基于RPR/RP+2R+P的鋁合金結構件加工機器人設計＊

劉毅 豐宗強 賈新裴 姚建濤 趙永生

（燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，河北 秦皇島 066004）

新能源汽車車身由大量鋁合金結構件焊接而成，其加工曲面復雜、尺寸大，加工過程易造成多種形態缺陷，對加工裝備工作空間、進給速度和定位精度等指標提出極高要求[1-2]。

混聯機床兼顧并聯機構剛度高、定位精度高、承載能力強、結構簡單緊湊、易于實現高速運動[3-5]、與串聯機構工作空間大和易于控制的優勢，有利于提高末端操作件靈活度[6-7]。NeosRobotics公司推出Tricept五自由度混聯機床[8-11]，由并聯模塊和串聯模塊構成，機床剛度大，工作空間大，自由度較多且便于控制，被廣泛應用于先進復合材料的加工、航空航天等多個前沿領域。Exechon公司研制了Exechon混聯機床[12-15]，并聯模塊由定平臺、動平臺以及3條分支臂構成。德國DS Technologie公司研發了以Sprint Z3為核心的新型五自由度混聯機床[16]。東北大學[17]研制出了我國第一臺五自由度混聯機床DSX-50，并且提出了一種三桿包含五自由度的混聯機床[18]。哈爾濱量具刀具有限公司結合引進的Exechon混聯機床專利技術開發了新型五自由度混聯機床LINKS-EXE7100[19]。哈爾濱工業大學提出了一種四自由度并聯機構，通過兩個TPR支鏈和兩個TPS支鏈連接定平臺和動平臺。李秦川等人設計了一種新型五自由度混聯機器人，以2UPR/RPU[20]并聯模塊構型為基礎，實現動平臺的2R1T三自由度，在動平臺末端安裝AC擺頭，實現整機五軸聯動。黃田教授團隊[21-22]提出了一種可重構五自由度混聯機器人TriMule，改進了Tricept機構構型，相比于Tricept機構，綜合性能顯著提升。曲興田等[23]開發了基于P+3-RPS+P五自由度混聯葉片磨拋機床。燕山大學趙永生教授團隊[24]設計了基于2RPU/UPR機構的五自由度加工機床。

本文設計了基于RPR/RP構型的具有大型復雜曲面加工能力的新型五自由度混聯機器人。分析混聯機器人自由度，求解運動學正反解以及速度雅克比矩陣，建立機器人起始位置與刀尖點的映射關系。求解工作空間，優化構型，尺寸優化。利用Ansys Workbench軟件分析五自由度混聯加工機器人整機及各零部件的強度和剛度，對薄弱部分進行結構優化。對機器人整體進行模態計算，得到了前六階樣機的固有頻率和振型特征，綜合性評價其頻率特性。

1 五自由度混聯機器人結構設計

1.1 混聯機器人整機結構設計

新型五自由度混聯加工機器人的設計目標是開發應用于新能源汽車鋁合金部件復雜曲面加工的輕型加工機器人，其設計指標如表1所示。

表1 混聯機器人設計指標

如圖1、圖2所示，混聯加工機器人整機采用模塊化的設計理念，包括平面并聯模塊、串聯模塊、支撐模塊、工作臺模塊以及輔助模塊。平面并聯模塊由第一支鏈、第二支鏈、定平臺、動平臺、R副關節以及P副關節構成；串聯模塊由BC擺頭、電主軸、刀柄、刀具、滾珠絲桿、導軌以及滑塊構成。平面并聯模塊與串聯模塊通過動平臺以及滾珠絲桿連接，共同構成混聯模塊，進而實現了刀尖點五自由度的運動；支撐模塊由支撐立柱、立柱傳動模塊、立柱滑輪組、重錘和防護罩構成，將平面并聯模塊與支撐模塊通過絲桿導軌和重錘滑輪組相連，進而實現平面并聯模塊在豎直導軌方向的移動；工作臺模塊由工作臺和基座構成，工作臺為轉臺形式，用以安裝回轉類型夾具，通過夾具的旋轉帶動工件，進而實現刀具對工件的旋轉加工；輔助模塊包括排屑車、電控柜、水冷機、吸塵器、液壓站和水箱部件。

圖1 五自由度混聯加工機器人整機結構圖

圖2 平面并聯模塊結構圖

1.2 機構構型分析

如圖3所示，針對并聯模塊，通過螺旋理論計算可得，第一支鏈模塊（RPR分支）的運動螺旋系見公式

圖3 混聯機器人構型RPR/RP+2R

式中：a、b為第一支鏈移動副（P1）軸線的方向余弦；c、d為第一支鏈轉動副（R3）線距矢量坐標。

第一支鏈模塊的約束反螺旋為

第二支鏈模塊（RP分支）的運動螺旋系為

第二支鏈模塊的約束反螺旋為

式中：k、h第二支鏈移動副（P2）位置坐標；e第二支鏈轉動副（R2）線距矢量坐標。

則，并聯模塊的自由度按照修正的G-K公式

式中：M為并聯機構的自由度；d為機構的階；n為機構中包括機架總的活動構件的數目；g為運動副的數目；fi為第i個運動副的自由度數目；ν為機構的過約束。

由于兩分支存在3個方向上相同的約束力以及約束力偶，即約束螺旋線性相關。所以在3個方向上分別存在一個過約束，共有3個過約束。因此，五自由度混聯機器人并聯模塊共有1R1T 2個自由度。

2 運動學分析

2.1 位置反解分析

在RPR/RP并聯機構平臺上建立如圖4所示的坐標系，坐標原點及各運動副中心點的位置坐標為式（6）。

圖4 并聯模塊位置反解坐標系示意圖

RPR/RP并聯機構動平臺首先繞定平臺Y軸轉動，然后沿平面內某一方向 (p0q)移 動，λ表示動平臺沿(p0q) 方向移動的距離，θ表示動平臺繞Y軸轉過的角度。

坐標變換公式為

由式（7）可得到并聯機構動平臺運動副在定坐標系中的向量坐標表達式為

通過旋轉鉸鏈連接的分支1的驅動尺寸為

分支2的驅動尺寸為

虛擬分支的驅動尺寸為

由圖4可知，第二支鏈模塊與動平臺固連處的角度 φ為定值。因此，由相關位置坐標點

因此RP分支和動平臺的向量表示為

兩向量夾角為

得到建立了p,q,θ三者之間的約束關系式（18）。

將并聯模塊作為整體的局部關節，考慮與擺頭的內部關聯，進行分析運算。

建立如圖5所示各關節構件坐標系，刀尖點的向量坐標F(xF,yF,zF)T、刀柄末端刀尖點的單位方向向量S→ 以及刀柄的回轉中心點到刀尖點的距離f為已知參數，可得到刀柄的回轉中心點坐標式

圖5 混聯模塊位置反解示意圖

由式（19）進行坐標變換，將混聯機構三維空間內運動學反解運算轉換到二維平面空間。

則動平臺坐標系下相關點坐標為

旋轉變換矩陣 [T′]和 位移矩陣P′為

根據幾何向量關系

由于BC軸線交點G與動平臺固連，該點只在位置坐標方面與動平臺存在差異，姿態變化與動平臺一致，可通過G點建立刀尖點F與動平臺的關系式（28）。

桿長與刀尖點F的關系式為

反解出的關節變量還應該包括BC擺頭在空間上的回轉角度，如圖6所示。

圖6 BC擺頭回轉方式簡圖

θ1、θ2為混聯機構運動學反解的回轉驅動角度。由于BC擺頭僅存在兩個關節，利用刀尖末端的坐標即可求得。

2.2 位置正解分析

根據圖7所示幾何關系，計算某一中間變量l5，作為并聯模塊的虛擬分支桿。

圖7 并聯模塊位置正解坐標系示意圖

通過虛擬分支桿，分別利用三角形幾何關系以及余弦定理基本公式即可求得動平臺兩端點a1、a2坐標。

根據a1點和a2點坐標，由中點坐標公式得到動平臺中心位置點坐標。

通過a1點和a2點在基坐標系下的正切值求得動平臺的姿態角ξ。

RPR/RP并聯機構位置正解，由于分支數量較少，采用幾何法求解即可得到解析表達式。

分別在并聯模塊以及串聯擺頭處建立如圖8所示坐標系，構建相應的變換矩陣，進而得到末端刀尖點的位姿相對于定平臺基坐標系的變化矩陣，式（40）。

圖8 混聯模塊位置正解坐標系示意圖

其中，p1、q1分別表示動平臺中心點相對于基坐標系的位置坐標。

X3-Y3-Z3固定于串聯擺頭C軸位置，原點建立在擺頭與動平臺的交點處，Z3方向與轉軸軸向一致，X3指向擺頭兩軸線所處平面的法線方向。由于BC擺頭結構的特殊性，在動平臺運動過程中，擺頭C軸始終與并聯模塊處于同一平面內。因此在運動的起始階段，X3方向與動平臺平行。X4-Y4-Z4固定于串聯擺頭B軸位置，原點建立在擺頭兩軸軸線交點處，Z4方向與轉軸軸向一致，為減少運動學正解模型的結構參數，X4方向與X3方向相同。串聯關節的D-H參數如表2所示。

表2 D-H參數表

串聯擺頭旋轉變換矩陣為式（42）。

將得到的坐標變換矩陣代入式（40）中，即可得到式中：

2.3 五自由度混聯機器人速度分析

在位移分析的基礎上，定義速度雅克比矩陣，建立末端執行器的操作速度和各個環節速度之間的速度映射關系，如圖9所示。

圖9 速度雅可比矩陣求解示意圖

采用速度矢量投影法分析平面并聯機構分支與動平臺的速度關系。在進行速度分析時同時考慮動平臺的移動速度和回轉速度。由于分支桿只存在線性驅動，因此將鉸鏈點的速度投影到分支桿上，得到分支桿的速度分量。

式中：Vsi鉸鏈點a1的速度；V動平臺中心點OB的速度；ω動平臺的角速度；ri鉸鏈點a1相對于動平臺中心的矢徑；ni分支桿li的單位方向矢量；vi分支桿長的變化速率。

將式（45）代入式（44）中得到

對于2 支鏈，有

簡記為

式中：[J]即 速度雅可比矩陣Jp∈R2×2。

如圖10所示，由于串聯BC擺頭有兩個旋轉關節，末端刀尖點的微分運動矢量為

圖10 BC擺頭速度分析示意圖

末端刀尖點上產生的線速度為

將式（50）和式（51）進行線性整合

各個關節與末端執行器的速度關系表達式為:

將末端刀尖點的線速度v進行單獨分析，結合兩模塊雅可比矩陣結果可得

其中：Jr(3×2)a表示串聯模塊雅可比矩陣的前3 行。

將Jr(3×2)a和Jp(2×2)代入式（53），得:

同理，將角速度 ω進行單獨分析，結合兩模塊雅可比矩陣結果可得

其中：Jr(3×2)b表示串聯模塊雅可比矩陣的后3 行。將其改寫成矩陣形式為

Jr(3×2)b代入式（57），得

五自由度混聯機器人速度雅可比矩陣為

3 基于工作空間與分支受力的尺度優化

以五自由度混聯機器人構型與位置正反解為理論基礎，以長軸600 mm，短軸300 mm的橢圓形加工工作空間內不發生干涉為前提，以分支所受驅動力最小為標準，以實現結構“輕量化”為目的，對混聯機器人參數化模型進行運動學仿真，并對得到的驅動力曲線采用多種方法進行分析、處理、擬合，得到最優結構尺寸。

3.1 混聯機器人工作空間求解

在實際的加工工作過程中，理論所需要的工作空間僅為平面橢圓形結構，豎直方向的加工工作空間可以通過模塊整體的平移進行補償。由空間點陣搜索法可得五自由度的混聯機器人并聯模塊工作空間如圖11所示。兩自由度串聯擺頭的工作空間，如圖12所示。

圖11 并聯機器人工作空間

由圖12可知，串聯擺頭模塊的工作空間為空間橢球形狀，串聯模塊工作空間的俯視圖，如圖13所示。

圖12 串聯機器人工作空間

圖13 串聯模塊工作空間俯視圖

在得到并聯以及串聯模塊平面工作空間的基礎上，通過邊界點的數據累加即可得到混聯模塊的整體的工作區域，如圖14所示。

圖14 混聯機器人工作空間

3.2 混聯機器人并聯模塊尺度優化設計

由于分支所受驅動力受到工作空間以及分支結構尺寸兩方面影響，通過優化構型的結構尺寸參數來優化兩分支的驅動力。根據五自由度混聯機器人結構構型，創建混聯機器人參數化虛擬樣機。如圖15所示，混聯機器人的定平臺裝有移動滑軌，采用豎直放置方式，混聯模塊采用水平布局，定平臺橫向尺寸為L1，動平臺橫向尺寸為L2，以實現刀尖點位置在橢圓形位置的加工工作空間。由于混聯機器人整體在豎直方向存在移動自由度，該自由度主要為了實現刀尖點對于長直復雜類工件進行豎直方向的加工。因此，該方向的移動并不會影響到水平面內混聯模塊的工作，在搭建虛擬樣機以及進行優化求解時只需在并聯模塊的工作平面進行分析。

圖15 RPR/RP五自由度混聯機器人構型簡圖

通過將定平臺尺寸L1∈[740,860]mm以及動平臺尺寸L2∈[400,520]mm離散化，二者尺寸離散化后的數據間隔均為40 mm。并且根據設計指標預設分支桿長l∈[580,720]mm，并將離散化后的數據整理記錄，分別測量五自由度混聯機器人參數化模型在這16組數據下的分支受力情況，并根據圖線測量各種情況下分支受力的極限數值，以分支驅動力為優化指標，找到驅動力最小的一組最優解。

通過Adams軟件建立混聯加工機器人參數化虛擬樣機模型，在刀尖點處分別沿X方向和Y方向施加1 000 N外載荷，并給定第一組參數值為離散數值的起始數據點。將混聯模塊整體均布置與同一平面，其工作區域為機器人上方以600 mm為長軸、300 mm為短軸的橢圓形區域。介于此工作空間，對BC擺頭刀尖點施加一般點驅動，在平面的相互垂直的兩個方向，驅動函數為橢圓的參數方程。通過驅動刀尖點，將預處理完成的虛擬樣機進行仿真模擬，可以測得兩分支移動副隨時間變化的位移曲線，然后將兩條位移曲線分別作為分支驅動函數添加到兩分支的平移驅動中，進行運動仿真。測得兩個分支的運動所需驅動力并得到驅動力隨時間變化的曲線。將各個參考點設置為設計變量，通過調整設計變量參數即可快速建立不同結構尺寸的模型，以實現如表3所示的16組數據的仿真，得到各組驅動力的變化曲線。

表3 混聯機構結構參數表

以動平臺尺寸L2為尺寸變化的基準，分別畫出在同一個動平臺尺寸L2下，不同的定平臺尺寸L1的兩分支受力曲線圖，如圖16所示。

通過對以上分支受力曲線圖的分析，可以看出：（1）不論是RPR分支還是RP分支，其所受驅動力變化曲線均呈現上下波動變化，波動周期完全一致。并且波峰和波谷交替出現，呈現出二者極值相互對應的一種數學形式。（2）在仿真過程中，圖像的重疊度較高，圖線的升降幾乎完全一致，所以極值位置就成為了分析驅動力大小的有效數據。（3）不論動平臺和定平臺取哪種尺寸組合，兩分支所受驅動力在一個周期內的極大值都近似相等，而極小值則存在差異。除此之外，RP分支的幅值變化范圍要比RPR分支更大，不同定平臺尺寸下的RP分支受力差異也更加明顯。

將RP分支極小值位置驅動力進行比較，均相差接近1 000 N，而圖線整體變化過程以及幅值位置均相差不大，所以便可根據圖線的最低點位置進行分支驅動力最小值的選取。經比較可知：當L1=740 mm，L2=440 mm時，RP分支存在驅動力最小值。

對于RPR分支，在不同的模型尺寸下，其所受驅動力數值在整體變化過程中均十分接近，不容易直接從上圖直接判定分支驅動力的最小值。但利用上述方法，從圖16中可以判斷出當L1=740 mm時，各個位置的RPR分支存在最小值的情況，所以這里將這4條曲線提取出來進行分析。

圖16 兩分支受力分析曲線

提取表4中L1=740 mm的4條曲線一個周期內的數據并畫出圖像，通過整合可以看出極大值最高的圖線在極小值位置成為了最低點，如圖17所示。因此，從整體上還是不容易判斷對應4個L2尺寸下受力最小的構型，需要將此受力曲線上數據進行進一步處理。

圖17 不同動平臺尺寸下的數據擬合圖像

表4 L1=740 mm參數下的曲線數據

由于圖線的數據點存在起伏波動，在極值位置及其變化過程中都不能很好地反映正確的數量關系。所以這里首先采用平均值擬合的方法，根據平均值大小來觀測數據整體水平，如圖18所示。

圖18 平均值擬合曲線

根據最終擬合結果可以看出，當L1=740 mm，L2=440 mm時，RPR分支取得最小驅動力。但是采用這種硬性擬合的方式操作數據使得最終結論存在很大的隨機性和偶然性，甚至在某些曲線點位置不能通過平均變化來很好地表示。

采用基于最小二乘法的線性回歸算法進行數據處理，通過將四組數據進行線性擬合，比較擬合直線所反映受力的整體大小，進而找出最優解。

假設在總體中，因變量y與自變量x的統計關系滿足一元線性正態分布，即可通過線性回歸方法，對給定的xi都有yi=axi+b+εi，則a和b的估計值可通過下面公式得到

圖19 線性回歸擬合曲線

根據線性回歸方法得到的擬合曲線可以看出，L2=440 mm的直線位于所有直線的最下方，所以該直線下的尺寸構型可以使RPR分支驅動力最小。將兩個方法得到的結論進行比對，均可得到當L1=740 mm，L2=440 mm時RPR分支桿所受驅動力最小。通過比較發現，該結果與RP分支分析結果完全一致，因此，定平臺尺寸L1=740 mm，動平臺L2=440 mm為混聯構型的最優尺寸。

4 混聯機器人剛度分析與結構優化

通過對局部結構優化之后的整機模型進行有限元仿真，對其受到的最大應力以及形變量進行計算，如圖20所示。在空間3個方向各添加1 000 N的外載荷。

圖20 混聯機器人應力分析云圖

如圖21所示，對BC擺頭末端徑向施加1000N 的外載荷，機構最大變形為29.102 μm，通過計算可得到剛度為34.36 N/μm；對BC擺頭末端側向施加 1000N的外載荷，機構最大變形為37.382 μm，通過計算可得到剛度為29.432 N/μm；對BC擺頭末端軸向施加 1000N的外載荷，機構最大變形為19.207 μm，通過計算可得到剛度為52.064 N/μm。

圖21 整機變形

由Ansys Workbench軟件，對五自由度加工機床進行模態分析，求解出機床的前六階固有頻率以及振型圖。默認混聯機器人當前姿態為初始姿態，給定兩分支絲杠以及豎直移動絲杠材料為GCr15，其他部件材料均為Q235，將支撐立柱設置為固定位移約束，忽略其他外部載荷。提取前六階振型，計算其自由模態，結果如圖22所示。

圖22 機器人整機模態分析

分析圖22可知，五自由度混聯機器人的一階振型表現為并聯兩分支以及串聯擺頭沿豎直正方向的擺動；二階振型表現為RPR分支沿水平X軸正方向的擺動，RP分支表現為沿水平X軸反方向的擺動，而串聯擺頭沒有明顯擺動；三階振型表現為兩分支和串聯擺頭沿水平面X軸方向的擺動；四階振型表現為RPR分支沿豎直Y軸反方向的擺動，RP分支表現為沿豎直Y軸正方向的擺動；五階振型表現形式與四階振型相反，RPR分支沿豎直Y軸正方向的擺動，RP分支表現為沿豎直Y軸反方向的擺動；六階振型表現為并聯兩分支與串聯擺頭沿水平Z軸反方向的擺動。各階振動頻率如表5所示。

表5 振動頻率表

五自由度混聯機器人整機隨著振型階次的增大，振動幅度和振動頻率均隨之增大。因此，在機器人正常工作時，應避開上述振動頻率，以免引起共振，進而降低混聯機床整體的加工精度。

5 結語

應用于鋁合金輕薄件加工，創新性地提出了一種基于平面并聯的五自由度混聯機器人構型，與傳統五軸聯動混聯加工機床相比，構型簡單，分支數量少，整體重量小，占地面積小。進而對新型混聯機器人進行了系統的理論分析和研究，取得如下成果：

（1）面向鋁合金結構件的精密加工，提出一種新型基于平面并聯的混聯機器人構型，在驗證其剛度滿足基本要求的前提下，將此構型首次應用于混聯機床加工工作。該混聯機床能夠替代傳統多分支機器人，實現對輕薄類結構件的加工，既能保證加工精度，又降低制造成本，便于控制。

（2）按照“輕量化”的原則，完成了五自由度混聯機器人的參數化建模。以分支驅動力最小為指標，以長軸600 mm，短軸300 mm的橢圓的加工空間是否存在不合理干涉為限定條件。對得到的驅動力曲線圖采用不同的方法進行分析、處理、擬合，定量分析混聯構件各個尺寸參數對分支驅動力的影響，有效建立了構型尺寸、工作空間與兩分支驅動力之間的關系，得到了優化結構尺寸：定平臺橫向尺寸740 mm，動平臺橫向尺寸440 mm。

由于時間原因存在以下任務有待進一步完善和解決：

（1）五自由度混聯機器人樣機的研制、裝配與調試?；炻摍C器人樣機各個模塊均已加工完成，目前正處在模塊搭接與裝配階段，后續會進一步進行樣機的調試。

（2）對五自由度混聯機器人進行標定和控制策略的研究。以混聯機器人樣機為基礎，對整機關鍵部位進行標定；搭建控制平臺，實現對機器人整體加工過程的系統控制。[1]解洪權.新能源汽車高強韌鋁合金結構件輕量化關鍵技術開發與產業化[C].2020重慶市鑄造年會論文集.重慶鑄造行業協會、重慶市機械工程學會鑄造分會,2020: 6-11.