一問題，學生想出了用溫度計測水溫并記錄的方式，有的學生利用表格記錄水溫，能夠比較清晰地看出水溫的變化趨勢，但是不夠直觀。有的學生利用函數知識解決問題，先利用表格提供的數據繪制直角坐標系第一象限圖，以時間為橫坐標，以水溫為縱坐標，利用表格數據在坐標系中描點，再利用比較平滑的曲線將點連接起來。通過觀察圖像，不僅可以清晰明了地看出水溫變化趨勢，還能比較直觀地了解水溫變化速度，發現隨著時間的變化，水溫變化幅度逐漸減小這一規律。教師要求學生選擇函數來描述水溫變化圖，由于每組學生記錄水溫變化的時間間隔不一樣，所以學生計算出來的函數解析式也各不相同。在此過程中，教師應告知學生將“水溫變化情況”這一實際問題轉變為數學問題，并利用恰當的數學方法予以解決的過程即數學建模過程，數學建模過程是一個開放的數學過程，不同的數學方法得出的數學模型在精度和適用性上都不相同，所以應該在建成數學模型后對數學模型進行驗證修改。

（二）在習題講解中開展建模教學

數學建模過程包括提出問題、分析問題、假設模型、建設模型和驗證模型五個過程，教師可以在習題講解中開展建模教學，使學生真切感受到數學建模思想對高中數學學習的積極影響，從而主動自覺地開展數學建模練習，提升自身數學建模能力，同時幫助學生總結解題模型，提高解題效率。

例如，在講解如圖1 所示的題目時，首先，教師要求學生仔細觀察表格中的數據并以學習小組為單位討論3 分鐘，選派代表發言。由于該題目提供表格信息含量較大，所以不同小組會得出不同的結論，如“水深最大值為7.5 米，水深最小值為2.5 米”“水深變化呈周期性”等。

圖1 高中數學建模教學例題

其次，教師應引導學生利用函數模型知識，嘗試利用表格數據繪制水深變化圖像，學生繪制結果如圖2所示。通過觀察水深變化圖像，學生發現水深呈現周期性變化且與學過的正弦函數圖像比較相似。教師引導學生利用正弦函數知識求出水深變化圖像的函數解析式，得到刻畫水深與時間關系的三角函數模型。在該過程中，教師利用現實生活例子提出問題，引導學生分析問題，并引導學生思考該題目與所學知識的聯系，進而使學生將水深變化圖與正弦函數圖像聯系起來，利用正弦函數圖像知識解決這一問題，最終弄得出水深與時間關系的三角函數模型。數學建模還包括檢驗模型這一過程，所以教師還應引導學生檢驗所得三角函數模型是否精確。

圖2 水深變化圖

最后，完成上述步驟后，教師為學生講解數學建模過程及各個過程所應用的數學方法，使學生對數學建模活動形成更加直觀的認識，從而在解決其他類型題目的過程中利用數學建模思想高效解決問題。

（三）為學生提供建模訓練機會

數學建模教學是一種策略性教學，教師可以利用項目式學習法，通過布置數學建模任務來檢查學生的數學建模素養情況。在設計數學建模任務時，為了提升學生的綜合素養，教師可以設計難度較大的數學建模任務，要求學生以學習小組為單位解決問題。

首先，為了激發各學習小組之間的競爭意識，教師應該平衡各學習小組的“實力”，即組間同質、組內異質。教師可以先統計班級學生數學成績、思維水平、學習態度等綜合能力并排名，將班級學生分為6 個學習小組，將1—6 的學生按序分配給A、B、C、D、E、F 六個小組，然后將排名為7—12的學生按序分配給F、E、D、C、B、A，以此類推，保證各學習小組間整體實力均衡。

其次，設計與教學內容相匹配的數學建模任務。例如，在完成“指數函數與對數函數”的教學后，為了利用數學建模任務實現單元復習目的，教師可以設計“利用函數模型解決實際問題”課題任務，要求學生通過調查研究獲取數據，建立“每周課外書閱讀時間（時）與語文成績（分）之間的關系”函數模型。

最后，為了增強學生的合作意識和提升學生的綜合能力，教師可以將數學建模訓練與項目式學習結合起來，要求學生以學習小組為單位完成課題報告，包括課題名稱、課題組成員及分工、選題意義、研究計劃、研究過程、研究成果、收獲與體會等。為了提高學生的學習積極性，教師可以為學生提供開放性的課題研究主題，如根據教學內容設計多個研究課題供學生挑選；根據教學內容限制研究范圍，要求學生自由選擇課題研究主題等。

（四）在教學評價環節開展建模反思

新課改背景下，教師應該重視數學建模本身，采取有效的方法引導學生實現對數學模型的運用和轉化，利用教學評價開展建模反思。

首先，教師改變教學評價模式，重視數學建模的過程性評價，針對學生在數學建模過程中的表現提出具有建設性的發展建議，提升學生的數學建模素養和數學建模能力。其次，教師利用數學建模項目來考查學生的數學建模全部情況，如給予學生一定的問題情境，要求學生根據給定問題情境分享數學建模過程，重點描述如何將問題情境轉化為數學問題和利用哪些具體的數學知識來解決這一問題。

五、結語

總而言之，高中數學建模教學有利于降低學生的解題難度、培養學生的協作能力和提升學生的數學素養，高中數學教師應該秉承循序漸進、問題挑選、學生主體和適應性原則，積極探索高中數學建模教學實踐策略，為學生提供更高質量的學習體驗，提高學生對數學知識的探究興趣，為我國培養高質量的數學人才。