大型風電傳動齒輪成形銑削刀具刃形曲線設計＊

李昊罡 王曉銘 張澤晨 劉波 周宗明 陳云 李長河

（①青島理工大學機械與汽車工程學院，山東 青島 266520；②四川明日宇航工業有限責任公司，四川 什邡 618400；③漢能（青島）潤滑科技有限公司，山東 青島 266100；④成都工具研究所有限公司，四川 成都 610500）

刀具的設計是實現高性能裝備制造的重要部分[1-4]。大型風電傳動齒輪模數大、廓形曲線復雜，且被加工出的齒輪槽形必須滿足特定要求。因此，精確設計出刀具廓形曲線是目前風電齒輪加工領域中的關鍵技術難題[5]。對于可轉位齒輪盤銑刀，可以通過裝夾不同型號的刀片對不同型號的齒輪進行加工，且不產生加工原理誤差[6-7]。刀具廓形曲線是由鑲嵌在刀盤上的多組刀片空間包絡而成，因此可以將刀具廓形曲線問題轉化為刀片刃形曲線設計問題，目前對于可轉位刀片刃形通常采用近似設計，刀具精度較差，加工后齒槽會留有巨大的加工余量。這直接導致現有技術中的可轉位齒輪盤銑刀無法應用于重要的精加工領域[8-10]。銑齒后還需進行精加工工序，生產效率低，削弱了成形法銑齒的技術優勢。如何對可轉位刀片的刃形設計方法進行重構，消除原理誤差，提高刀具精度，是解決當前大型風電傳動齒輪加工領域技術瓶頸及滿足行業對于大型風電傳動齒輪迫切需求的關鍵所在[11-12]。

對于齒輪成形銑削刀具的設計，學者們已展開了廣泛的研究。Krol O[13]設計了一種專用的模擬程序，用于設計加工齒輪和花鍵軸的盤形齒輪銑刀，提出了用于計算齒條輪廓、漸開線和花鍵輪廓以及齒形過渡曲線的技術模塊構建過程，并基于理論研究及參數化設計，建立了盤形齒輪銑刀和齒輪滾刀的三維實體模型。Zhang W[14]提出一種用可轉位盤銑刀來提高中小批量斜齒加工效率的思路，建立了可轉位盤銑刀刃形曲線數學模型，根據空間包絡理論，給出了刀具加工路徑的總體設計方案，驗證性試驗結果表明，可轉位盤銑刀的切削效率比立銑刀高2～3倍。目前國外學者[15]已研發出雙聯鎖和三聯鎖可轉位盤銑刀，這種盤銑刀可同時加工2個或3個齒槽，鑲嵌可轉位硬質合金刀片的聯鎖盤銑刀可以以高達170 m/min（取決于工件材料的模量和強度）的轉速和高達0.7 mm單齒進給量運行，極大提高了齒輪的加工效率。Boral P[16]設計了一種新型的可轉位齒輪盤銑刀，刀具的每個刀片都有直線刃口，但是每個刀片的寬度和齒形角是不同的，而且每個刀片的橫向切削刃角度都大于前一刀片的橫向切削刃角度，所有刀片在切削過程中都會特定切除均等量的齒廓曲線，刀具切削過程更加穩定，最終的齒廓曲線由多個刀片包絡切削而成，隨著刀具刀片數量的增加，齒輪軸向輪廓形狀與理論計算的一致性不斷增加，所研制的盤銑刀通用性強，既可用于普通銑床，也可用于帶轉位頭的三軸數控銑床。Svahn M[17]推導出一種求解成形銑刀刃形幾何形狀的數學模型，同時可以通過該模型對被加工齒輪的表面形貌進行預測，并驗證了模型的有效性。Cheng Y N[18]首先分析了切削角度對于切削效果的影響規律，并對可轉位盤銑刀的主要結構進行了計算和建模，通過對比應力、總變形和主切削力的變化，對所設計的盤銑刀進行了動態仿真分析，優化了刀具結構。Li G S[19]研究了可轉位盤形銑刀切屑參數與切削參數之間的定性關系，建立并驗證了切屑參數與切削參數之間的二次多項式模型，結果表明，切屑參數(切屑卷曲半徑、切屑厚度變形系數和切屑寬度變形系數)與主軸轉速呈負相關，與進給速度呈正相關，與切削深度呈正相關。

從上述研究現狀可以看出，對于可轉位齒輪盤銑刀的研究多停留在幾何造型及建模階段，且設計出的模型只適用于粗加工或半精加工工況，國產可轉位齒輪盤銑刀仍無法用于作為零件加工最后工序的精加工工況[20-23]，因此針對目前可轉位齒輪盤銑刀設計方式進行重構，消除加工原理誤差，提高刀具加工精度和加工效率，對于推進我國的大型齒輪成形加工技術具有重要意義[24]。基于此，通過被加工齒輪的結構參數對可轉位刀片刃形曲線設計方式進行重構，可提高刀具廓形的加工精度。構建新型高精度可轉位齒輪盤銑刀，使由刀片刃形曲線包絡而成的刀具廓形曲線在切削平面上的投影與被加工齒輪齒槽廓形狀完全吻合，是消除刀具加工原理誤差、提高刀具通用性以及滿足當前對于大型風電傳動齒輪迫切需求的必然選擇。

1 齒輪齒廓槽形設計

1.1 漸開線齒廓設計

1.1.1 漸開線形成機制

如圖1所示，當直線BK沿一圓周做純滾動，直線上任一點K的軌跡AK為該圓漸開線，該圓為漸開線基圓，半徑用rb表示，直線BK為漸開線發生線。

圖1 漸開線形成機制

設rk為漸開線上任一點K的向徑。共軛齒廓在K點嚙合時，齒廓在該點正壓力方向與速度方向之間的銳角 αk，為漸開線在該點壓力角。

1.1.2 漸開線方程

由于漸開線形成機制的特殊性，目前對于漸開線的近似求解一般采用圓弧替代法和擬合法。圓弧替代法，即齒輪漸開線部分可采用一段或兩段圓弧來代替。使用圓弧替代法極大程度地簡化了計算過程，但上述設計方法的精度非常低。擬合法是通過在齒輪漸開線上取一定數量的點，并將所選擇的點通過擬合的方式形成一條近似于漸開線的曲線。擬合法的精度較近似圓弧替代法較高，但是需要在被加工齒輪成品工件上進行測量，測量精度以及測量效率無法保證，目前常規的漸開線求解方法都無法實現高精度要求。

基于目前漸開線求解領域中的技術瓶頸，本文通過建立坐標系，對漸開線進行設計，并建立數學模型，以提高刀具的設計精度，進而消除原理誤差，提高大型風電傳動齒輪的加工質量。

通過圖1可以發現，對于漸開線上任意一點K，由 ΔBOK可見

式中：rb為齒輪基圓半徑，mm；r為齒輪分度圓半徑，mm；m為齒輪模數；z為齒輪齒數；α為分度圓壓力角，一般為20°。

由于BK的長度等于弧AB的弧長，進而可以推導出

其中：θk為漸開線上任意一點k的展角，°。

進而可以得到

因此，齒輪漸開線部分函數invαk可以表示為

漸開線函數可以通過極坐標形式表示也可以通過直角坐標形式表示。

（1）極坐標方程

通過式（1）和（5），漸開線上任一點K的極坐標方程可以表示為

（2）直角坐標方程

如圖2所示，以齒輪圓心為原點，以齒輪圓心與漸開線起始點的連線為縱坐標，建立直角坐標系。

圖2 漸開線直角坐標系

漸開線上任一點K的直角坐標系方程可以表示為

漸開線上任一點的uk的取值還可用弧長公式表示為

1.1.3 延伸漸開線方程

通過上一小節對直角坐標系中的漸開線方程進行了建立，對漸開線方程中變量uk的計算方式進行了研究。根據齒輪的基本性質可知漸開線的終止點在齒頂圓位置，確定了uk的上限，為了對漸開線的實際工作長度進行求解，本小結對漸開線起始點進行研究。為了保證齒輪嚙合的可靠性，避免嚙合過程中發生干涉情況，齒廓漸開線的設計長度必須要大于兩齒輪嚙合所必須的漸開線長度，由于漸開線的終止點已經固定，可知，漸開線的起始點坐標必須要比兩齒輪嚙合所須漸開線的起始點坐標低。

當一個標準齒輪與標準齒條嚙合時候，共軛齒條的頂角相對運動軌跡為延伸漸開線。當一個標準齒輪與標準齒條嚙合不發生干涉，標準齒輪與其他標準齒輪（同模數，同壓力角）進行嚙合時更不會發生干涉。因此，為保證所設計齒輪傳動的可靠性，根據上述性質，對漸開線起始點坐標進行求解。

圖3 延伸漸開線形成機制

如圖3所示，以齒輪圓心O為坐標原點，建立坐標系X′OY′，則延伸漸開線的向徑可表示為

如圖4所示，設齒條齒頂寬為sa，齒條左齒角所形成的延伸漸開線方程為

圖4 齒輪齒條嚙合示意圖

sa可用式（15）計算得

式中：Δs為齒輪齒厚減薄量，mm。

如圖5所示，延伸漸開線與漸開線的切點為F，切點F即是齒輪漸開線的起始點，切點F的向徑可以表示為

圖5 延伸漸開線與漸開線的交點

1.1.4 齒槽坐標系中的漸開線方程

以齒輪圓心為原點，齒槽中心線為縱坐標軸建立直角坐標系X1O1Y1，坐標系XOY和坐標系X1O1Y1都是以齒輪圓心為坐標原點。但是坐標系XOY是以齒輪圓心與漸開線在基圓上的起始點連線為Y軸，而坐標系X1O1Y1是以齒槽中心線作為Y1軸，兩坐標系存在角度關系。通過漸開線起始點F在坐標系X1O1Y1和坐標系XOY中的相對位置關系，對齒槽坐標系X1O1Y1中的漸開線表達式進行求解。

如圖6所示，在坐標系X1O1Y1中漸開線上的任意一點M的坐標可表示為

其中：ηM是向徑OM與齒槽對稱線之間的夾角，由圖6可知：

圖6 齒槽坐標系中的漸開線

其中：齒輪分度圓齒槽中心半角 η和M點的壓力角αM可以表示為

其中：W為齒輪分度圓上的齒槽寬，mm。

根據式（16），將rF代入至參數方程（17）中，可求出漸開線起始點F的在X1O1Y1坐標系中的橫坐標X1F和縱坐標Y1F。

在坐標系XOY中，以O點為圓心，以rF為半 徑做漸開線起始圓，漸開線起始圓與漸開線交于點P，如圖7所示。

圖7 漸開線起始點坐標

即漸開線的有效工作長度從P點開始，到齒頂圓結束，因此根據式（9），漸開線參數方程中變量uK的取值范圍為

式中：ra為齒輪齒頂圓半徑，mm；ha為齒輪齒頂高，mm。

將其代入到方程（7）中，就可以推導出求得漸開線的實際長度。

在直角坐標系XOY中，P點位置坐標可表示為

向徑OP與X軸之間的夾角 β可表示為

在直角坐標系X1O1Y1中，向徑OF與X1軸之間的夾角 β1可以表示為

所以坐標系X1O1Y1和直角坐標系XOY之間的夾角 δ可以表示為

進而可以認為，在坐標系XOY中，將坐標系XOY繞坐標原點O逆時針旋轉 δ角度（漸開線保持靜止，只旋轉坐標系），成為齒槽坐標系X1O1Y1，那么漸開線在齒槽坐標系X1O1Y1中的參數方程可以表示為

通過轉化可以得到

其中：變量uk的取值范圍與式（21）一致。

漸開線的實際廓形上任意一點K在以O1為定點，以O1X1為極軸的極坐標系中的方程可以表示為

1.2 齒根過渡曲線設計

齒輪在嚙合傳動過程中，齒根部分的受力是最大的，因此在設計齒根過渡曲線部分時，要嚴禁出現應力集中，齒根過渡曲線部分應具有光滑的圓角，且能夠實現與其余部分的平滑過渡。

根據上 述技術要求，將 坐標系X1O1Y1沿Y1軸上移一個齒根圓半徑rf的高度，生成新坐標系X2O2Y2，則F點在X2O2Y2坐標系中可表示為

式中：hf為齒輪齒根高，mm；c*為齒輪頂隙系數，標準齒輪的頂隙系數為0.25。

如圖8所示，在坐標系X2O2Y2中，設過漸開線FE上的F點的公切線HG與齒槽對稱軸Y2的夾角為ψ。

圖8 齒根過渡圓弧與漸開線位置關系

由于漸開線上任意一點處的法線必與其基圓相切，所以切線HG與F點處的漸開線的發生線垂直，所以 ∠GFO1=αF，進而可求得

其中：αF可以通過式（20）進行求解，ηF可以通過式（18）進行求解。

根據齒根過渡曲線部分的技術要求，對過渡圓弧部分進行設計時需與漸開線FE和X2軸相切，設過渡圓弧半徑為rc，則過渡圓弧DF的圓心Oc的在坐標系X2O2Y2中的坐標可以表示為

其中：xc值有3種可能，即大于零、等于零以及小于零。

當xoc＞0時，過渡圓弧的圓心位于齒槽對稱線右側，齒輪齒廓曲線由漸開線EF和齒根過渡圓弧FD，以及直線齒頂DO2組成，將這種形式的曲線規定為第一類曲線，如圖9所示。當xoc=0時，D點與O2點重合，Oc位于Y2軸上，齒輪齒廓曲線由漸開線EF和齒根過渡圓弧FD組成，將這種形式的曲線規定為第二類曲線，如圖10所示。

圖9 過渡圓弧圓心位于齒槽中心線右側的齒廓曲線

圖10 過渡圓弧圓心與齒槽中心線重合的齒廓曲線

在xoc≥0情況下，圓弧半徑rc用rc1表示，則rc1的計算方式為

此時過渡圓弧DF的圓心Oc的在坐標系X2O2Y2中的坐標可以表示為

過渡圓弧FD的方程可以表示為

其中：δ為過渡圓弧夾角，其取值范圍為

當xoc＜0時，過渡圓弧的圓心位于齒槽對稱線左側，此時齒根過渡圓弧FD與齒槽對稱線斜相交。如圖11所示，此時過渡圓弧FD無法平滑過渡至齒槽對稱線，這種齒廓曲線會導致齒輪在傳動過程中出現應力集中現象，極易發生齒根斷裂導致齒輪傳動失效。為了避免所述情況發生，將過渡圓弧向右移動。同時，由于漸開線起始點F的位置已經確定，過渡圓弧圓心Oc最近移動至Y2軸，同時過渡圓弧半徑減小，使過渡圓弧FD與過F點的漸開線公切線HG以及X2軸相切。從而使得過渡圓弧FD與漸開線之間平滑過渡，符合齒廓廓形曲線設計要求。此時過渡圓弧的圓心位于齒槽對稱線上，齒輪齒廓曲線由漸開線EF和過渡公切線FJ，以及齒根過渡圓弧JO2組成，將這種形式的曲線規定為第三類曲線，如圖12所示。

圖11 過渡圓弧與齒槽中心線斜交

圖12 過渡圓弧圓心位于齒槽中心線左側的齒廓曲線

在xoc＜0情況下，過渡圓弧半徑rc用rc2表示，rc2的計算方式可以表示為

過渡圓弧DF的圓心Oc的橫坐標恒等于0，此時在坐標系X2O2Y2中圓心Oc的坐標為

J點在坐標系X2O2Y2中的坐標可以表示為

進而可求出過渡圓弧JD方程為

其中：δ為過渡圓弧夾角，其取值范圍為

過渡公切線FJ的方程可以表示為

2 刃形曲線數學模型

通過上述推導過程，對齒輪廓形曲線的設計方式進行了重構，所求出的齒廓曲線也就相當于刀具廓形在切削平面上的投影。而刀具廓形是由可轉位刀片刃形曲線空間包絡而成，進而可以將刀具廓形的設計問題轉化為刀片刃形曲線的設計問題。實際加工情況下，刀片在刀體上的安裝是呈特定空間角度的，利用逆向投影法即可通過齒輪齒廓曲線方程求出可轉位齒輪盤銑刀刀片的刃形曲線方程。其中起主要作用的刀片安裝角度是軸向前角 γa和徑向前角 γr。徑向前角 γr決定了刀片刃形曲線與齒輪廓形曲線二者縱坐標之間的對應關系，軸向前角 γa決定了刀具刃形曲線與齒輪廓形曲線二者橫坐標之間的對應關系。基于逆向投影法，刀片刃形曲線的漸開線部分表達式可以表示為

式中：變量uk的取值范圍與式（21）保持一致。

刀片刃形曲線中的過渡圓弧部分表達式可以表示為

當xoc≥0時：

式中：其中變量 δ的范圍與式（40）保持一致。

當xoc＜0時：

式中：變量 δ的范圍與式（45）保持一致。

刀片刃形過渡公切線部分可以表示為

3 齒廓及刃形曲線數值分析

按照上述的推理邏輯，將推導出來的函數表達式導入至MATLAB數值軟件中，建立齒輪廓形曲線及可轉位齒輪盤銑刀刀片刃形曲線數值模型。參考目前國內外可轉位齒輪盤銑刀刀具生產廠家以及市面上常見的大型風電傳動齒輪結構參數，發現當前加工大型風電傳動齒輪的可轉位齒輪盤銑刀刀具的軸向前角一般取值在5°左右，徑向前角一般取值為10°～15°左右。本文將軸向前角設定為5°，徑向前角設定為10°，其余各項參數如表1所示。

表1 齒廓曲線及刀片刃形曲線數值分析參數

將表1中的各項參數代入至MATLAB數值模型中，對齒輪齒廓曲線及可轉位齒輪盤銑刀刀片刃形曲線進行數值分析，分析結果如圖13所示。

通過圖13的數值分析可以看出，在表1的參數條件下，過渡圓弧的圓心位于齒槽中心線右側，齒輪齒廓曲線及刀片刃形曲線由漸開線，過渡圓弧，直線齒頂3部分構成，屬于第一類曲線。上述各項參數不變，隨著齒數的減少，過渡圓弧圓心不斷靠近齒槽對稱軸，當齒數z=32，過渡圓弧圓心的橫坐標為0.056，可以認為過渡圓弧圓心位于齒槽對稱軸上，假設齒輪齒數z=28，其余各項參數不變，MATLAB進行齒輪廓形和刀片刃形曲線的數值分析，分析結果如圖14所示。

圖13 多齒數齒廓曲線及刀片刃形曲線數值分析結果

圖14 少齒數齒廓曲線及刀片刃形曲線數值分析結果

通過上述數值分析結果的可以看出，在其余參數不變的情況下，當被加工齒輪的齒數較大時，齒根過渡圓弧圓心xc＞0。此時齒輪齒廓曲線以及可轉位刀片的刃形曲線由漸開線，過渡圓弧，直線齒頂3部分構成，屬于第一類曲線。當被加工齒輪的齒數較小時，齒根過渡圓弧圓心xc＜0。此時齒輪齒廓曲線以及可轉位刀片的刃形曲線由漸開線，過渡切線，過渡圓弧3部分構成，屬于第三類曲線。由于大型風電傳動齒輪的模數和齒數都較大，因此本文以第一類曲線作為本文研究對象，多個所述刃形的刀片在空間中的包絡運動就形成了可轉位齒輪盤銑刀的刀具單側廓形曲線。實際生產時將刀片等間距對稱鑲嵌在刀盤上，刀片在刀盤的帶動下旋轉包絡，形成完整的可轉位齒輪盤銑刀刀具廓形曲線。

4 結語

（1）基于大型風電傳動齒輪成形加工機理，通過理論漸開線方程以及延伸漸開線方程，對漸開線方程進行了重構，推導出齒輪漸開線實際廓形的數值方程。

（2）基于對共軛齒條頂角相對運動軌跡的研究，建立了齒輪齒根過渡曲線方程，完成了對齒根過渡曲線部分的設計，并根據齒根過渡圓弧部分的相對位置，將齒輪齒廓分為3種形式，重構了不同形式齒廓曲線設計方式，以被加工齒輪的各項參數為變量，建立了齒廓曲線數值模型。

（3）基于逆向投影法，以被加工齒輪的各項參數為變量，建立了刀片刃形曲線數值模型，根據刀片空間包絡原理，重構了可轉位齒輪盤銑刀廓形曲線設計方式。從根本上消除了加工原理誤差，并對齒輪齒廓曲線以及刀具刃形曲線進行了數值分析，確立了大型風電傳動齒輪齒廓曲線以及可轉位齒輪盤銑刀刀片刃形曲線的主要形式。