基于ISIGHT的二維手性聲子晶體帶隙最優設計

魏祎珩,樊潔平，邱克鵬

(1.西北工業大學機電學院，西安 710072;2.西安交通大學電氣工程學院，西安 710049)

0 引 言

振動噪聲是自然界最普遍的現象之一，廣泛存在于人類日常生活和工程應用領域，嚴重危害人們的身體健康，破壞工業設備的功能和精度，縮短儀器的使用壽命，加劇構件的疲勞與磨損等。因此，開展減振降噪方法和技術的研究尤為重要。1993年，Kushwaha等[1]率先提出了“聲子晶體”的概念，即密度和彈性常數呈現周期性變化的結構或材料，同時獲得了完全帶隙。聲子晶體體現出的帶隙特性，即阻止彈性波在特定頻率范圍內傳播，使其在減振降噪和聲功能器件上有著很廣泛的應用前景，為減振降噪技術的發展提供了一種新思路。

近年來，國內外學者針對聲子晶體帶隙特性開展了大量的研究。吳萬鵬[2]對特定二維聲子晶體算例的固/固結構、流/固結構和孔/固結構進行了帶隙分析并研究了影響低頻帶隙的因素。劉志明[3]開展了三組元局域共振型三維聲子晶體的帶隙特性研究工作，從理論上研究了組元材料和點陣結構等參數對帶隙特性的影響規律。賀子厚等[4]設計了一種蜂窩結構聲子晶體，通過計算不同參數對應的能帶圖探討了結構參數對帶隙的影響。彭中波等[5]研究了一種二維三組元固態聲子晶體結構的帶隙特性，并進一步討論了該結構散射體填充率、包覆層厚度對帶隙的影響規律。Dong等[6]對一種新型小尺寸多帶隙聲子晶體進行了研究，采用有限元法計算了其色散關系和位移場，同時研究了幾何參數和材料參數對其能帶結構的影響。Li等[7]研究了材料參數對二維三組元聲子晶體帶隙的影響發現：對于具有布拉格散射型帶隙的聲子晶體，在密度失配大、散射體與基體的剪切模量比大的情況下會出現更寬的帶隙；對于具有局域共振型帶隙的聲子晶體，在散射體與基體密度比較大、散射體與基體的剪切模量比較大以及涂層與基體的剪切模量比較小時，會出現更寬的帶隙。以上研究針對不同結構的聲子晶體分析了其構型參數與材料參數對帶隙的影響規律，在此基礎上，對聲子晶體的帶隙還有進一步的優化設計空間。

2003年，Sigmund等[8]率先采用拓撲優化設計方法開展了二維聲子晶體帶隙設計，得到了具有較寬帶隙的聲子晶體原胞結構，實現了拓撲優化方法在聲子晶體帶隙特性設計中的應用。鐘會林等[9]則利用自適應遺傳算法對二維聲子晶體開展了優化設計，并將其與平面波展開法結合，研究了正方形排列的鉛-環氧樹脂聲子晶體的帶隙優化問題。Liu等[10]將遺傳算法與平面波展開法結合，通過兩階段的優化，得到了具有最大相對帶隙的聲子晶體結構。以上研究采用遺傳算法實現了聲子晶體帶隙的構型設計。郭凱紅等[11]通過引入二進制變量來描述三相材料單胞，采用遺傳算法實現了一維三相聲子晶體的拓撲優化設計，其優化結果為一維多相聲子晶體的優化設計提供了理論依據。許衛鍇等[12]基于混合變量的兩階段遺傳算法，對聲子晶體拓撲構型及影響二維固/固聲子晶體的材料參數進行優化，得到了較寬的低頻帶隙。董亞科等[13]利用智能算法和平面波展開法計算了二維二組元和二維三組元聲子晶體的最優材料參數和尺寸參數，實現了聲子晶體帶隙優化設計。Chen等[14]通過歸一化系數將多目標優化轉化為單目標優化，基于ISIGHT實現了六手性聲子晶體的幾何參數和材料參數的優化設計。結合分析聲子晶體的構型參數和材料參數對帶隙的影響規律，選取更有效的設計空間，可進一步提高帶隙優化效率。

手性結構在靜力學、動力學領域都具有良好的特性，已成為近年來材料研究的熱點問題。Wojciechowski[15]率先提出了手性結構的概念，這種結構因其出色的力學性能在當時受到國內外學者的廣泛關注，隨即便有學者將手性結構與聲學減振降噪聯系起來進行研究。Spadoni等[16-17]研究了手性結構的隔振與隔聲性能，證明其相比普通結構具有更出色的隔振隔聲效果以及更高的可設計性。Tee等[18]研究了彈性波在四韌帶手性超材料中的傳播，證明手性結構具有更出色的帶隙特性。徐時吟等[19]對六韌帶手性結構的能帶特性進行分析，發現六韌帶手性結構針對各個方向的振動都具有良好的隔振效應。Spadoni等[20]研究了幾何結構對六韌帶手性超材料帶隙分布的影響。這些研究都說明了手性結構聲子晶體具有更優良的帶隙特性和更高的可設計性。

本工作在計算特定六邊形手性聲子晶體帶隙特性的基礎上，分析了散射體參數與韌帶涂層參數對帶隙的影響規律，以此確定手性聲子晶體帶隙最優設計的有效參數設計區間，然后基于嵌入遺傳算法的ISIGHT集成平臺開展優化設計。先對二維手性聲子晶體的構型參數進行優化設計，再基于構型優化設計的結果對材料參數進行優化設計，隨后根據材料優化設計結果進行選材，得到以相對帶隙寬度最大為目標的手性聲子晶體優化模型。最后對優化前后六手性聲子晶體中波的傳輸特性進行了對比，驗證了優化結果的正確性和有效性。

1 帶隙數值仿真計算

在COMSOL的固體力學模塊中建立手性聲子晶體的模型，設置Floquent周期性條件，選擇較細化的自由三角形網格進行劃分，添加參數化掃描控制波矢掃描整個不可約布里淵區求解特征頻率，設置繪圖組繪制帶隙圖。二維六手性聲子晶體模型如圖1(a)所示，結構參數為：晶格常數a=5 mm，散射體半徑r=1.5 mm，韌帶寬度tb=0.6 mm，涂層厚度tc=0.6 mm，且tb=tc。材料參數為：散射體為鎢，密度為19 250 kg/m3，泊松比為0.284，彈性模量為3.5×1010Pa；基體為環氧樹脂，密度為1 180 kg/m3，泊松比為0.368，彈性模量為4.32×109Pa；韌帶與涂層材料為尼龍，密度為1 150 kg/m3，泊松比為0.28，彈性模量為1.4×109Pa。通過計算，得到其對應的帶隙圖如圖1(b)所示，在0～100 kHz之間有兩個完全帶隙(即兩個灰色區域)，第一完全帶隙的頻率范圍為41.4～53.2 kHz，第二完全帶隙的頻率范圍為58.0～77.9 kHz。

圖1 二維六手性聲子晶體模型圖(a)及帶隙圖(b)Fig.1 Two-dimensional hexagonal chiral phononic crystal model (a) and band-gap diagram (b)

2 影響二維手性聲子晶體帶隙的因素

將影響手性聲子晶體帶隙的因素分為散射體參數與韌帶涂層參數兩個方面。散射體參數包括填充率、彈性模量、密度和泊松比；韌帶涂層參數包括韌帶涂層寬度、彈性模量、密度和泊松比。其中，散射體填充率與韌帶涂層寬度屬于構型參數，散射體與韌帶涂層的彈性模量、密度和泊松比屬于材料參數。由于第一完全帶隙的可設計性低，選擇第二完全帶隙進行研究。在COMSOL中改變參數值并計算，記錄第二完全帶隙的起始頻率與截止頻率，分析不同參數值對應的帶隙寬度和帶隙位置，確定相對帶隙寬度的有效設計區間。

2.1 散射體參數對帶隙的影響

由圖2(a)可知，散射體填充率對帶隙的影響較大。隨著散射體填充率的增大，帶隙寬度增大，帶隙位置先小幅度上升后下降，在散射體填充率為0.35時帶隙位置最高；當散射體填充率大于0.35時，帶隙寬度相比之前要大很多，帶隙位置相比之前也更低，即當散射體填充率大于0.35時，相對帶隙寬度會出現最大值，所以確定散射體填充率的有效設計區間為0.35～0.45。

由圖2(b)可知，散射體彈性模量對帶隙的影響較大。隨著散射體彈性模量的增大，帶隙寬度增大，帶隙位置上升，這一變化趨勢在散射體彈性模量小于4.0×1010Pa時最明顯；當散射體彈性模量大于4.0×1010Pa時，帶隙寬度幾乎不再發生改變，而帶隙位置卻一直上升，這造成了相對帶隙寬度的減小，即當散射體彈性模量小于4.0×1010Pa時，相對帶隙寬度會出現最大值，所以確定散射體彈性模量的有效設計區間為1.0×1010～4.0×1010Pa。

由圖2(c)可知，散射體密度對帶隙的影響較大。隨著散射體密度的增大，帶隙寬度增大，帶隙位置下降，即散射體密度越大，相對帶隙寬度越大，所以不對散射體密度進行設計，在選材時確定散射體其他材料參數后，選擇密度更大的材料。

由圖2(d)可知，散射體泊松比對帶隙的影響極小；散射體泊松比變化引起的帶隙寬度變化和帶隙位置變化幅度都在100 Hz以內，對相對帶隙寬度的影響可忽略不計，所以不對散射體泊松比進行設計，在選材時不考慮散射體材料的泊松比。

圖2 散射體參數對第二完全帶隙的影響Fig.2 Influence of scatter parameters on the second complete band-gap

2.2 韌帶與涂層參數對帶隙的影響

由圖3(a)可知，韌帶與涂層寬度對帶隙的影響較大。隨著韌帶與涂層寬度的增大，帶隙寬度先減小之后小幅度增大，帶隙位置下降；當韌帶與涂層寬度最小時，帶隙寬度最大，當韌帶與涂層寬度最大時，帶隙位置最低，無法直接確定相對帶隙寬度最大對應的參數區間，即相對帶隙寬度最大對應的參數值可能出現在韌帶與涂層寬度變化的全范圍內，所以確定韌帶與涂層寬度的有效設計區間為0.1～0.8。

由圖3(b)可知，韌帶與涂層彈性模量對帶隙的影響較大；隨著韌帶與涂層彈性模量的增大，帶隙寬度先增大再減小，在7.0×109Pa時達到最大，帶隙位置一直上升。當韌帶與涂層彈性模量大于7.0×109Pa時，帶隙寬度減小，帶隙位置上升，這造成了相對帶隙寬度的減小，即當韌帶與涂層彈性模量小于7.0×109Pa時，相對帶隙寬度會出現最大值，所以確定韌帶與涂層彈性模量的有效設計區間為 1.0×109～7.0×109Pa。

由圖3(c)可知，韌帶與涂層密度對帶隙的影響較大。隨著韌帶與涂層密度的增大，帶隙寬度一直減小，帶隙位置一直下降；當韌帶與涂層密度最小時，帶隙寬度最大，當韌帶與涂層密度最大時，帶隙位置最低，無法直接確定相對帶隙寬度最大對應的參數區間，即相對帶隙寬度最大對應的參數值可能出現在韌帶與涂層密度變化的全范圍內，所以確定韌帶與涂層密度的有效設計區間為100～3 000 kg/m3。

由圖3(d)可知，韌帶與涂層泊松比對帶隙的影響較大。隨著韌帶與涂層泊松比的增大，帶隙寬度一直增大，帶隙位置一直下降，即韌帶與涂層泊松比越大，相對帶隙寬度越大，所以不對韌帶與涂層泊松比進行設計，在選材時確定韌帶與涂層其他材料參數后，選擇泊松比更大的材料。

圖3 韌帶與涂層參數對第二完全帶隙的影響Fig.3 Influence of ligament and coating parameters on the second complete band-gap

3 帶隙優化設計

帶隙的優化設計工作是基于嵌入遺傳算法的ISIGHT集成平臺完成的。通過Simcode組件進行集成，將模型文件作為輸入，具有打開COMSOL With MATLAB功能的批處理文件作為命令，結果文本作為輸出。優化算法采用多島遺傳算法(multi-island GA)，增加了樣本的多樣性，防止過早收斂出現局部最優解，提高了多峰搜索能力。

3.1 構型設計

以第1節中的手性聲子晶體模型為對象，散射體填充率、韌帶與涂層寬度為設計變量，第二完全帶隙的相對帶隙寬度為目標函數，數學模型為：

(1)

式中:W為相對帶隙寬度，是帶隙寬度和帶隙中心頻率之比；A為第三能帶所有的特征頻率值；B為第四能帶所有的特征頻率值；f為散射體填充率；tb為韌帶寬度；tc為涂層寬度。

ISIGHT運行結果如表1所示。

表1 ISIGHT構型優化設計結果Table 1 ISIGHT configuration optimized design results

根據構型優化設計的結果r=2.95 mm，tc=0.68 mm重新建立模型并計算，得到構型優化設計前后模型對比圖與帶隙對比圖如圖4、5所示。

圖4 構型優化設計前后模型對比圖Fig.4 Comparison of models before and after configuration optimized design

圖5 構型優化設計前后帶隙對比圖Fig.5 Comparison of band-gap before and after configuration optimized design

在COMSOL中進行特征頻率的全局計算，得出完全帶隙的絕對帶隙寬度、中心頻率和相對帶隙寬度如表2所示。

表2 構型優化設計前后帶隙計算結果對比Table 2 Comparison of band-gap calculation results before and after configuration optimized design

構型優化后的帶隙寬度由19 869 Hz變為64 628 Hz，帶隙中心頻率由67 967.5 Hz變為68 936 Hz，相對帶隙寬度由0.29變為0.94，相對帶隙寬度增大了224%，與文獻[9]中相對帶隙寬度增大39.2%相比，優化效果大幅度提高。

3.2 材料設計

以構型優化設計后的手性聲子晶體模型為對象，散射體彈性模量、韌帶與涂層材料彈性模量和密度為設計變量，第二完全帶隙的相對帶隙寬度為目標函數，數學模型為：

(2)

式中：W為相對帶隙寬度，是帶隙寬度和帶隙中心頻率之比；A為第三能帶所有的特征頻率值；B為第四能帶所有的特征頻率值；E2為散射體彈性模量；E3為韌帶與涂層彈性模量；ρ3為韌帶與涂層密度。

ISIGHT運行結果如表3所示。

表3 ISIGHT材料優化設計結果Table 3 ISIGHT material optimized design results

優化設計的結果為散射體彈性模量為3.88×1010Pa，韌帶與涂層彈性模量為1.125×109Pa，韌帶與涂層密度為1 096 kg/m3。結合第2節結論開展選材：對于散射體材料，需要選擇一種彈性模量與38.8 GPa相近，密度大的固體材料；對于韌帶與涂層材料，需要選擇一種彈性模量與1.125 GPa相近，密度與1 096 kg/m3相近，泊松比大的固體材料。

對于散射體來說，金屬鎢滿足散射體的選材條件；對于韌帶與涂層材料來說，選擇高密度聚乙烯來代替原模型中的尼龍，高密度聚乙烯的材料參數為：彈性模量為1.07×109Pa，密度為952 kg/m3，泊松比為0.41。更換材料后計算帶隙，得到材料優化設計前后的帶隙對比圖如圖6所示。

圖6 材料優化設計前后帶隙對比圖Fig.6 Comparison of band-gap before and after material optimized design

在COMSOL中進行特征頻率的全局計算，得出完全帶隙的絕對帶隙寬度、中心頻率和相對帶隙寬度如表4所示。

表4 材料優化設計前后帶隙計算結果對比Table 4 Comparison of band-gap calculation results before and after material optimized design

材料優化后的帶隙寬度由64 628 Hz變為66 285 Hz，帶隙中心頻率由68 936 Hz變為66 029.5 Hz，相對帶隙寬度由0.94變為1.00。

通過構型設計與材料設計兩階段的優化設計工作，目標帶隙的帶隙寬度從19 869 Hz提升到了66 285 Hz，帶隙中心頻率從67 967.5 Hz減少到66 029.5 Hz，相對帶隙寬度從0.29增大到1.00，增大了245%，與文獻[13]中相對帶隙寬度增大到0.811和文獻[14]中相對帶隙寬度增大了29%相比，優化效果大幅度提高。

4 振動傳輸對比

在COMSOL固體力學模塊的瞬態研究中進行振動傳輸的對比分析，以驗證優化結果的正確性和有效性。如圖7所示，建立由7個元胞組成的有限周期結構，元胞的構型參數與材料參數分別為初始設計參數和兩階段優化設計后的參數。在結構的左側邊界施加沿x正向的對應頻率的激勵，計算頻率分別為40 kHz、55 kHz、70 kHz、85 kHz和105 kHz。

圖7 六手性聲子晶體中振動響應對比Fig.7 Comparison of vibrational responses in hexagonal chiral phononic crystals

由圖7可以看出，優化設計前后六手性聲子晶體對其帶隙范圍內對應頻率的激勵具有明顯的隔振效果，對其帶隙范圍之外頻率對應的激勵不會隔振，驗證了計算結果的正確性；同時，優化后的六手性聲子晶體可有效隔振的頻率范圍明顯增大，即帶隙寬度增大，驗證了優化的有效性。

5 結 論

本文利用COMSOL計算了特定六邊形手性聲子晶體帶隙并具體分析了散射體參數與韌帶涂層參數改變對帶隙的影響規律，基于這些規律對原聲子晶體模型進行優化設計，得到了目標帶隙最優的手性聲子晶體模型，具體結論包括：

(1)對于手性聲子晶體的第二完全帶隙，散射體填充率、彈性模量和密度對帶隙的影響較大，泊松比對其影響極小，韌帶與涂層各參數對帶隙的影響都有明顯的影響。

(2)在進行優化設計工作前，先對影響手性聲子晶體帶隙的因素進行具體分析，確定了各參數的有效設計區間，避免了優化的盲從性和經驗性。

(3)在材料優化設計中，先在有效設計區間內尋找最優解，再根據優化結果尋找材料，在考慮到材料是否存在的實際情況下極大限度地挖掘了二維手性聲子晶體帶隙最優設計潛能。