解三角形何去從 隱圓直觀活水來

張國川 任曉紅

創(chuàng)設問題情境方能激發(fā)學生主動參與課堂學習，才能讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地．如何立足直觀想象核心素養(yǎng)的落地來創(chuàng)設問題情境？筆者認為在課堂中采用以問題串的探索形式是不錯的選擇，讓學生在問題的引領下，步步深入主動參與，深刻體會圖形的逐步形成過程．如果教師沒有創(chuàng)設一定的學習情境，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就是一句空話．直觀想象的成功運用是依托圖形的，所以學會構圖才是王道，注重過程性教學，創(chuàng)設合適的學習情境是教學中提升學生數(shù)學素養(yǎng)的關鍵一環(huán)．

同樣地，試題研究和學習過程本質是一致的，都是力求通過解題培育學生的數(shù)學思維．本文借助泉州市質檢試題談談如何通過直觀想象解決三角形問題，當三角形“遇上”圓，解題將變得更加精彩，讓人回味無窮．

爪子型三角形的解三角形問題方法很多，通常采用“鄰補角策略”“算兩次策略”，依據(jù)正余弦定理列方程求解；也可以采用作高、作平行線等手段，利用初等幾何知識求解；亦可借助向量工具采用基底法對向量進行分解，并將向量平方轉化成模長和數(shù)量積問題求解；還可以建立坐標系采用解析法求解等等．本文借助直觀想象核心素養(yǎng)，探討如何“想圖”——“構圖”——“解圖”，實現(xiàn)問題的有效解決．

解后反思 本題構圖的靈感源自題干中的條件“AB=AD=1”，自然聯(lián)想到“圓模型”，搭建起解三角形與圓中定理的聯(lián)系（圓中定理包括：切線長定理、切割線定理、割線定理、相交弦定理等），三角形中的一些線段長度便能很快求出．本題要求的是等腰三角形面積，要求面積只需要求出底邊的長度，利用勾股定理再求高便可解出；此處抓住圓的一個重要性質：直徑所對的圓周角是直角，搭建起直角三角形面積和等腰三角形面積的數(shù)量關系，也能很快求出面積．理論上講，利用正余弦定理解三角形本質是用代數(shù)方法解決幾何問題，可以借助方程思想搭建起邊角之間的等量關系，但有時二元方程對于學生來講并不容易求解，采用平面幾何知識能直觀地從圖形中尋找到隱藏于圖形背后的關系，也符合新課標所倡導的“多思少算”的核心理念．

結束語

本題的實測數(shù)據(jù)結果反饋學生的答題情況并不理想，這是為什么？明明“截長補短法”和“等距旋轉構圓法”的解題策略初中就接觸過了，為何到高三有的同學還不會應用呢？一個原因是部分學生數(shù)學基礎本身就較弱，還有一個很重要的原因是把幾何問題過分代數(shù)化了，不論是“鄰補角策略”，還是“算兩次策略”，本質都是“方程思想”，將所求問題化成二元二次方程或者方程組，最終幾乎都因“消元”錯誤而丟分．代數(shù)二次方程運算再夾雜些本身就抽象的向量分解法，或是三角恒等變換、半角公式、倍角公式，對學生來說具有很大挑戰(zhàn)，況且二次多元方程的消元過程其實并不是那么容易．過程性教學的缺失，運算素養(yǎng)培養(yǎng)的短板是造成這種結果的最根本原因．代數(shù)和幾何本身并不矛盾，但要善于取舍，要在代數(shù)運算的黑夜里尋找亮光，在幾何花海中享受代數(shù)運算點綴下的精彩．

（本文系泉州市教育科學“十四五”規(guī)劃（第一批）立項課題“基于直觀想象核心素養(yǎng)下的中學數(shù)學課堂問題導向模式教學實證研究”（課題編號：QG1451-042）、福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度科研課題“普通高中數(shù)學課程標準（2017版）視域下的初中函數(shù)教學研究”（課題編號：FJJKXB20-1007）、福建省“十三五”第二批中學數(shù)學學科教學帶頭人培養(yǎng)對象科研課題“高中生數(shù)學直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略研究”（課題編號：DTRSX2019017）的階段性研究成果）