基于主成分回歸法的Johnson-Coo k損傷準則的漸進成形破裂預測＊

王佰超 許虎 張澧桐 張洪明 王慧冬

（①長春理工大學機電工程學院，吉林 長春 130022；②內蒙古第一機械集團股份有限公司，內蒙古 包頭 014000）

板材漸進成形工藝[1]（以下簡稱漸進成形工藝）作為一種柔性無模板材成形新技術，成形軌跡可以提前編寫，采用“分層制造”想法，對模具沒有依賴性，復雜曲面零件也可以通過漸進成形進行加工。柔性板材漸進成形工藝類似于3D打印，均為復雜三維模型在高度方向離散并分解為一系列二維斷層面，分層進行加工，最終實現目標形狀的制造。漸進成形的另外一個特點是柔性化，成形軌跡可預先編制,可方便實現成形形狀的改變，使成形工藝更加靈活。另外，成形過程易于實現是自動化甚至智能化，可有效融合在線監測技術實現成形質量的閉環控制。漸進成形因其靈活性高，開發時間短，經濟成本低等特點，在多品種、小批量生產中具有巨大優勢。圖1為漸進成形原理圖。

圖1 漸進成形原理圖

金屬板材漸進成形作為一種先進的加工工藝，加工中難免出現一些不可避免的缺陷：零件成形失效，過度減薄或者發生破裂；成形件表面質量欠佳，如大尺度波紋度和材料沉積；零件幾何精度低，如回彈、下沉等現象[2-3]。

破裂是指在漸進成形過程中隨著板材表面積的增大，厚度不斷減薄直至不能承受成形力的現象。這是因為在單點工具頭的加工過程中，工具頭與板材的接觸類似于逐點接觸，板材上與工具頭接觸的點應力集中明顯，其中包括兩向拉應力和一向壓應力，尤其在垂直進給位置時還受到很大的沖擊載荷，因此在板材加工的后期很容易產生破裂缺陷。如圖2為成形角為71°時板料破裂圖，破裂高度為-12.84 mm。針對板材成形發生破裂的處理手段，可以根據以下兩個層面上解決：

圖2 板料破裂圖

（1）降低刀具在加工過程中，板材成形區的進給量，盡量在0.1～2 mm。

（2）板材應選取塑性能力強，比如抗拉強度，屈服強度都要比一般材料要高；延展性好的材料，可以擴大所需變形區，從而減少成形力的集中。

戴聰聰[4]以韌性值為評價指標，得出了雙點漸進成形工藝參數對板材破裂的影響規律，得出以下結論：成形角影響最大，其次為板厚、刀具直徑和進給量，進給速度影響最小。不過試驗數據較少，不能完全證實該結論的成立。利用Oyane斷裂準則，楊琴[5]根據應變率效應，計算出鋁合金材料在破裂過程中的材料參數并且總結出應用于漸進成形鋁合金材料的破裂準則。但提出的韌性破裂準則僅對圓錐臺進行了應用，對于大型復雜零件需要進一步研究。朱浩[6]通過對鋁合金在剪切力作用下的斷裂行為及力學性能進行研究，發現隨著剪切應力速率的增加，剪切斷裂應變會降低。而剪切應變速率對鋁合金的剪切強度幾乎沒有影響。同時，還得出結論，在剪切應力的作用下，微裂紋的產生和擴大基本上是完成的。但是未針對車用鋁合金進行撞擊等實驗，僅僅通過拉伸試驗和有限元模擬來確定鋁合金的損傷和斷裂機制。李軍超等[7]在數值模擬過程中，采用了均勻分布策略和正反轉交替的處理方法，有效地避免了G代碼處理軌跡導致的板料斷裂等不穩定現象。但對摩擦機理的研究不夠深入，需要找到更好的潤滑方法。Maria B Silva[8-9]等討論了單點漸進成形過程中刀具頭直徑等工藝參數對AA1050-H111鋁板成形極限和斷裂的影響。此外，對單點漸進成形過程中頸縮現象的發生也作了進一步說明。比較了單點和雙點漸進零件成形精度和成形的其他性能。但是研究對象主要是方錐臺和圓錐臺件等之類的簡單軸對稱制件，需要對復雜異形件進行更多研究。Duc Toan Nguyen[10]等結合混合硬化法則和Oyane[11]韌性斷裂準則利用有限元仿真尋找到了在對鎂合金材料的韌性斷裂影響因子中，刀具半徑和進給量的增大，板料的成形極限也隨著降低，兩者成反比，成形極限預測結果卻以混合硬化法則較為精確。但是數值模擬的過程復雜，時間過長，需要開發一套適用于板材多點復合漸進成形的專用軟件。

1 主成分分析回歸原理與步驟

1.1 主成分分析回歸法的原理

主成分分析[12]（principal component analysis）是多元統計分析的重要降維和分析評價方法；多元分析（multivariate analyses）作為一種多變量統計分析方法在數理統計領域有著廣泛應用。它主要使用所有的自變量運行主成分分析，對自變量進行降維，獲得一組互不相關（正交）的主成分，這些主成分承載了原始變量的方差。所以在建立線性回歸方程時無需考慮各個參數之間的交互作用，它的建立是依靠矩陣相同參數對應方程的參數，因此不會出現參數相乘或者平方的情況。

主成分分析（PCA）的要旨是主成份分析的目的是用盡量少的主成份代表眾多的變量，因此它們所包含的信息量不應該損失太多。應用這一原理可以從大量數據（如溫度、濕度等）中提取出與之相關程度高的信息，從而達到簡化數據處理過程和提高預測精度的目的。用這種方法進行了預報試驗。這說明主成分分析其實就是降維方法之一。

1.2 主成分分析回歸法的步驟

（1）對原始數據建立矩陣，將原始數據標準化，假定主成分分析指標變量假定主成分分析指標變量（漸進成形樣品）有n個，每個指標變量都有P個主要影響因子，將原始數據轉化成xnp的矩陣，見式（1）。

（2）標準化處理。

對于各個因素的單位的不同，需進行統一處理，所以將各個因素指標進行標準化，如式（2）。

（3）計算相關系數矩陣，如式（3）。

式中：rii=1,rij=rji,rij就是第i項指標和第j項指標之間的相關系數，見式（4）。

（4）計算特征值與特征向量。

①計算相關系數矩陣的特征值 λ1≥λ2≥···≥λP≥0。

②計算出對應特征值的特征向量u1,u2,···,uP。

（5）主成分指標的確定。計算特征值λi(i=1,2,···,p)的信息貢獻率及累積貢獻率。

（6）線性回歸方程的建立。已知主成分指標變量條件下，將以上主成分指標設出線性回歸，見式（5）。

根據式（5）計算出包含Z1,Z2,···,Zm的線性回歸方程，代入主成分式子，可得出關于X1,X2,X3,···,Xp的線性回歸方程如式（6）。

1.3 Johnson-Cook本構模型

Johnson-Cook本構模型[13]可以描述金屬在變形量大，應變速率高，溫度高的條件下的塑性變形行為。該本構模型定義的等效斷裂應力為：

式（7）顯示了金屬的流變應力與應變、應變速率和溫度之間的關系。其中：σ為非零應變率時金屬的屈服應力；A為初始屈服應力；B為硬化常數；ε為等效塑性應變；n為硬化指數；C為應變率常數；ε˙ 為應變速率；T*為對同系溫度；m為熱軟化指數。

Johnson-Cook本構模型可以與漸進性損傷和失效模型聯合使用，來指定不同的損傷初始準則和損傷演化規律，來允許材料剛度漸進退化并從網格中去除單元，即可以顯示出破裂的現象。

1.4 Johnson-Cook損傷準則

Johnson-Cook損傷準則[14]是韌性準則的特殊情況。Johson G.R等[15]提出一種動態失效模型（Johson-Cook本構模型），它以單元積分點等效塑性應變值為依據而創建出來的。假定相關性是分離的并具有以下形式：

式中：σ*=p/σeff=-σm/σeff=-Rσ，p為壓應力，σeff為Mises應力，Rσ為應力三軸度；ε˙*=ε˙/ε˙0，ε˙是塑性應變率，ε˙0為參考應變率，通常為 1s-1；T*是無量綱溫度；D1～D5是在轉變溫度或其之下測得的失效參數。因為大部分材料隨著壓力與偏壓力之比的增加，其 εf增加，所以上述表達式的D3通常采用正值。

Johnson-Cook動態失效模型是具有硬化規律和率相關分析形式的Mises塑性模型的一個特殊種類。它適用于許多材料，包括絕大部分金屬的高應變率變形。同時可以在Abaqus/Explicit中與Johnson-Cook動態失效模型聯合使用。而且Johnson-Cook動態失效模型提供兩種失效選擇，包括作為結構撕裂或剝開的結果從網格中去除單元。漸進性損傷模型允許材料剛度的平滑退化，以使得它們適用于準靜態和動態兩種情況，這對于研究漸進成形的板材破裂是極大的優勢。

2 材料參數和實驗研究

2.1 鋁合金材料參數

本實驗選用6061AL，鋁合金屬于可加工性好、焊接性、成形塑性和屈服強度的熱處理強化合金。退火后仍能保持一定的可操作性，表1是其材料參 數。

表1 6061AL材料參數

由朱浩等人的實驗結果知AL6061的Johnson-Cook本構模型為：A=250MPa，B=265.94 MPa，n=0.32，C=0.002，m=0，D1=0.299，D2=1.496 5，D3=3.32，D4=D5=0。

2.2 正交實驗設計

本文選用刀具直徑、層間距、成形角、板料厚度、成形高度和制件尺寸作為6個試驗因素，每個因素選取3個水平如表2所示，選取破裂高度目標參數，設計6因素3水平的L18(36)正交試驗，其試驗方案及結果如表3所示，圖3為板料加工的工藝參 數示意圖。

圖3 工藝參數示意圖

表2 漸進成形試驗因素水平表

2.3 漸進成形實驗設備

漸進成形設備是實現漸進成形過程的關鍵，由于漸進成形力相對于傳統沖壓成形所需的成形力要小很多，這樣就使得該類工藝的成形設備比較小巧，而且容易自主研發制造。本文采用自主研發的漸進成形設備來

對本課題進行研究，該設備為CNC六自由度數控漸進成形設備，該機床在工作時，工作臺不會移動，以并聯機構的運動來實現在XYZ方向的運動，各軸運動指令主要靠計算機數控加工模擬軟件傳輸數控加工代碼來實現，具體如圖4所示。

圖4 漸進成形實驗設備

3 主回歸方程的建立

在漸進成形過程中，板料的破裂時常發生，而影響破裂的因素有很多，例如：刀具直徑、層間距、成形角、板料厚度、板料材質、刀具運動軌跡、成形高度、刀具轉速和制件尺寸等。選取6個關鍵工藝參數因素來探索板材破裂深度：刀具直徑、層間距、成形角、板料厚度、成形高度和制件尺寸。表3為板材破裂的影響因素表。

表3 板料破裂的影響因素表

3.1 建立主回歸方程

對于上述18個工作件所選取的6個指標分別依次確定為x1～x6，將賦予數據的矩陣進行標準化處理。為了驗證主成分回歸法對預測板料破裂高度具有可靠性，將前16個工作件的數據作為分析數據，將后17和18兩個工作件數據作為方程結果的證明。設x1～x6構成的矩陣為矩陣A，如公式（10）。

第一步：使用SPSS統計學軟件對式（10）作標準化處理，獲得標準化矩陣B，如式（11）。設～(矩陣B)為標準化處理的6個指標。

第三步：再次運用SPSS數據分析軟件對相關系數矩陣C進行特征向量與特征值計算，設該矩陣為矩陣D，如式（13）。

第四步：確定主成分，如式（14）。

基于已知特征向量及特征值，計算主成分貢獻率及累計貢獻率，如表4。

表4 主成分特征值和貢獻率

觀察表4可知，前4個主成分F1～F4特征值的累計貢獻率超過85%，達到99.341 6%，由上文可知，主成分分析的成立的標準(累計貢獻率＞85%)已滿足，取這4個主成分，建立線性組合如式（15）。

根據式（15），通過判斷主成分對應的變量系數的絕對值的大小對比，來決定工藝參數因素對板材破裂高度的影響重要性。由此可知，x1、x2、x4和x5可以被看作F1的變量，即反映了刀具直徑，層間距，板料厚度和成形高度對板料破裂高度的影響；同理，x3可以被看作F3的變量，體現出成形角對板料破裂高度的影響；而制件尺寸對板料破裂高度的影響則需要通過觀察x6。表5為F1、F2、F3和F4的得分。取前4個主成分建立回歸方程（式（16））。

表5 主成分分布表

采用最小二乘估計可得式（17）。

將式（15）數據代入式（17）可得到式（18），式（18）即為原自變量的回歸方程系數；再把標準化之后的數據轉換成初始數據，表6為初始數據的回歸方程系數。解得線性回歸方程式如式（19）。

表6 原始數據回歸系數

3.2 回歸模型檢驗分析

3.2.1 回歸顯著性檢驗

假設H0線性關系不顯著，根據公式（20）計算出統計量F，將回歸離差平方和(SSR)和剩余離差平方和(SSE)進行比較，見式（20）；確定顯著性水平α，再通過分子1和分母n-2的自由度找出臨界值Fα，最后判斷F與Fα的大小，如果F＞Fα，則拒絕H0，反之接受H0。

根據步驟確定α=0.05，檢驗統計量F可通過MATLAB軟件計算出為42.453 8，則F＞Fα（拒絕假設H0），表示回歸方程顯著且回歸模型成立。

3.2.2 回歸系數顯著性檢驗

提出假設H0：β1=0（沒有線性關系）或者H0：β1≠0（有線性關系）；接著計算檢驗的統計量t如式（21）。最后根據顯著性水平α判斷 |t|與tα/2的大小，如果|t|＞tα/2，表示拒絕H0，反之表示接受H0。

由上述檢驗可知α=0.05，用MATLAB數據分析軟件得到的xi對y的線性作用結果見表7。由表7可知，顯著性都是0，因此xi對y的線性作用具有顯著性且成立。

表7 xi對y的線性作用

4 漸進成形破裂高度

4.1 主成分分析回歸模型

根據以上回歸模型的檢驗分析，已經確定了回歸方程模型的準確性。將最后需要驗證工作件17與18的刀具（直徑）和板料（成形角、成形高度、厚度、制件尺寸、層間距）的量化指標代入回歸方程，可以得到預測的板料破裂高度，將其與實際值相對比，相對誤差見表8。

表8 實測值與預測值對比

4.2 線性回歸對比

針對式（19）的驗證，采取另一種方式：利用Minitab求出線性回歸方程進行對比。將16組數據導入Minitab并回歸分析中使用逐步法可算出式（22）。

再將工作件17和18的參數代入可計算得到破裂值分別為-5.390 4 mm和1.352 7 mm?？梢钥闯鲈摲匠滩环洗藢嶋H破裂值，并且方程中舍棄了成形角和板厚這兩個參數，故利用主成分回歸分析更符合實際。

4.3 結果分析

主成分分析的要領在于從數據中抽提到的主成份相當于對于數據的一種濃縮，得到的主成份往往綜合了多個變量的信息，因此可以用于進行綜合評價。破裂高度為板材破裂最低處和板材起始位置的距離。經過測量，得到工作件17與工作件18的破裂高度分別為-11.165 5 mm與-10.151 3 mm，其應力圖結果如圖5所示，圖6則顯示為兩工作件的破裂高度。又根據式（19）可計算出兩工作件預測的破裂高度分別為-10.753 0 mm和-10.815 0 mm，預測相對誤差都是10%之內，分別為3.84%和6.14%。與Minitab回歸分析的預測結果相對比，采用主成分回歸分析模型方法對工件的破裂高度具有更高精度的預測，可以更好地預測板材的破裂高度。

圖5 工作件17(左)和工作件18(右)破裂應力圖

圖6 工作件17(上)和工作件18(下)破裂圖

5 結語

（1）本文使用ABAQUS仿真軟件針對鋁合金材料破裂的預測，采用Johnson-Cook本構模型與Johnson-Cook損傷準則，可以很好地描述鋁合金的失效應變，應用于漸進成形破裂仿真中是可行的。

（2）影響漸進成形板材破裂高度的工藝參數共6個，采用主成分分析的方法，選擇了前4個主成分分量用于回歸分析預測。它不但可以提高結果質量和準確度；還能使評價過程更簡潔、合理；同時也可避免人為主觀因素造成的偏差，減少指標選擇的工作量，從而得到更好的效果。

（3）通過實測數據可知工作件17與工作件18的破裂高度分別為-11.165 5 mm與-10.151 3 mm，基于16個工作件的實測數據建立的主成分回歸模型，對兩工作件破裂高度預測分別為-10.753 0 mm和-10.815 0 mm，預測相對誤差分別為3.84%和6.14%。