管道超結構軸向帶隙特性分析及實驗研究

李孟昶，郭少杰,張紅艷

(1.長安大學理學院，西安 710064；2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

0 引 言

近年來，超材料逐漸引起研究人員的關注[1]，并被應用到多個領域，如聲學超材料、光學超材料、電磁超材料等[2-5]。聲學超材料典型的特征是具有亞波長的尺寸和異常的動態等效參數[6]，當彈性波在這類結構中傳播時會受到結構的調制，從而使彈性波在某些頻率范圍內無法傳播。

國內外學者最初的研究主要集中于布拉格(Bragg)散射型帶隙[3]。2000年武漢大學劉正猷教授提出了局域共振型帶隙結構[4]。通常帶隙的形成是結構周期性和單散射體共同作用的結果，在布拉格散射型帶隙中，各元胞之間相互作用起主導作用，而在局域共振帶隙中，單個散射體的共振特性起主導作用[7-8]。許多學者對一維聲學超材料的彈性波帶隙特性展開研究。溫激鴻等[9]通過將一維聲子晶體中的元胞簡化為集中質量，引入了一種基于集中質量的彈性波集中質量計算方法。Xu等[10]用集中質量法研究了一維聲子晶體的階頻帶隙特性，分析了集中質量數、元胞尺寸、彈性模量等因素對帶隙的影響。郁殿龍等[11]研究了一維細長桿的彎曲振動特性,使用平面波展開法計算了桿的扭轉帶隙分布情況。鄭玲等[12]研究了鋁/橡膠聲子晶體對橫波的機械濾波特性,采用有限元法和傳遞矩陣法計算了能帶結構，并且與實驗進行了對比。Yan[13]研究了不同材料對一維聲子晶體帶隙的影響，認為高密度的材料更容易得到較寬的彈性波帶隙。Gao等[14-16]深入研究了沿軸向排列的單槽、雙槽及多層超材料板，對其低頻帶隙機理進行了分析。Xuan等[17]提出了一種可調節一維聲子晶體亞型結構，實現彎曲波相位在0～2π移動。He等[18]研究了彈性支撐條件下一維聲子晶體的帶隙特性，并分析了不同工況對帶隙的影響。

已有研究成果多針對單一類型帶隙結構，如布拉格散射型帶隙或局域共振型帶隙進行研究。本文結合兩種類型帶隙機理特性提出一種管道超結構構型，其元胞由管道、變徑凸臺和局域共振振子構成。使用傳遞矩陣法和有限元法計算得到了結構軸向帶隙分布圖，建立該管道超結構的振動實驗平臺，測得了該結構的傳輸特性曲線，并將實驗值和計算結果進行了對比驗證，進一步分析了幾何尺寸、材料參數等因素對結構帶隙特性的影響。

1 管道超結構構型及帶隙特性分析

1.1 管道超結構構型

結合布拉格散射型和局域共振型兩種帶隙機理特性，本文提出了復合帶隙管道超結構元胞構型，其結構示意圖如圖1所示。該元胞由直管段、變徑凸臺和局域共振振子共同構成。直徑較大的凸臺嵌套在直管上，凸臺上安裝局域共振振子。局域共振振子由內部橡膠環和外部不銹鋼組成，其元胞側視平面圖及參數如圖2所示。

圖1 管道超結構元胞構型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the cell configuration of the pipeline metastructure

圖2 管道超結構元胞側視平面圖Fig.2 Side view of the pipeline metastructure

1.2 傳遞矩陣法

圖3 管道超結構簡化示意圖Fig.3 Simplified pipeline metastructure diagram

為研究所構建管道超結構帶隙特性，本文分別采用傳遞矩陣法與有限元法分析了其能帶結構。傳遞矩陣法[19]從結構的連續狀態參數基本方程出發，推導得到管道的傳遞矩陣，并根據相鄰介質位移、應力等連續性獲得邊界條件，最終給出結構的解析解。本文所提出的管道超結構元胞簡化示意圖如圖3所示。A段為直管段，變徑凸臺段以等效質量及等效剛度的形式計入B段，該部分材料記為等效材料B，局域共振振子用彈簧質量系統表示。

為研究管道軸向振動特性，設A段彈性模量、密度及截面積分別為EA、ρA和S；B段彈性模量、密度分別為EB、ρB；a1和a2分別表示A段和B段的長度，元胞尺寸a=a1+a2。

管道中縱波的一維波動方程為:

(1)

式中：u(x,t)為x處的位移。其通解可寫成如下形式：

u(x,t)=U(x)eiωt

(2)

由式(1)可得，第n個元胞中A段振幅為：

(3)

同理可得，第n個元胞中B段振幅為：

(4)

局域共振振子n的振動方程為：

Vn(x)=Bneiωt

(5)

式中：Vn為振子的軸向位移，根據振子處基體位移、振子位移和彈簧回復力之間的關系，可知：

(6)

(7)

式中：ω為彈性波的角頻率；k為局域共振振子的體積模量；E和μ為振子橡膠部分的彈性模量及泊松比；m為局域共振振子的質量。

在第n個元胞材料A和材料B連接處，由位移和應力連續性條件可以得到：

(8)

(9)

將式(8)、(9)寫成矩陣形式：

KAψnA=HAψnA

(10)

(11)

(12)

將式(11)、(12)寫成矩陣形式：

KBψnA=HBψ(n-1)B

(13)

ψnB=Tψ(n-1)B

(14)

由于該結構在縱向具有周期性，利用Bloch定理[20]可以得到：

ψnB=eiqaψ(n-1)B

(15)

式中：q為Bloch波矢。將式(14)帶入到式(15)中可以轉化為求解標準矩陣的特征值問題：

|T-eiqaI|=0

(16)

求解矩陣T的特征值，即可得到波矢q與頻率ω之間的色散關系。對于每一個給定的ω，波矢q由實部和虛部兩部分組成，其中實部為該結構的色散曲線，虛部則表示彈性波在帶隙內衰減能力。

1.3 帶隙特性分析

為研究該結構帶隙分布規律，本文分別采用傳遞矩陣法和有限元法展開計算。結構直管段為鋁合金，凸臺為不銹鋼，振子內環為聚氨酯橡膠，外環為不銹鋼，振子寬度為a3，各部分材料參數和幾何參數如表1和表2所示。用COMSOL軟件建立元胞結構的有限元模型，如圖4所示。該結構劃分為3 160個域單元，兩端施加Floquet周期性邊界條件，同時限制其徑向位移，使其僅產生軸向運動。應用特征頻率求解器對布里淵區邊界進行波矢k掃描計算，可得到該元胞的軸向振動能帶結構圖。

表1 材料參數Table 1 Material parameters

表2 結構幾何參數Table 2 Structural geometric parameters

圖4 管道超結構有限元模型圖Fig.4 Finite element model of the pipeline metastructure

圖5分別給出了傳遞矩陣法和有限元法計算得到的結構軸向振動帶隙分布圖，可以看出在0～2500 Hz頻率范圍內共有兩階明顯的軸向振動帶隙,其位置分布基本一致。傳遞矩陣法所得實波矢部分為該結構的能帶結構圖。其中，第一階帶隙為191～371 Hz，第二階帶隙為1 181～2 141 Hz，帶寬分別為180 Hz和960 Hz；圖5(b)的虛波矢部分反映了結構對彈性波的衰減能力，從圖中可以看出，第一階帶隙較第二階帶隙對彈性波的衰減能力更強。有限元法所得帶隙頻率范圍為185～381 Hz和1 157～2 080.5 Hz，對應帶寬分別為196 Hz和923 Hz。兩種方法所得兩階帶隙位置相近，但均存在一定的差異，這是由于推導傳遞矩陣時，對變徑凸臺及局域共振振子進行等效簡化從而產生了誤差。兩者結果表明，該管道超結構元胞在0～1 000 Hz頻段和1 000～2 200 Hz頻段均有帶隙分布。

圖5 管道超結構元胞能帶圖Fig.5 Band diagram of the pipeline metastructure cell

為進一步對比分析其帶隙產生機理，元胞結構可看作由I型基胞(見圖6(a))和Ⅱ型基胞(見圖6(b))構成，圖7給出了二種基胞和元胞結構的帶隙分布圖。可以看出，管道超結構第一階帶隙位置與基胞I型的第一階帶隙位置相近。綜合圖5和圖7分析可知，該帶隙對彈性波衰減能力較強，且頻率較低，為局域共振型帶隙。由于振子的共振現象，該頻率范圍內的彈性波被局域化，從而導致彈性波無法正常傳播，該帶隙位置主要隨振子內環彈性模量和外環質量的改變而變化。管道超結構第二階帶隙位置與基胞I型的第二階帶隙和基胞Ⅱ型的第一階帶隙頻率范圍相近。同時圖5中該帶隙虛波矢部分呈現對稱特性，應為布拉格散射型帶隙[21]。周期出現的變徑凸臺及局域共振振子相對于直管段均發生尺寸變化，而這種尺寸改變會對彈性波進行反射，導致入射波與反射波相互疊加，致使部分頻率的波無法傳播，從而產生布拉格散射帶隙。

圖6 基胞示意圖Fig.6 Schematic diagram of basic cells

1.4 有限周期結構傳輸特性

考慮到實際工程結構大多為有限周期結構，這將導致帶隙頻率范圍內某些彈性波的能量衰減不徹底而仍然能透過有限結構。為了更好地研究該管道超結構的實際應用效果，需進一步計算其傳輸特性，常用傳輸系數TL來描述一個結構對振動傳播的隔離能力，如下式:

TL=20×lg(u0/u1)

(17)

式中:u0為傳遞到輸出端的位移;u1為輸入位移。

應用COMSOL軟件建立包含4個元胞結構的有限元模型，在其一端施加不同頻率的軸向位移激勵，在另一端獲得軸向位移響應。圖8給出了管道超結構傳輸特性曲線并與其帶隙分布圖進行了對比。從圖中可以看出，傳輸特性曲線共有兩處明顯的凹陷，其頻率范圍與前述計算得到的前兩階帶隙基本一致。

圖7 基胞帶隙與管道超結構帶隙對比Fig.7 Comparison of the band gap between the basic cell and the pipeline metastructure

圖8 管道超結構傳輸特性曲線Fig.8 Transmission curve of the pipeline metastructure

2 實 驗

為了對比驗證所提出的管道超結構帶隙分布和傳輸特性，本文建立了該結構的傳輸特性測試實驗平臺。

2.1 實驗方案

實驗中，管道超結構由4個元胞構成，變徑凸臺及振子周期排列嵌套在直管上，用彈性繩將管道超結構懸掛在固定支架上，使用力錘在管道一端沿水平方向敲擊，誘發該管道的軸向振動。同時在管道兩端分別布設YD9820電渦流位移傳感器，應用B&K3160-A-042數據采集儀測量輸入與輸出位移，其實驗裝置及結構局部圖如圖9所示。

圖9 管道超結構傳輸特性實驗裝置圖Fig.9 Experimental devices for transmission characteristics of pipeline metastructure

2.2 實驗結果分析

實驗中，分別對1～1 000 Hz和1 000～2 200 Hz兩個頻率范圍進行振動位移響應測試。經過傅里葉變換，將所得到的結果從時域轉換到頻域，并與有限元仿真結果進行對比。圖10分別為管道超結構在兩個頻段的傳輸特性曲線，可以看出，該結構出現了兩處振動明顯衰減的帶隙，其中第一階帶隙出現在160～220 Hz，與數值模擬結果位置接近；第二階帶隙出現在1 900～2 200 Hz，與數值模擬結果1 157～2 080.5 Hz存在一定差異。實驗結果中1 000～1 800 Hz范圍內波的衰減較弱，帶隙并不明顯，其主要原因是第二階帶隙對波的衰減特性較第一階弱，其頻率較高，振幅較小，因此實驗過程中受到干擾因素較多。其次，實驗中管道結構由彈性繩懸空吊起，其實際邊界條件與數值理論模型存在一定差異。同時周期排列的振子質量較大，極易引起管道的彎曲變形，對結構軸向振動產生影響，難以實現嚴格意義上的軸向振動。綜上原因導致實驗結果與數值結果在第二階帶隙范圍處出現一定差異。

圖10 結構傳輸特性曲線Fig.10 Transmission curve of the structure

3 帶隙影響因素討論

通常影響布拉格散射型帶隙的主要因素為晶格結構、尺寸等；而局域共振帶隙則主要強調單個散射體的設計。因此，本節將討論元胞尺寸、凸臺尺寸、橡膠及鋼環厚度等參數對帶隙分布的影響規律。

圖11分別給出了元胞尺寸a和凸臺尺寸a2對結構帶隙的影響分布圖。從圖中可以看出，第一階帶隙以局域共振為主型帶隙，元胞尺寸變化對其影響較小；隨著凸臺長度的增加，其上振子與其他直管段的相對質量比有所降低，帶隙寬度減小。第二階帶隙以布拉格散射為主型帶隙，凸臺長度及其與直管段的相對比值對帶隙起始頻率和帶隙寬度影響較大，隨著凸臺長度增加，凸臺內部傳播的彈性波波長增大，帶隙頻率先降低；當凸臺長度增加至超過直管段時，直管段長度減小將導致在直管段內部傳播的彈性波長減小，帶隙起始頻率出現升高。因而帶隙起始頻率和寬度呈拋物線變化，當凸臺長度增加到約80 cm時，帶隙寬度達到峰值。

圖11 元胞和凸臺尺寸對帶隙的影響Fig.11 Effect of the cell and boss size on band gaps

分別改變局域共振振子中橡膠和鋼環厚度，帶隙分布如圖12所示。可以看出，隨著橡膠厚度的增加，元胞兩階帶隙位置均逐漸降低，帶隙寬度隨橡膠厚度增加而有所減小。鋼環厚度增加降低了第一階帶隙位置，對第二階帶隙無顯著影響。這是由于橡膠和鋼環的尺寸增加，其等效剛度和等效質量也隨之增加，固有頻率降低，導致第一階帶隙頻率降低。

綜上所述，元胞第一階帶隙主要為局域共振型帶隙，凸臺和振子尺寸對其影響較大，元胞尺寸對其影響較小。第二階帶隙主要為布拉格散射型帶隙，該帶隙分布隨元胞和凸臺長度改變而改變。合理設計結構各部分幾何尺寸，可滿足工程中特定頻段同時抑振的需求。

圖12 橡膠和鋼環厚度對帶隙的影響Fig.12 Effect of thickness of rubber and ring on band gaps

4 結 論

本文設計了一種同時包含局域共振型和布拉格散射型帶隙的新型復合帶隙管道超結構構型。分別采用傳遞矩陣法和有限元法計算了該結構的帶隙分布及傳輸特性曲線；搭建了包含4個元胞的管道超結構的實驗平臺，采用力錘敲擊法進行振動測試，并與數值計算結果進行了對比驗證，兩者取得了較好的一致性，得到如下結論：

(1)本文提出的新型管道超結構構型，其能帶分布結合了局域共振型帶隙和布拉格散射型帶隙特點，且第二階帶隙頻率范圍較寬。

(2)該元胞結構的第一階帶隙主要為局域共振型帶隙，凸臺和振子的幾何尺寸對其影響較大，元胞尺寸對其影響較小。其帶隙寬度隨振子寬度的增加而增加，頻率隨鋼環厚度增加而降低。

(3)該元胞結構的第二階帶隙主要為布拉格散射型帶隙，元胞長度、凸臺長度和橡膠厚度對其影響較大，隨著元胞尺寸的增加，其帶隙中心位置逐漸降低。合理設計結構各部分幾何尺寸，可滿足工程中特定頻段同時抑振的需求。